Desigualdades e Inecuaciones Prof. Isaías Correa M.

Desigualdades Los enunciados a > b y a < b, junto con las expresiones a ≤ b (a < b o a = b) y a ≥ b (a > b o a = b) se conocen como desigualdades. Las primeras se llaman desigualdades estrictas y las segundas, desigualdades no estrictas o amplias.

Las desigualdades se comportan muy bien con respecto a la suma pero se debe tener cuidado en el caso de la división y la multiplicación. Ejemplos.  Como 2 < 5 entonces 2 + 4 < 5 + 4, es decir, 6 < 9.  Como 8 > 3 entonces 8 - 4 > 3 - 4, esto es, 4 > - 1  Como 7 < 10 entonces 7.3 < 10.3, es decir, 21 < 30  Como 7 < 10 entonces 7. (- 3) > 10. (- 3), esto es  - 21 > - 30

En los diferentes ejemplos se observa que: Al sumar un mismo número a ambos miembros de una desigualdad, el sentido de la misma se mantiene Al restar un mismo número a ambos miembros de una desigualdad, el sentido de la misma se mantiene La multiplicación por un número positivo mantiene el sentido de la desigualdad. La multiplicación por un número negativo invierte el sentido de la desigualdad.

Inecuaciones Una inecuación es una desigualdad en la que aparecen uno o más valores desconocidos. Resolverla es encontrar el conjunto de todos los números reales para los cuales es verdadera.

≥ < > ≤ INECUACIONES Una inecuación es una desigualdad en la que hay uno o más cantidades desconocidas (incógnitas) y que solo se verifica (o demuestra) para determinados valores de las incógnitas. > ≤

≥ Pero esta desigualdad o inecuación puede tener variables o incógnitas como las ecuaciones. < Por ejemplo: > ≤

≥ < > ≤ Sentido de una desigualdad Los signos > o < determinan dos sentidos opuestos o contrarios en las desigualdades, según que el primer miembro sea mayor o menor que el segundo. Una desigualdad cambia de sentido, cuando el miembro mayor se convierte en menor o viceversa. > ≤

≥ < > ≤ Propiedades de las desigualdades Una desigualdad no cambia de sentido cuando se añade o se resta un mismo número a cada miembro. Ejemplo: -2 > -6 -2 -3 > -6 -3 -5 > -9 9 > 5 9 + 2 > 5 + 2 11 > 7 > ≤

≥ Una desigualdad no cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor positivo, o se dividen entre un mismo divisor, también positivo. < Ejemplo: 12 > 7 12 X 3 > 7 X 3 36 > 21 15 > -25 15 ÷ 5 >(-25) ÷ 5 3 > -5 > ≤

≥ Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor negativo, o se dividen entre un mismo divisor, también negativo. < Ejemplo: 64 < 80 64 ÷ (-4) >80 ÷ (-4) -16 > -20 3 > -15 3(-4) < (-15)(-4) -12 < 60 > ≤

≥ Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a la misma potencia, la desigualdad no cambia de sentido. < Ejemplo: > ≤

≥ Si los dos miembros de una desigualdad son negativos y se elevan a una potencia de grado impar, no cambia el sentido d la desigualdad; pero hay cambio de sentido si el grado de potencia es par. < Ejemplo: > ≤

≥ Si se suman miembro a miembro varias desigualdades de mismo sentido, resulta una desigualdad de mismo sentido que aquellas. < Ejemplo: Dado: 2x > 10 y 7x > 26 se obtiene: 9x > 36 > ≤

≥ Si se restan miembro a miembro dos desigualdades de signo contrario, resulta una desigualdad de igual sentido que el minuendo < Ejemplo: Dado: 7x < 12 y 5x > 16, se obtiene: 2x < -4 > ≤

≥ < > ≤ Resolución de las inecuaciones Para resolver una inecuación deben encontrarse los valores de las incógnitas que satisfagan la inecuación. Y para esto se tiene que tener en cuenta las propiedades de las desigualdades. > ≤

Para resolver una inecuación se utilizan las propiedades de las desigualdades y de los números reales que conducen a una desigualdad equivalente. Todos los números que satisfacen la desigualdad constituyen el conjunto solución y se denota con S

≥ < > ≤ Ejemplo: Resolver la inecuación 4x + 6 > 2x -7 Se resta 2x de cada miembro: Se resta 6 de cada miembro: Finalmente: 4x -2x + 6 > 2x -2x -7 2x +6 -6 > -7 -6 x > (-13 ÷ 2) x >-7.5 > ≤

Inecuación lineal Ejemplos: 5 Son aquellas en las cuales la variable tiene grado uno. Corresponde a una desigualdad condicionada, es decir, se busca el conjunto de valores que al reemplazarlos en la variable, cumpla con la desigualdad. Ejemplos: 7 √5-x a) La expresión representa un número real si: 5 - x > 0 5 > x x es un número real menor que 5, o bien, x Є ] -∞, 5 [ Gráficamente: 5 -∞ +∞

b) x 2 6x -2 5 ≥ 1 - (Multiplicando por 10) (Simplificando) 10 ∙ 6x -2 5 x 2 - 10 ∙ 1 ≥ 2(6x – 2) ≥ 5x - 10 (Desarrollando) 12x – 4 ≥ 5x - 10 12x – 5x ≥ 4 - 10 7x ≥ -6 7 x ≥ -6

Se cumple para todo x mayor o igual que 7 -6 , ,+∞ o bien, x Є 7 -6 Gráficamente: -∞ +∞ 7 -6

IR c) 7x – 8 ≥ 4x – 16 + 3x + 4 7x – 8 ≥ 7x - 12 – 8 ≥ - 12 En este caso, la incógnita se ha eliminado. Sin embargo, la desigualdad resultante es verdadera. Esto significa que la inecuación se cumple para cualquier x en los reales. Gráficamente: +∞ -∞ IR

d) 6x + 11 2 < 3x / ∙ 2 6x + 11 < 6x 11 < 0 En este caso, la incógnita también se ha eliminado; pero la desigualdad resultante es FALSA. Esto significa que la desigualdad no se cumple, ya que NO existe un x real que satisfaga la inecuación. El conjunto solución de la inecuación es el conjunto vacío:

≥ < > ≤ Ejercicios de práctica: x+7>9 2x+3 ≤ x+6 -6x+7 ≥ x+9

Inecuaciones simultáneas Son aquellas en las cuales la variable está entre dos valores “a” y “b” Ejemplo -4 7 Representación gráfica de la solución

EJEMPLOS: 3x < 20 + x 3x – x < 20 2x < 20 x < 10 6 10 Se deben resolver cada una de las inecuaciones aparte 6 10 Para obtener el intervalo de solución se hace la intersección de las dos soluciones Representación gráfica de la solución

3x+2 > 2x + 1 3x – 2x > 1 – 2 x > –1 -7 -1 Intervalo de la solución Representación gráfica de la solución

Sistemas de Inecuaciones Cada inecuación del sistema se resuelve por separado, obteniéndose como solución un subconjunto de la recta real. La solución del sistema es la intersección de estos subconjuntos. Ejemplo: a) 2x + 3 ≤ 5 Resolviendo cada inecuación en forma independiente: -x - 2 ≥ -4 2x + 3 ≤ 5 -x - 2 ≥ -4 / ∙ (-1 ) 2x ≤ 5 - 3 x + 2 ≤ 4 x ≤ 1 x ≤ 2 o bien, x Є ] -∞, 1 ] o bien, x Є ] -∞, 2]

La solución del sistema será la intersección de los subconjuntos: S1 = ] -∞, 1 ] y S2 = ] -∞, 2] -∞ 2 +∞ 1 S = S1 Ç S2 S = ] -∞, 1 ] o bien, x ≤ 1

≥ Web grafía < http://es.wikipedia.org/wiki/Desigualdad_matem%C3%A1tica http://matematicasies.com/spip.php?rubrique70 http://ponce.inter.edu/csit/math/precalculo/sec2/cap2.html http://personal.redestb.es/javfuetub/algebra/inecua.htm http://copernico.escuelaing.edu.co/mrey/precalculo_una_nueva_vision/Capitulo_5_01.pdf http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/20/matematicas-20.html http://student_star.galeon.com/desigual.html http://usuarios.lycos.es/calculo21/id382.htm http://valle.fciencias.unam.mx/~lugo/bach2/DesigCuad/index.html http://cremc.ponce.inter.edu/topicos/desigualdades.htm > ≤