Unidad 4 Anexo 1. Capítulo II. Vibraciones mecánicas.

U-4.A-1. Cap.II. Vibraciones mecánicas. Previo a la consideración de los casos específicos, es importante obtener la ecuación diferencial que rige los movimientos vibratorios. Toda ecuación que se refiera al movimiento se obtiene usando la segunda ley de Newton que normalmente se expresa en forma vectorial en su forma escalar, dado que la dirección del movimiento se considera recta. El momento de un cuerpo en cualquier dirección y en todo tiempo t es equivalente al producto de su masa m y la velocidad v que desarrolla en ese tiempo, en la dirección dada.

U-4.A-1. Cap.II. Vibraciones mecánicas. Por lo que la segunda ley de Newton se puede enunciar en la forma siguiente: La rapidez de cambio del momento con respecto al tiempo en cualquier dirección es igual a la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo en esa dirección. y al tomar al eje x como la dirección del movimiento, lo anterior se puede expresar matemáticamente en la forma: en donde m es la masa del cuerpo, v la velocidad con que se mueve, y Fneta es la fuerza neta en la dirección x.

Si la masa m es constante, entonces: U-4.A-1. Cap.II. Vibraciones mecánicas. Si la masa m es constante, entonces: y así: La fuerza neta es positiva si actúa en la dirección del movimiento y negativa en caso contrario. Se obtendrá la ecuación que rige el movimiento vertical de una masa m que está suspendida de un resorte después de alejarse de su posición de equilibrio a partir de analizar el movimiento vertical de una masa suspendida de un resorte lineal bajo diversas condiciones.

U-4.A-1. Cap.II. Vibraciones mecánicas. Considere un resorte anclado a un techo. Si el resorte no carga ningún peso, no se comprime ni se estira (longitud libre) y su extremo libre está en la posición natural. Suponga que el resorte es lineal, lo cual significa que su fuerza de resistencia F es proporcional a la distancia que se estira o comprime desde su longitud libre. La constante k se llama constante de restitución elástica. Un cuerpo de masa m que se fija al extremo inferior de un resorte lo estira hasta una posición de equilibrio estático a una distancia l de su longitud real. En este punto:

U-4.A-1. Cap.II. Vibraciones mecánicas. El sistema de referencia se establece al seleccionar la posición estática como el origen del eje x que se extiende en la dirección vertical, con la dirección positiva hacia abajo. l w = mg F = kl x Si cualquier efecto perturba de alguna manera a la masa, sería de esperar que ésta oscilara (vibrara) alrededor de la posición de equilibrio en x = 0.

U-4.A-1. Cap.II. Vibraciones mecánicas. Identificación de las fuerzas que pueden actuar sobre la masa durante el movimiento oscilatorio. 1. Peso. La fuerza de gravedad que actúa sobre una masa es igual a su peso W y se expresa en la forma: g es la aceleración local de la gravedad y su valor se estima en 9.8 m/s2. El peso siempre actúa en la dirección positiva del eje x, por tanto, es una cantidad positiva. 2. Fuerza del resorte. El proceso de estirar un resorte se dificulta conforme se hace. Si el desplazamiento es pequeño, el resorte actúa en forma lineal (Ley de Hooke).

U-4.A-1. Cap.II. Vibraciones mecánicas. La constante del resorte es una medida de su dureza, y su unidad es fuerza (newton, N) por unidad de longitud (metro, m), como N/m, donde N [=] kg ∙ m/s2. Esta fuerza intenta restaurarlo a su longitud libre y actúa hacia arriba cuando el resorte está estirado y hacia abajo cuando está comprimido. Es decir, la fuerza de resorte es positiva cuando x es negativa, y negativa cuando x es positiva. Así: relación que también puede usarse para resortes que se estiran o comprimen horizontalmente considerando l = 0.

U-4.A-1. Cap.II. Vibraciones mecánicas. Cuando el sistema está en equilibrio (x = 0), la magnitud de la fuerza del resorte es igual al peso de la masa por lo que la fuerza neta que actúa sobre la masa es cero. 3. Fuerza de amortiguación. Un cuerpo que se mueve en un medio dado desarrolla una fuerza de fricción que se opone al movimiento. En algunos sistemas se adapta un amortiguador, el cual produce una fuerza de resistencia (amortiguadora) que es proporcional a una potencia de la velocidad.

U-4.A-1. Cap.II. Vibraciones mecánicas. A bajas velocidades esta fuerza se considera proporcional a la magnitud de la velocidad y su dirección es opuesta a la dirección del movimiento. En tales casos, puede representarse matemáticamente como: donde g es la constante de amortiguación, con unidades de fuerza entre velocidad (N ∙ s/m). Cuando la masa se mueve hacia abajo (dirección positiva de x), v es positiva y la fuerza de fricción, que actúa hacia arriba, es negativa.

U-4.A-1. Cap.II. Vibraciones mecánicas. Si la masa se mueve hacia arriba, v es negativa y la fuerza de fricción actúa hacia abajo, por lo que FR es negativa. De manera que la última ecuación representa siempre la magnitud y dirección correctas de la fuerza. m émbolo k g masa resorte amortiguador El sistema que consiste en una masa suspendida en un resorte y conectada a un amortiguador frecuentemente se llama sistema resorte-masa-amortiguador :

U-4.A-1. Cap.II. Vibraciones mecánicas. 4. Fuerza externa. Es una fuerza impuesta sobre la masa por una fuente externa distinta de las fuerzas de resorte y de amortiguación. Puede ser generada por un campo eléctrico o magnético, por golpear a la masa con un martillo o por tirar de ella con la mano. La fuerza externa (Fe) puede ser una función constante, periódica o cualquier otra función de x, v o t. La fuerza externa es positiva cuando actúa en la dirección positiva de x, y negativa cuando actúa en la dirección negativa de x.

(los puntos indican derivadas con respecto al tiempo). U-4.A-1. Cap.II. Vibraciones mecánicas. La resultante, fuerza neta (Fneta), se obtiene sumando todas las fuerzas anteriormente enunciadas y poniendo especial atención en sus signos (direcciones). como kl = mg y v = dx/dt, se obtiene la ecuación lineal de 2°orden con coeficientes constantes: (los puntos indican derivadas con respecto al tiempo).

U-4.A-1. Cap.II. Vibraciones mecánicas. Esta ecuación, que se obtiene como modelo del sistema resorte-masa-amortiguador vertical, es aplicable a tales sistemas con otra orientación, incluyendo la horizontal. m resorte masa amortiguador k g x Fe equilibrio estático

U-4.A-1. Cap.II. Vibraciones mecánicas. La inclusión en el modelo del siguiente par de hipótesis, que son más consistentes con el fenómeno bajo análisis, produciría una ecuación diferencial no lineal que puede incluso no tener solución analítica. Es aquí en donde las suposiciones de simplificación, que deben ser congruentes, adquieren su relevancia al reducir significativamente el problema a uno que pueda manejarse matemáticamente.