María E. Villapol mvillap@ciens.ucv.ve UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS POSTGRADO EN CIENCIAS DE LA COMPUTACION Redes de Petri María E. Villapol mvillap@ciens.ucv.ve

Introducción La Redes de Petri son una herramienta de modelado gráficas y matemáticas aplicable a varios sistemas. Puede ser usadas para describir y estudiar sistemas de procesamiento de información. Estos pueden caracterizarse por ser: Concurrentes. Asíncronos Distribuidos. Paralelos No determinísticos y/o Estocásticos.

Introducción Las Redes de Petri pueden ser usadas como/para: Comunicación visual (tal como diagramas de flujo y diagramas de bloque). Herramienta matemática (establecer ecuaciones matemáticas, ecuaciones algebraicas, entre otros)

Revisión Histórica El concepto de Redes de Petri tiene su origen en el trabajo de disertación de Carl Adam Petri (CA Petri, 1962). El trabajo de Petri fue continuado por W.Holt, en Estado Unidos.

Revisión Histórica Entre 1970 y 1975 el Grupo de Estructura de la Computación en el MIT fue el mas activo en la realización de proyectos usado Petri Nets. En 1975 fue la primera conferencia sobre Petri Nets y Métodos Relacionados en el MIT. Desde los sesenta se ha realizado investigación en el área en el Instituto GMD encabezado por Petri. Desde finales de los setenta han habido mas y mas actividades en Europa tales como cursos y workshops.

Aplicaciones Evaluación de Rendimiento. Protocolos de Comunicación. Análisis de sistemas de software distribuidos. Sistemas de Base de Datos Distribuidas. Programas Paralelos y Concurrentes. Sistemas de Control Industrial/Manufactura. Sistemas de Eventos Discretos. Sistemas de Tolerantes a fallas. Arreglos VLSI y Lógica programable. Estructuras y Circuitos Asíncronos. Sistemas Operativos y Compiladores. Otras mas (ver (Murata, 1989) y (Petri Nets World)).

Estructura de una Red de Petri Una red de Petri esta compuesta por: Plazas: representadas por círculos o elipses. Transiciones: representadas por barras o cajas rectangulares. Arcos: unen a las plazas y transiciones. Se dividen en: Arcos de entrada Arcos de salida. Los arcos son etiquetados con Pesos. Siendo la etiquetas con valor uno usualmente omitidas. Tokens: denotados por puntos negros colocados en las plazas. Las plazas pueden contener una o más marcas (tokens). Marcado: distribución de las marcas en las plazas (es decir marcado de la red). Mientras que, un marcado de la plaza indica el número de marcas en la plaza particular. Marcado inicial: estado inicial del sistema.

Estructura de una Red de Petri Algunas interpretaciones de las Transiciones y Plazas: Plaza de Entrada Transición Plaza de Salida Precondiciones Evento Poscondición Data de Entrada Paso de Computación Señal de Salida Señal de Entrada Procesador de la Señal Señales de Salida Recursos requeridos Tarea o trabajo Recursos liberados Buffers Procesador Condiciones Cláusula en lógica Conclusiones

Estructura de una Red de Petri Plaza Arco de entrada Pesos Arco de salida Transición Marcado de la plaza Marcado inicial

Definición Formal de una Red de Petri Una sexto-tupla: N = (S,T,F,K,W,M0) Es llamada red plaza/transición (place/transition net, P/T net), donde: S= conjunto finito de plazas. T= conjunto finito de transiciones. S  T =  F = es una relación de flujo definiendo un conjunto de arcos que relacionan plazas y transiciones: F  (S x T)  (T x S) K = una función la cual asigna capacidades a las plazas. W = una función la cual asigna pesos a los arcos. W: (S x T)  (T x S)  N  (x,y)  (S x T)  (T x S) , (x,y)  F  W(x,y) = 0 ( es decir no hay arco) M0 = una función la cual establece el marcado inicial de la red: M0: S ->N  s  S, M0 (s)  K(s)

Ejemplo de una Red de Petri S1 S2 S3 t3 t2 t1 2 S = {S1,S2,S3} T = {t1,t2,t3} F = {(S1,t2),(S2,t2),(S3,t3),(S3,t1),(t1,S1),(t2,S3),(t3,S2)} K(S1) = K(S2) = 1 K(S3) =  M0 (S1) = M0 (S2) = 1, M0 (S3) =   f  F \ f  (t2,S3), W(f) = 1, W(t2,S3) = 2 (S,t) F W(S,t) = 0 (t,S) F W(t,S) = 0

Marcado de una Red de Petri Es una asignación de marcas a las plazas de una Red de Petri. Definición - Marcado de una Red de Petri: Un marcado de una Red de Petri N = (S,T,F,K,W,M0) es una función del conjunto de plazas en los enteros no negativos N: M: S  N,  s  S, M (s)  K(s) El marcado M puede ser definido como un vector M = (m1,m2,…,mn) donde n = ‌ S ‌ es la cardinalidad del conjunto de plazas S, y cada mi  N, i=1,2,…,n. El vector m indica, el número de marcas en cada plaza si de una Red de Petri. El número de marcas en la plaza si es mi, i = 1,2,…,n.

Definición de un Grafo de una Red de Petri Un grafo de Red de Petri es un multigrafo dirigido bipartito, G=(V,A), donde: V= {v1,v2,v3,…vs} es un conjunto de vértices. A = {a1,a2,a3,…,ar} es un multiconjunto de arcos dirigidos, aj = (vj,vk) con vj,vk  V. El conjunto V puede ser dividido en dos conjuntos disjuntos P y T tales que V = P  T y P  T =  y para cada arco dirigido ai  A, si ai = (vj,vk), entonces o bien vj  P y vk  T o vj  T y vk  P.

Reglas de Ejecución de un Red de Petri El comportamiento dinámico de un sistema PT se puede considerar como el estado o el marcado de la red cambiando según las ocurrencias de las transiciones. Una transición puede tener plazas de entrada conectadas por los arcos entrantes y plazas de salida conectadas por los arcos salientes. Una transición esta habilitada (es decir puede ocurrir) si el marcado de cada plaza de entrada contiene tantos marcas como lo indicado por el peso del arco de entrada, que conecta las plazas con la transición. La ocurrencia de una transición habilitada toma marcas de las plazas de entrada y agrega marcas a las plazas de salida. El número de marcas removidas de cada plaza de entrada corresponde al número de marcas indicadas por el peso del arco (de entrada), que conecta las plazas y la transición. El número de marcas agregadas a cada plaza de salida corresponde al número marcas indicadas por el peso del arco (de salida), que conecta la transición con las plazas.

Ejemplo de la Ejecución de una Red de Petri Red de Petri (t1 está habilitada) Ilustración de la ocurrencia de la transición t1.

Definición de una Transición Habilitada Una transición t  T esta habilitada en el marcado M, sii  s  t: M(s) ≥ W(s,t) y  s  t: M(s)  K(s) – W(t,s) t conjunto de plazas de entrada de t. t conjunto de plazas de salida de t.

Definición de Ocurrencia de una Transición Un transición t  T habilitada puede ocurrir si esta habilitada. Cuando t ocurre, el marcado de la red es transformado a un nuevo marcado M’, denotado como M[t > M’, el cual es tal que para cada s  S, M’= M(s) - W(s,t) sii s  t \ t M(s) + W(t,s) sii s  t\ t M(s) – W(s,t) + W(t,s) sii s  t  t M(s) de lo contrario.

Ejemplo de Redes de Petri donde las Transiciones No Están Habilitadas k = 2 k = 3 2 Por qué las transiciones no están habilitadas ? k = 4 k = 3 2 3 k = 3 k = 3

Tipos de Redes de Petri (ver (Murata 1989)) Una transición sin ninguna plaza de entrada es llamada transición fuente. Una transición sin plazas de salida se llamada un transición hundida (sink transition). Una transición fuente es incondicionalmente habilitada. La ocurrencia de una transición hundida consume marcas pero no produce ninguno. Un par de una plaza s y una transición t se denomina self-loop si s es una plaza de entrada y salida para t. Una Red de Petri se dice ser pura si no tiene self-loops. Una Red de Petri se dice se ordinaria si el peso de todos sus arcos es uno.

Ejemplos Conceptos Anteriores 2 2 Transición fuente Transición hundida Red de Petri ordinaria Red de Petri self-loop

Concurrencia y Conflicto Dos transiciones se dicen ser concurrentes si ellas son casualmente independientes. Es decir, una transición puede ocurrir antes o después o en paralelo con la otra. Dos transiciones están t1,t2 están en conflicto si cualquiera de ellas puede ocurrir pero no ambas. Una situación donde se mezcla la concurrencia y el conflicto se denomina confusión

Ejemplos de lo Anterior t1, y t2 están en conflicto, actividades no deterministas t2 p1 p3 t2 t1 t4 p4 p2 t3 p5 t2 y t3 son concurrentes (actividades paralelas deterministas)

Ejemplos de lo Anterior t1 y t3 son concurrentes así como también están en conflicto con t2

Referencias C.A. Petri, Kommunikation mit Automaten. Bonn: Institut fur Instrumentelle Mathematik, Schriften des IIM Nr 3, 1962 (Communication with Automata. New York; Griffiss Air Force Base. Tech Rep. RADC-TR65-377, vol 1, Suppl. 1, 1966). Murata T., Petri Nets: Properties, Analysis and Applications. Proceedings of The IEEE, Vol. 77, No. 4, April, 1989, pp 541-580.

Referencias The Petri Nets World, http://www.informatik.uni-hamburg.de/TGI/PetriNets/