Unidad 1 Capítulo III Ecuaciones Diferenciales ¿para qué?

U-1. Cap. III. Ecuaciones diferenciales ¿para qué? Las ecuaciones diferenciales aparecen al aplicar las leyes y principios físicos a un problema dinámico. La obtención de una ecuación diferencial que gobierne el comportamiento de un fenómeno específico requiere conocer tanto la naturaleza del fenómeno como la estructura matemática que permite modelarlo. A continuación se ilustrarán algunos ejemplos del procedimiento involucrado para la obtención de ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos de diversos problemas dinámicos.

U-1. Cap. III. Ecuaciones diferenciales ¿para qué? Ejemplo: Mediante la 2ª ley de Newton obtenga una expresión que describa la posición y de una masa m que cae en línea recta, influida por la gravedad. Solución: La segunda ley de Newton es una relación vectorial; sin embargo, si el movimiento describe una línea recta en la dirección de la fuerza, se puede expresar en forma escalar (dirección específica). Las cantidades en dirección opuesta implicarán signos contrarios.

Fuerza = masa  aceleración U-1. Cap. III. Ecuaciones diferenciales ¿para qué? Recuerde que las cantidades velocidad (v) y aceleración (a) se definen en la forma: Así, la ecuación diferencial para la distancia y recorrida se obtiene al formular la 2ª ley de Newton: Fuerza = masa  aceleración O bien:

Solución: La teoría de colisión establece que: U-1. Cap. III. Ecuaciones diferenciales ¿para qué? Ejemplo: De acuerdo con la teoría de colisión, obtenga una expresión que describa la variación de la cantidad a de reactivo A en la siguiente reacción química. Solución: La teoría de colisión establece que: “bajo condiciones energéticas controladas, la rapidez con que cambia la cantidad de un reactivo en una reacción de descomposición es proporcional a la cantidad de reactivo presente.”

Variación de la cantidad de a = U-1. Cap. III. Ecuaciones diferenciales ¿para qué? La frase “variación de la cantidad a” refiere la rapidez de cambio de la cantidad a; es decir, su derivada. Así: Variación de la cantidad de a = y como la variación de a es proporcional a su cantidad presente, entonces: Al introducir una constante de proporcionalidad k, se tiene:

U-1. Cap. III. Ecuaciones diferenciales ¿para qué? Ejemplo: Sea un circuito RC con suministro constante de voltaje V cuyo capacitor está inicialmente descargado. Si en t = 0 se cierra el circuito, obtenga un modelo para el voltaje del capacitor en función del tiempo. Solución: La relación voltaje-corriente para un capacitor establece que:

La relación voltaje-corriente para un resistor es: U-1. Cap. III. Ecuaciones diferenciales ¿para qué? derivando se obtiene: La relación voltaje-corriente para un resistor es: La corriente que reciben los dispositivos de un circuito eléctrico en serie debe ser igual, por lo que:

U-1. Cap. III. Ecuaciones diferenciales ¿para qué? Ejemplo: Obtenga una ecuación diferencial que gobierne la variación de la temperatura T de una bola metálica (inicialmente T0) que, en el tiempo t = 0, se introduce en un horno a temperatura constante e igual a Th. Solución: Suponga que la temperatura T del objeto es la misma en cada uno de sus puntos en un tiempo dado, por lo que se puede considerar que: Esta suposición no aplica en el caso de objetos grandes, especialmente aquellos que contienen materiales que conducen el calor de manera deficiente.

U-1. Cap. III. Ecuaciones diferenciales ¿para qué? Se sabe que cuando un objeto se coloca en un medio mas caliente, tiende al equilibrio aumentando gradualmente su temperatura hasta llegar a la del medio. Así, en cualquier momento, su temperatura estará entre T0 y Th, pero no se puede estimar el valor exacto. La predicción exacta de la temperatura de la bola requiere una formulación exacta del problema, misma que se obtiene mediante la ley de Newton del enfriamiento.

U-1. Cap. III. Ecuaciones diferenciales ¿para qué? es decir: o bien: En donde k es la constante de proporcionalidad y es una medida de la rapidez de transferencia de calor del medio a la bola (o viceversa). Por sus características, este modelo puede aplicarse de manera indistinta si el proceso es de enfriamiento o de calentamiento.