Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ingeniería Civil Dinámica de un Sistema de Partículas Centro de Masa Msc.: Loayza Cordero Fredy Miguel

Dinámica de un Sistema de Partículas Centro de Masa Movimiento de Traslación de un de un Sistema de Partículas momento lineal y ley de Newton Conservación del momento lineal

Dinámica de un Sistema de Partículas Cuando se considera las dimensiones del cuerpo el modelo de partícula o punto material para el estudio ya no es tan fácil su estudio. Por tanto, hay de proponer un nuevo modelo que permita estudiar los cuerpos, y su evolución temporal, Este modelo es el de sistemas de partículas. Sistema discreto, cuando el cuerpo se considera formado por un número finito de partículas. Dentro de este modelo podemos considerar: • Sistemas indeformables, en los que la distancia relativa entre las partículas del sistema permanece inalterable en el tiempo. • Sistemas deformables, en los que puede cambiar la distancia relativa entre las partículas. Sistemas continuos, cuando un cuerpo puede considerarse formado por una distribución “continua” de materia (llenando todo el espacio que ocupa). Estos sistemas se dividen en deformables e indeformables (sólidos rígidos).

Centro de Masa Un Sistema de Partículas se define como un conjunto de puntos materiales. Definimos su Centro de Masas (CM):Es un promedio ponderado de masas y es el punto en el que se encontraría toda la masa concentrada y en ella actuarían los efectos de dinámica. Sistemas Discretos: (mi, ri),i=1,,2,3,4…. x y z

Centro de Masa Sistemas Continuos: x y z Para resolver estas integrales se necesita pasar “dm” a diferenciales geométricos. Para esto se definen las Densidades de Masa: Densidad Lineal de Masa Densidad Superficial de Masa Densidad Volumétrica de Masa

y b Tarea 1 Determinar el centro de masa de la lamina homogénea de forma de parábola. y=ax2 x Tarea 2 Un objeto formado por tres laminas 2 cuadradas de lado “a” y una de un ¼ de un disco de radio “a”, ambos homogéneos, descansa sobre una superficie horizontal apoyada por dos pivotes colocados en dos vértices del cuadrado inferior como muestra la figura. Encuentre la posición del centro de masa. Calcular la razón de las magnitudes de las fuerzas de reacción de cada pívot.

Tarea 3 Determinar la masa y su posición del centro de masa del cilindro. Si su densidad varia según: z x y Tarea 4 Determinar las reacciones A y B de la barra, si su el peso especifico varia según:

Tarea 5 Determinar el centro de masa de la lamina triangular homogénea. x y Tarea 6 Encontrar el centro de masa del cono mostrado de altura H y radio R. z y x

Movimiento de Traslación de un de un Sistema de Partículas momento lineal y ley de Newton De la definición de centro de masa se tiene Si se deriva respecto al tiempo el centro de masa de un sistema de partícula se obtiene la velocidad del centro de masa. El momento total del sistema es:

La aceleración del centro de masa es: De la segunda ley de Newton: Tomando en cuenta la 3era. Ley de Newton: El centro de masa se mueve como una partícula imaginaria de masa M bajo la influencia de la fuerza externa resultante sobre el sistema.

Conservación del momento lineal. Del resultado de las fuerzas exteriores que actúa sobre un sistema de partículas es nula, el momento lineal se conserva entonces

Tarea 1 La figura muestra una polea fija de masa despreciable y sin roce de la cual penden 2 partículas de masas m1 y m2 (m2 > m1), unidas por una cuerda liviana e inextensible. Calcule la aceleración de cada partícula, la tensión de la cuerda y la aceleración del centro de masa del sistema de partículas.

Tarea 2 La figura muestra un sistema formado por dos partículas cuyas masas son m1 = 10kg, m2 = 6kg. Las fuerzas netas que actúan sobre cada una de ellas respectivamente y . Inicialmente el sistema se encuentra en reposo. Calcule en función del tiempo las coordenadas del centro de masa y el momento lineal total.

Tarea 3 Una granada inicialmente en reposo, estalla en 3 pedazos de masas m1, m2 y m3 cuyas velocidades son respectivamente: Determine la relación entre sus masas

Tarea 4 En un instante se encuentra, la velocidad del proyectil A de 10 kg es de 𝑣=40 𝑗 𝑚/𝑠 cuando se separa en dos fragmentos B y C de 6 kg y 4 kg respectivamente. Después de esto, la parte B hace contacto en la tierra (el plano xy) en el punto (80 m, 50 m, 0m). Determinar la velocidad del fragmento C en el punto A, además las coordenadas del fragmento en el punto C en donde toca la tierra

Tarea 5 Los bloques A y B están unidos por un cable que pasa a través de dos poleas de masa despreciable, como se muestra en la figura. El coeficiente de fricción cinético entre el bloque A y el plano inclinado es 0,40. Si la velocidad inicial de A es 2,5 m/s descendiendo por el plano. Determine el desplazamiento sA del bloque A antes que el sistema alcance el reposo 2,5 m/s A 4,5 kg μk =0,4 20° B 2,7 kg

Tarea 6 Los dos collarines A y B que se muestran en la figura se deslizan sin fricción a lo largo de dos barras que se encuentran en el mismo plano vertical y están a 1,2 m de separación. La rigidez del resorte es k = 100 N/m y su longitud libre es Lo = 1,2 m. Si el sistema se suelta desde el reposo en la posición que se muestra, donde el resorte se ha estirado a la longitud L1 = 1,8 m. Determine la máxima velocidad alcanzada por cada uno de los collarines. A B 12 kg 8 kg 1,2 m L1=1,8 m xB y x xA

Tarea 7 Los dos collarines A y B de masas idénticas están unidas por una cuerda ideal de longitud R. El collarín se mueva por el eje x mientras que el collarín B se mueve por el eje y. Inicial mente el collarín esta B esta en el origen. Si se suelta del reposo (con la cuerda siempre tensa). Hallar las reacciones NA , NB y la tensión de la cuerda en función de ángulo y 𝒈 x A O θ° R B

Tarea 8 Las posiciones de dos partículas A y B de masa ma = 1kg y mb = 2kg son respectivamente 𝑟 a = (4 − t; 3t2) y 𝑟 b = (5 − 2t − t2; 10). Determine en t = 4s la fuerza neta exterior sobre el sistema de partículas, el momentum angular y torque respecto del origen del sistema de coordenadas. Tarea 9 Tres partículas de igual masa m descansan sobre una superficie horizontal lisa, unidas mediante cuerdas de largo a sin masa, ubicadas en la línea recta que la une tal como se muestra en la figura. Inicialmente, a las partículas de los extremos se les da una velocidad inicial perpendicular a la cuerda de magnitud V0 mientras la partícula del centro continúa en reposo.