Predicados y Cuantificadores Tópicos de Matemáticas Discretas para Informáticos Esta plantilla se puede usar como archivo de inicio para presentar materiales educativos en un entorno de grupo. Secciones Para agregar secciones, haga clic con el botón secundario del mouse en una diapositiva. Las secciones pueden ayudarle a organizar las diapositivas o a facilitar la colaboración entre varios autores. Notas Use la sección Notas para las notas de entrega o para proporcionar detalles adicionales al público. Vea las notas en la vista Presentación durante la presentación. Tenga en cuenta el tamaño de la fuente (es importante para la accesibilidad, visibilidad, grabación en vídeo y producción en línea) Colores coordinados Preste especial atención a los gráficos, diagramas y cuadros de texto. Tenga en cuenta que los asistentes imprimirán en blanco y negro o escala de grises. Ejecute una prueba de impresión para asegurarse de que los colores son los correctos cuando se imprime en blanco y negro puros y escala de grises. Gráficos y tablas En breve: si es posible, use colores y estilos uniformes y que no distraigan. Etiquete todos los gráficos y tablas.

Que es un Cuantificador: En lógica formal, los cuantificadores son expresiones que indican la cantidad de veces que un predicado o propiedad P se satisface dentro de una determinada clase. Que es un predicado: un predicado es un enunciado que tiene variable y que al sustituir esa variable por una constante se transforma en una proposición.

En Lógica, al igual que en Matemática, la letra que se utilizó par representar de forma genérica los nombres de los ríos se denomina variable. Cada uno de los nombres que puede ser sustituido en lugar de la variable se denomina constante. El predicado anterior se puede representar como: P(x): x es un rio venezolano Las variables a utilizar, comúnmente son x, y, z.

{Todos los ríos del mundo}. Cada una de las constantes (los nombres de los ríos) que se pueden utilizar para sustituir por la variable x para que tenga sentido (sea proposición) se denomina Dominio del predicado. En este caso se tiene que el dominio del predicado es {Todos los ríos del mundo}. Este equivale, en el tema de Conjuntos, a hablar del Conjunto Universal.

“El Orinoco es un rio venezolano” “El Arauca es un rio venezolano” Para las siguientes proposiciones:   “El Orinoco es un rio venezolano” “El Arauca es un rio venezolano” “El Nilo es un rio venezolano” “El Mississippi es un rio venezolano” “El Guaire es un rio venezolano” “El Obi es un rio venezolano”

En otras palabras, se tiene que: un predicado es un enunciado que tiene variable y que al sustituir esa variable por una constante se transforma en una proposición.

Operaciones con conjuntos Definición: Cuantificador Universal: Su símbolo es  y se lee “para todo” (todo, para cada, cada uno, para cada cual, …) elemento del universo cumple con las características del predicado Ejemplo: Para simbolizar el enunciado “Todos son imparciales”, haciendo uso de los predicados y del cuantificador universal. x  U, x es imparcial donde el conjunto universal es U={Las personas} Nota: siempre debe indicar el conjunto Universal para el predicado que utilice.

Operaciones con conjuntos Definición: Cuantificador existencial: Su símbolo es  y se lee “existe” (alguno, existe al menos uno, algunos, algunas, …) elemento del universo cumple con las características del predicado. Ejemplo: Para simbolizar el enunciado “Algunos estudiantes de Lógica lograron aprobar el segundo parcial”, haciendo uso de los predicados y del cuantificador existencial.  x  U/ x aprobó el segundo parcial donde el conjunto universal es U={los estudiantes del curso de Lógica} Nota: siempre debe indicar el conjunto Universal para el predicado que utilice.

Ejemplo P: la ciudad es bella q: Los triángulos son equiláteros Toda p o p  U Existe una p o p  U q: Los triángulos son equiláteros Todos los q o q  U Existen algunos q o q  U U = { Hermosillo, cd. Juárez, Durango, Mazatlán }

Conjunto de referencia U = { 1,2,3 } Elemento Variable X € U Función Proposicional o Formula p(x) = x ˂ 3 q(x) = x es par

x: q(x)  r(x) x:q(x)r(x) Ejemplos: q(x)=x estudia en la universidad del Sonora r(x)=x es mujer Existen estudiantes de la universidad del Sonora que son mujeres x: q(x)  r(x) q(x)=x estudia en la universidad de r(x)=x estudia lógica Existen estudiantes de la universidad que estudian lógica q(x)=x estudia lógica r(x)=x gana el curso de lógica Existen estudiantes que si estudian lógica, ganan el curso. x:q(x)r(x)

Ejemplos X = 2 2 a ˃3 N es par 2 n es par

Negación con cuantificadores ~ [  x : P(x) ] es equivalente a  x / ~ P(x) Cuando negamos una proposición con un cuantificador universal, cambiamos éste por uno existencial y negamos el predicado ~ [  x / P(x) ] es equivalente a  x : ~ P(x) ) Cuando negamos una proposición con un cuantificador existencial, cambiamos éste por uno universal y negamos el predicado.

x es un hombre. Él es un hombre.  y es un astronauta. Él es un astronauta.  z es un libro. Éste es un libro x es un congresista del Perú. y es una flor. z es el mejor estudiante de la clase.

Todos los hombres son mortales Ejercicio 1: Simbolice cada uno de los siguientes enunciados utilizando los predicados y cuantificadores que requiera. Todos los hombres son mortales Algunos estudiantes del curso programación, lograron aprobar el segundo parcial. Algunos animales son sucios Todos los miembros de esta comisión han sido estafados. Algunos no son indiferentes al cambio Nadie acepta con alegría un desastre Cada uno necesita un mínimo de alimentos Todo el mundo no cuenta con sentido común A nadie le gusta las derrotas Todos tienen su historia

Todos los hombres son mortales U = { hombres} Todos los hombres son mortales p o p  U p  U, x los hombres son mortales

Ejercicios Simbolizar los siguientes enunciados: Hay cisnes negros. Existen animales carnívoros. Hay números perfectos. Existen ciudades de clima frío. Todos los nevados son colombianos. Hay cetáceos que son peces.

Ejercicios Simbolizar, utilizando el cuantificador existencial las siguientes expresiones. Todos aprobamos el curso y disfrutamos las vacaciones. Todo cetáceo es un pez. Toda hormiga es un insecto.

Ejercicios Simbolizar, utilizando el cuantificador universal, las siguientes expresiones. Existe al menos una montaña. Hay cisnes negros. Existen animales carnívoros. Hay números perfectos.