TEORIA FUNDAMENTAL DE PROBABILIDADES PEDRO GODOY G PROFESOR DE MATEMATICA

AZAR En nuestras conversaciones, juegos, cuentos y canciones infantiles, prensa y literatura encontramos con frecuencia referencias al azar. Por ejemplo, los niños usan canciones como “Pito –pito” para echar a suertes en el escondite o en el rescate, organizan sorteos, etc. Si buscamos la palabra aleatorio en el Diccionario : "Incierto. Se dice de lo que depende de la suerte o del azar", siendo el azar la "supuesta causa de los sucesos no debidos a una necesidad natural ni a una intervención intencionada humana ni divina". www.themegallery.com Company Logo

Esta definición nos remite al juego de dados, un ejemplo típico de lo que todo el mundo acepta como fenómenos aleatorios, donde una característica es el carácter imprevisible del resultado. Hay muchas otras palabras relacionadas con “azar” y “aleatorio”: casual, accidental, eventual, fortuito, impensado, imprevisible, inesperado inopinado, ocasional, ....

El azar en la realidad Al tratar de buscar ejemplos de fenómenos aleatorios encontramos cuatro grandes campos de aplicación de la estadística relacionados con el hombre: el mundo biológico, físico, social y político. Nuestro mundo biológico Dentro del campo biológico, vemos que muchas características heredadas en el nacimiento no se pueden prever de antemano: el sexo, color de pelo, peso al nacer, etc. El mundo físico La duración, intensidad, extensión de las lluvias, tormentas o granizos; las temperaturas máximas y mínimas, la intensidad y dirección del viento son variables aleatorias.

El mundo social El número de hijos de la familia, la edad de los padres al contraer matrimonio, el tipo de trabajo, las creencias o aficiones de los miembros varían de una familia a otra. El mundo político El Gobierno, a cualquier nivel, local, nacional o de organismos internacionales, necesita tomar múltiples decisiones que dependen de fenómenos inciertos y sobre los cuales necesita información.

ELEMENTOS BÁSICOS DE CONJUNTOS Colección de elementos. Un espacio muestral de hecho es un conjunto, por lo que cada uno de sus elementos serán los posibles sucesos que pueden ocurrir 1 2 3 4 5 6

ELEMENTOS BÁSICOS DE CONJUNTOS Operaciones que se pueden realizar entre conjuntos y su relación con las probabilidades Unión Intersección Complemento Unión : Juntar un conjunto con otro Intersección : Determinar los elementos comunes entre dos conjuntos Complemento : Todo los elementos que están fuera de un conjunto

ELEMENTOS BÁSICOS DE CONJUNTOS

ELEMENTOS BÁSICOS DE CONJUNTOS

ELEMENTOS BÁSICOS DE CONJUNTOS INTERSECCION: Es conjunto formado por los eventos que están en ambos conjuntos. Se anota como

Espacio Muestral y Eventos Experimentos Aleatorios y Espacios Muestrales Un experimento es una observación de un fenómeno que ocurre en la naturaleza. Hay dos tipos de experimentos: Experimentos deterministas Es aquel que podemos predecir sus resultados Experimentos aleatorios Es aquel donde no podemos predecir sus resultados

Son exprerimentos aleatorios Exp 1: Lanzar un dado y anotar el número que aparece en la cara superior. Exp 2: Lanzar un par de monedas y anotar el resultado que aparece en cada una de ellas. Exp 3: Lanzar el ramo de flores en un matrimonio, y que una de mis tres amigas la tome Exp 4: Ver un partido de futbol y acertar en el numero de goles que marcar tu equipo favorito.

Espacio Muestral. Es el conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio. . A continuación daremos los espacios muestrales de cada uno de los experimentos anteriores. S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} S2 = {CC,CS, SC, SS} S3 = {Ana, Sandra, María} S4 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 .... }

EVENTO ( O SUCESO) Un Evento. es un resultado particular de un experimento aleatorio. En términos de conjuntos, un evento es un subconjunto del espacio muestral. Por lo general se le representa por las primeras letras del alfabeto.

Ejemplos A: Que salga un número par al lanzar un dado A= { 2, 4, 6} B: Que salga por lo menos UNA CARA B={CC, CS, SC}

Suceso es cada uno de los posibles resultados de un experimento aleatorio. Distinguimos entre sucesos elementales, cuando no pueden descomponerse en otros más simples y suceso compuestos cuando se componen de dos o más sucesos elementales por medio de operaciones lógicas como la conjunción, disyunción o negación.

La probabilidad mide la frecuencia con la que aparece un resultado determinado cuando se realiza un experimento. Cálculo de probabilidades La probabilidad mide la mayor o menor posibilidad de que se dé un determinado suceso cuando se realiza un experimento aleatorio. La probabilidad toma valores entre 0 y 1 que en tanto por ciento significa entre 0% y 100%. Regla de Laplace: La probabilidad de que se cumpla un suceso está determinado por el cuociente entre los casos favorables y los casos posibles. www.themegallery.com Company Logo

Ejemplos: a) Determinar la probabilidad de que al lanzar un dado salga el número 3. Tenemos sólo un caso favorable, que salga el tres; mientras que los casos posibles son seis, que corresponden a los números del dado. Por lo tanto: P(A) = 1/6 = 0,166 = 16,6% De otra forma podemos decir que corresponde a Osea

b) Determinar la probabilidad de que al lanzar un dado salga un número primo. c) Determinar la probabilidad que un bebe nazca varón d) Determinar la probabilidad que al lanzar una moneda esta sea cara e) Determinar la probabilidad que al sacar una carta de un naipe español esta sea un rey.

c) p( sea roja o amarilla) = p(roja) + p(amarilla) = De una urna que contiene 8 bolas rojas, 5 amarillas y 7 verdes se extrae una al azar. Calcula las siguientes probabilidades: a) Que sea una bola roja. b) Que sea una bola verde. c) Que sea un bola roja o amarilla d) Que sea amarilla o verde. a) p( sea roja) = b) p(sea verde) = c) p( sea roja o amarilla) = p(roja) + p(amarilla) = d) p(amarilla o verde) =

Lanzamos un dado al aire y calculamos la probabilidad que salga número par, y que el resultado sea mayor que 3. A={ que salga par} B= {que salga mayor que 3} A={2,4,6} B={4,5,6} Company Logo

Supongamos, se extrae una carta, se observa, se saca Se tiene una baraja de naipe español ( 40 cartas ). Calcula la probabilidad de al extraer 4 cartas todas sean sietes. Supongamos, se extrae una carta, se observa, se saca la otra, y así sucesivamente, durante 4 veces. En cada Extracción, la carta sacada no regresa al mazo. P( 1° carta sea 7) = 4/ 40 P( 2° carta sea 7) = 3 /39 P(3° carta sea 7) = 2/ 38 P( 4° carta sea 7) = 1/37

¿Cuál es la probabilidad que el ratón tome el queso?

Se tiene una baraja de naipes de 52 cartas de la cual se extraen 3 cartas al azar. Calcula : Sin reemplazo a.1) La probabilidad de que las 3 cartas sean de la misma pinta P( 3 son distintas) = P(elegir una carta) x P(igual pinta) x P(igual pinta) = La primera carta tiene prob 52/ 52 Ya sacamos una carta, quedan 12 de 51 Ya sacamos 2 quedan 11 de 50

a.2) La probabilidad de que las 3 cartas sean monos a.3) La probabilidad de que salgan 2 reyes y un as si el as debe siempre salir entre los reyes.

DIAGRAMA DE ÁRBOL LANZAR UNA MONEDA 3 VECES C S CCC CCS CSC CSS C S C S C S C S SCC SCS SSC SSS C S C S 3C 3 (2C Y 1S) 3 (1C Y 2S) 3S

Cualquiera de los 4 sucesos es separado ya que la ocurrencia de uno impide la ocurrencia de otro P(3 caras)= P( C y C y C ) = P( 2 caras y 1 sello)= P(CCS)+P(CSC)+P(SCC)

P( 1cara y 2 sellos)= P(CSS)+P(SCS)+P(SSC) P(3 SELLOS) =

Desarrollemos el siguiente cubo de binomio Prob de 3 caras 3 lanzamientos Prob de 2 caras y 1 sello Prob de 3 sellos Prob de 1 cara y 2 sellos

¿Cuál es la probabilidad que en 3 nacimientos nazcan 2 niños y 1 niña?

Al ingresar una bolita por la parte superior de la máquina, representada en la siguiente figura ¿Cuál es la probabilidad de que llegue a B, considerando que en cada bifurcación tiene la misma probabilidad de ir por uno u otro camino? 1/8 1/4 3/8 3/4 B

PROBABILIDAD CONDICIONADA PEDRO GODOY G.

Propiedades de la prob condicionada

Ejemplo Supongamos que un centro de salud se tienen dos grupos de personas Los que tienen fiebre (F) y aquellos que tienen gripe (G). Supongamos que los pacientes que padecen fiebre tienen una probabilidad del 75%. La probabilidad que los pacientes tengan gripe dado que tienen fiebre es de un 80% y la probabilidad que tengan gripe dado que no tengan fiebre es de un 10% ¿Cuál es la probabilidad que las personas tengan gripe?

=0,8  0,75 + 0,1  (1 – 0,75) = 0,6 + 0,025 = 0,625 equivale a un 62,5%

P( chica y no frances)= 5/20 Una clase está formada por 10 chicos y 10 chicas; la mitad de las chicas y la mitad de los chicos han elegido francés como asignatura optativa. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea chico o estudio francés? ¿Y la probabilidad de que sea chica y no estudié francés? P( chica y no frances)= 5/20

En una ciudad, el 40% de la población tiene cabellos castaños, el 25% tiene ojos castaños y el 15% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar: Si tiene los cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga también ojos castaños? Pelo castaño Pelo no castaño total Ojos castaños 15 10 25% Ojos no castaños 25 50 75% 40% 60% 100%

Si tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños? ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños?

Se sortea un viaje a Roma entre los 120 mejores clientes de una agencia de automóviles. De ellos, 65 son mujeres, 80 están casados y 45 son mujeres casadas. Se pide: ¿Cuál será la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero? Si del afortunado se sabe que es casado, ¿cuál será la probabilidad de que sea una mujer?

Hallar la probabilidad de que salga cara Una caja contiene tres monedas. Una moneda es corriente, otra tiene dos caras y la otra está cargada de modo que la probabilidad de obtener cara es de 1/3. Se selecciona una moneda y se lanza al aire. Hallar la probabilidad de que salga cara

Disponemos de dos urnas: la urna A contiene 6 bolas rojas y 4 bolas blancas, la urna B contiene 4 bolas rojas y 8 bolas blancas. Se lanza un dado, si aparece un número menor que 3; nos vamos a la urna A; si el resultado es 3 ó más, nos vamos a la urna B. A continuación extraemos una bola. Se pide: Probabilidad de que la bola sea roja y de la urna B

Probabilidad de que la bola sea blanca

Un estudiante cuenta, para un examen con la ayuda de un despertador, el cual consigue despertarlo en un 80% de los casos. Si oye el despertador, la probabilidad de que realiza el examen es 0.9 y, en caso contrario, de 0.5. Si va a realizar el examen, ¿cuál es la probabilidad de que haya oído el despertador?

Si no realiza el examen, ¿cuál es la probabilidad de que no haya oído el despertador?

El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?

Ejercicio 1º: El parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin de semana: a) Que llueva: probabilidad del 50%. b) Que nieve: probabilidad del 30% c) Que haya niebla: probabilidad del 20%. Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente: a) Si llueve: probabilidad de accidente del 10%. b) Si nieva: probabilidad de accidente del 20% c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%.

Agrega los datos del problema en el diarama de árbol

Cuál es la probabilidad que si tuvo un accidente, a) Haya estado lluviendo

b) Haya estado nevando c) Haya estado con niebla ( evalúate tu comprensión)

Tres máquinas A,B y C producen respectivamente 50%, 30% y 20%, del número total de artículos de una fábrica. Los porcentajes de desperfectos de producción de estas máquinas son, 3%, 4% y 5%.  Si se selecciona al azar un artículo, hallar la probabilidad de que el artículo sea defectuoso.  Resp = 0,037 se selecciona un artículo y es defectuoso. Hallar la probabilidad de que el artículo fué producido por la máquina A Resp = 15/37

Thank You ! TRABAJE EN SU TEXTO