MODELOS VAR Origen: Fueron planteados inicialmente por C.Sims en un artículo publicado en 1980 en ECONOMETRICA, bajo el título de “Macroeconomía y realidad” Surgen como una crítica a los métodos tradicionales de elaboración de modelos econométricos al estilo de la Cowles Commision, y sobre todo a la forma en como se realiza la identificación. Sims, retoma una antigua critica de Liu(1960) en el sentido de que las restricciones que se imponen en los modelos son ficticias y no se corresponden con la realidad en la que todas las variables son dependientes. Adicionalmente Sims se plantea el problema de la dinamicidad de las relaciones y la escasa información que aporta la teoría económica.

(k-k’)+ (g -g’) >= g -1 MODELOS VAR Aproximación clásica a la identificación: Las relaciones que observamos son el resultado de la interacción de muchas variables por lo que debemos realizar un proceso de identificación o separación de los efectos de cada variable. En términos de un modelo multiecuacional al uso las relaciones que observamos son las recogidas en la forma reducida, por lo que es necesario realizar el proceso de identificación (obtención de la forma estructural) Forma estructural Forma reducida Sistema de identificación: Número de ecuaciones: g x k Número de Incógnitas: (g2 -g )+ (g x k) Existe un exceso de (g2 -g ) incógnitas que hay que eliminar, habitualmente por nulidad a priori Condición necesaria en cada ecuación = Variables excluidas >= Ecuaciones menos una (k-k’)+ (g -g’) >= g -1

Planteamiento: MODELOS VAR Se pretende especificar un modelo que recoja de la mejor forma posible la evolución de un sistema económico sin que sea necesario imponer demasiadas restricciones a priori. Se busca un modelo débilmente restringido. Unicamente se necesita especificar las variables que intervienen y el número de retardos adecuado. Se parte de la especificación general del modelo en la forma reducida Se genera un nuevo vector Zt que comprende el conjunto de variables: Tomando el nuevo vector Zt como una variable aleatoria multivariante podemos utilizar el Teorema de la descomposición de Wold (1938) según el cual toda variable aleatoria puede descomponerse en un componente determinista y un componente aleatorio. Obviando por simplicidad el primero tenemos: Descomponiendo la matriz de retardos c(L) en dos componentes a(L) y b(L) Separando los valores contemporáneos de a obtenemos la representación autorregresiva pura:

Especificación (I): MODELOS VAR Una vez determinadas las variables y los retardos adecuados, bastará con especificar cada variable en función de sus propios valores retardados y de los valores retardados del resto de variables Especificación escalar de la ecuación i-ésima:

Especificación(II): MODELOS VAR Las perturbaciones aleatorias de cada ecuación son ruido blanco, es decir presentan homocedasticidad y ausencia de autocorrelación. Las perturbaciones aleatorias de distintas ecuaciones presentan una matriz de varianzas y covarianzas constante para cada observación t.

Estimación (I): MODELOS VAR Teniendo en cuenta que las variables explicativas son todas retardadas y como consecuencia de la ausencia de autocorrelación no están correlacionadas con las perturbaciones aleatorias, podemos estimar el modelo de forma consistente por Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO) La existencia de correlaciones entre las distintas ecuaciones podría inducir la necesidad de utilizar métodos de estimación con información completa. Ahora bien, al no existir restricciones en la matriz de coeficientes (todas las variables aparecen incluidas en todas las ecuaciones ) los métodos alternativos no serán más eficientes que los de M.C.O. Charezma(1992)

Estimación(II): MODELOS VAR La determinación del número óptimo de retardos debe realizarse de forma cuantitativa, ya que no existen evidencias teóricas al respecto. Sims, en su artículo inicial propone la utilización de un Ratio de verosimilitud entre el modelo restringido (el que tienen el menor número de retardos) y el modelo ampliado (el que incluye todos los retardos deseados) Con T número de observaciones, c número de variables de modelo ampliado,  matrices de productos cruzados de residuos, R número total de restricciones. Otras medidas alternativas de selección de retardos: Akaike Information Criteria Schwarz Criteria Con m número de ecuaciones y c el número de variables Con:

Identificación (I): MODELOS VAR En los modelos VAR la etapa de identificación se diferencia de la de estimación y, al contrario de los modelos clásicos, esta identificación se realiza durante el periodo de simulación. (Determinación de los efectos aislados de cada variable sobre el resto). El proceso de identificación se realiza sobre la Matriz de Varianzas y covarianzas de las perturbaciones ya que se utilizan dichas perturbaciones para introducir las alteraciones que nos conducen al análisis de la simulación. Las simulaciones a realizar, denominadas ANALISIS DE IMPULSO RESPUESTA, consistirán en introducir una alteración en la perturbación aleatoria de una ecuación (generalmente igual al valor de su desviación típica, y comprobar el resultado que esta alteración tiene sobre el conjunto del sistema. Teniendo en cuenta que existen correlaciones entre las perturbaciones de las distintas ecuaciones no podremos diferenciar claramente los efectos individuales de cada perturbación a menos que se realice una transformación previa.

Identificación (II): MODELOS VAR El proceso de identificación en un Modelo VAR se realiza mediante la ortogonalización de las perturbaciones aleatorias; es decir debemos trasformar el modelo original para que la Matriz de Varianzas y Covarianzas sea diagonal. Toda matriz simétrica  puede ser convertida en una matriz diagonal operando con una nueva matriz triangular  de acuerdo con la siguiente expresión: Premultiplicando las variables originales del modelo por la matriz triangular , obtendremos una nuevo modelo cuya matriz de varianzas y covarianzas de la perturbación es diagonal (independiente de unas ecuaciones a otras).

Identificación (III): MODELOS VAR Identificación (III): La solución inicial propuesta por Sims es la conocida como factorización de Cholesky, donde la matriz  es una matriz triangular inferior, cuya aplicación a la matriz original perturbaciones aleatorias, genera un efecto de cadena causal entre las distintas variables (perturbaciones), por lo que previamente deberemos haber ordenado las variables del sistema de mayor a menor exogeneidad relativa. Esta factorización de Cholesky asume que toda la perturbación aleatoria de la primera ecuación corresponde a la primera variable, es decir que no hay efecto adicional procedente de las siguientes variables; la perturbación de la segunda ecuación proviene de la primera y de la suya propia, y así sucesivamente a lo largo de una cadena causal. El problema surge del hecho de que los resultados de la simulación no son independientes del orden de las variables por lo que ordenaciones distintas nos conducen a alternativas diferentes en la simulación.

Funciones Impulso-Respuesta: MODELOS VAR Funciones Impulso-Respuesta: Constituyen la herramienta básica de simulación con modelos VAR, para el análisis de teorías o políticas económicas. Constituyen una representación de cómo los shocks inducidos en una variable afectan al conjunto del sistema. Parten de la representación de medias móviles del sistema autorregresivo, que una vez ortogonalizado, nos permite analizar los efectos individuales de cada una de las variables. Partiendo del modelo autorregresivo general multivariante: Utilizando el operador retardo: Y operando en la expresión anterior obtenemos : Donde cada una de las variables se expresa en función de las perturbaciones aleatorias acumuladas

Descomposición de la varianza del error de predicción: MODELOS VAR Descomposición de la varianza del error de predicción: La segunda herramienta de simulación que nos ofrecen los modelos VAR es la Descomposición de la varianza del error de predicción, y consiste en determinar, para cada horizonte de predicción k, qué porcentaje de las variaciones de cada variable Yi,t+k es explicado por cada perturbación ui,t+k Nuevamente parten de la representación de medias móviles del modelo autorregresivo multivariante y previamente ortogonalizado La varianza del error de predicción será: Pudiendo calcularse qué porcentaje del total de la varianza viene inducido por cada perturbación i

Planteamientos alternativos: MODELOS VAR Planteamientos alternativos: VAR PARCIALES PVAR: No todas las variables tienen la misma especificación, puede haber variables con una representación estrictamente autorregresiva. VAR BAYESIANOS BVAR: Se incorpora información a priori sobre los valores de los parámetros, (se sobre-parametriza el sistema. VAR COINTEGRADOS VEC: Se asume que las variables presentan raíces unitarias y se expresa el modelo como un sistema de vectores de corrección de error VAR CON MEDIAS MÓVILES VARMA: Se incorporan modelos de medias móviles sobre la perturbación aleatoria para reducir los ordenes autorregresivos.