Matemáticas Aplicadas CS I DISTRIBUCIÓN NORMAL U.D. 15 * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

AJUSTE DE DATOS A LA DISTRIBUCIÓN NORMAL Tema 15.7 * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo_0 Al preguntar a 100 familias por el número de hijos, hemos obtenido los resultados siguientes: ¿Provienen estos datos de una distribución normal?. 1.- Hallamos la media y la d. típica. x =∑x.f / ∑.f = (0.10+1.14+2.25+3.26+4.15 +5.10)/ 100 = 2,52 s =(∑x2.f / ∑.f) – x2 = = [ (0.10+1.14+4.25+9.26+16.15 +25.10)/ 100 ] – 2,522 = 8,38 – 6,35 = 2,03 2.- Calculamos las Z correspondientes: Z = (X – x) / s – 0,50 – 2,5 / 2 = – 1,50 0,5 – 2,5 / 2 = – 1 1,50 – 2,5 / 2 = – 0,50 2,5 – 2,5 / 2 = 0 3,5 – 2,5 / 2 = 0,50 4,5 – 2,5 / 2 = 1 5,5 – 2,5 / 2 = 1,5 Pues P(X=4) = P(3,5 < X < 4,5) Hijos 1 2 3 4 5 Familias 10 14 25 26 15 pi 0,1 0,14 0,25 0,26 0,15 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I 3.- Hallamos las probabilidades teóricas de cada valor según la normal ajustada N(2,5 , 2) Para ello empleamos la Tabla. P(X=0)= P(- 1,5 ≤ Z ≤ - 1) = P(Z ≤ - 1) - P(Z ≤ - 1,5) = = 1 – 0,8413 – 1 + 0,9332 = 0,0919 P(X=1)= P(- 1 ≤ Z ≤ - 0,5) = P(Z ≤ - 0,5) - P(Z ≤ - 1) = = 1 – 0,6915 – 1 + 0,8413 = 0,1498 P(X=2)= P(- 0,5 ≤ Z ≤ 0) = P(Z ≤ 0) - P(Z ≤ - 0,5) = = 0,5000 – 1 + 0,6915 = 0,1915 P(X=3)= P(0 ≤ Z ≤ 0,5) = P(Z ≤ 0,5) - P(Z ≤ 0) = = 0,6915 – 0,5000 = 0,1915 P(X=4)= P(0,5 ≤ Z ≤ 1) = P(Z ≤ 1) - P(Z ≤ 0,5) = = 0,8413 – 0,6915 = 0,1498 P(X=5)= P(1 ≤ Z ≤ 1,5) = P(Z ≤ 1,5) - P(Z ≤ 1) = = 0,9332 – 0,8413 = 0,0919 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I 4. Calculamos las frecuencias teóricas fi = n.pi Xi fi Clases tipificadas Pi ni.Pi 10 [-1,5 , -1 ) 0,0919 9,19 1 14 [-1 , - 0,5 ) 0,1498 14,98 2 25 [- 0,5 , 0 ) 0,1915 19,15 3 26 [0 , 0,5 ) 4 15 [0,5 , 1 ) 5 [1 , 1,5) 100 0,7664 76,64 Vemos que la suma de probabilidades es 0,7664 en lugar de 1, por lo que no podemos afirmar que provengan de una normal. Podemos dar por bueno el ajuste realizado, sabiendo que habrá un pequeño error al interpolar valores. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

AJUSTE DE UNA LEY NORMAL Si tomamos los “n” datos obtenidos en una muestra de la población, debemos buscar un modelo teórico que mejor se ajuste a dichos datos, para poder interpolar o extrapolar valores no recogidos en la muestra. La normal (teórica ) que mejor ajusta o aproxima unos valores muestrales observados ( de media “x” y desviación típica “σ” ) es aquella que posee por parámetros los mismos “x” y “σ”, la normal N(x, σ). Pasos a seguir: 1. Calculamos la media y la desviación. 2. Tipificamos los extremos de las clases. 3. Hallamos las probabilidades, pi, teóricas asignadas a cada clase según la normal ajustada N(x, σ ). 4. Calculamos las frecuencias teóricas fi = n.pi @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I EJEMPLO Se ha medido el tiempo ( en minutos ) que se tarda en normalizar el pulso tras un determinado ejercicio de Educación Física a 100 alumnos de la E.S.O. Min. [7,11) [11,15) [15,19) [19,23) [23, 27) [27, 31) Total fi 9 14 26 28 15 8 100 1.- La media es x= 19 y la desviación típica σ= 5,44 2.- Calculamos las clases tipificadas: ti = (ai - 19) / 5,44 , siendo “ai” cada uno de los extremos Así tenemos: ai=7  ti=- 2,21 ; ai=11  ti=- 1,73 ai=15 ti=- 1,47 ; ai=19  ti= 0,00 ai=23  ti= 1,47 ; ai=27  ti= 1,73 ai=31  ti= 2,21 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I 3. Hallamos las probabilidades teóricas de cada clase según la normal ajustada N(19, 5'44) Para ello empleamos la Tabla. P(- 2'21 ≤ Z ≤ - 1'73) = P(- 1'73 ≤ Z) - P(Z ≤ - 2'21) = = 0,9864 - 0'9582 = 0,0282 P(- 1'73 ≤ Z ≤ - 1'47) = P(- 1'47 ≤ Z) - P(Z ≤ - 1'73) = = 0,9582 - 0'9292 = 0,0290 P(- 1'47 ≤ Z ≤ 0) = P(0 ≤ Z) - P(Z ≤ - 1'73) = = 0,9292 - 0'5000 = 0,4292 P(0 ≤ Z ≤ 1'47) = P(Z ≤ 1'47) - P(Z ≤ 0) = P(1'47 ≤ Z ≤ 1'73) = P(Z ≤ 1'73) - P(Z ≤ 1'47) = P(1,73 ≤ Z ≤ 2,21) = P(Z ≤ 2,21) - P(Z ≤ 1'73) = @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I 4. Calculamos las frecuencias teóricas fi = n.pi Clases fi Clases tipificadas Pi ni.Pi [7,11) 9 [-2.21 , -1.73 ) 0,0282 2,82 [11,15) 14 [-1.73 , -1.47 ) 0,0290 2,9 [15,19) 26 [-1.47 , 0.00 ) 0,4292 42,92 [19,23) 28 [0.00 , 1.47 ) [23,27) 15 [1.47, 1.73 ) [27,31) 8 [1.73, 2.21) 100 0,9728 97,28 Vemos que la suma de probabilidades es 0,9728 en lugar de 1, pero el error cometido en el ajuste es muy pequeño. Podemos dar por bueno el ajuste realizado, sabiendo que habrá un pequeño error al interpolar valores. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Visión gráfica del ajuste. x-σ =19-5,44=13,56 x-2σ =19-10,88=8,12 x-3σ =19-16,32=2,68 x+σ =19+5,44=24,44 x+2σ =19+10,88=29,88 x+3σ =19+16,32=35,32 7 11 15 19 23 27 31 8,12 13,56 19 24,44 29,88 - 2,21 - 1,73 - 1,47 0 1,47 1,73 2,21 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I