Probabilidad Introducción Eventos, espacios de muestreo y probabilidad Eventos compuestos y complementarios Probabilidad condicional Reglas de probabilidad para uniones e intersecciones

Probabilidad Elemental Objetivos: Definir probabilidad Definir los conceptos de probabilidad clásica, empírica y subjetiva Entender los términos: experimento, evento y resultado Definir los términos probabilidad condicional y conjunta Calcular la probabilidad aplicando las reglas de adición y multiplicación

Eventos, espacios de muestreo y probabilidad Un experimento es el proceso de obtener una observación o realizar una determinación EJEMPLO: Consideremos los posibles resultados al observar la cara superior en el lanzamiento de un dado Un evento simple es el resultado básico de un experimento, no se puede descomponer en resultados más simples

Eventos, espacios de muestreo y probabilidad El espacio muestral de un experimento es la colección de todos sus eventos simples. Ejemplo: Lanzar dos monedas y observar la cara superior de cada uno CC 3. SC CS 4. SS

Eventos, espacios de muestreo y probabilidad Un resultado es una consecuencia particular de un experimento La probabilidad de un evento simple es un número que mide la verosimilitud de que el evento ocurrirá cuando se realice el experimento. Para un evento simple E, denotamos la probabilidad de E por P(E)

Reglas para asignar probabilidad a eventos simples Sean E1, E2, ……, Ek los eventos simples de un espacio muestral. Todas las probabilidades de los eventos simples deben estar entre 0 y 1: 0 ≤ P(Ei) ≤ 1, para i = 1,2,….., k 2. La suma de las probabilidades de todos los eventos simples dentro de un espacio de muestra debe ser igual a 1 ∑ P(Ei) = 1

Tipos de probabilidad

Tipos de probabilidad La probabilidad clásica se basa en la suposición de que los resultados de un evento son igualmente probables Probabilidad de un evento = Número de resultados favorables Número de resultados posibles

Tipos de probabilidad Probabilidad empírica: La probabilidad se puede definir en base a la frecuencia relativa, es decir, se basa en el concepto empírico de probabilidad. Prob. evento = Nro, de veces que ocurrió en evento en el pasado Número de observaciones

Tipos de probabilidad Probabilidad subjetiva: Si hay poca o ninguna experiencia en la cual basar la probabilidad, se puede obtener ésta subjetivamente. Esto significa evaluar las opiniones disponibles y otras informaciones y estimar o asignar la probabilidad

Enfoques de probabilidad La probabilidad de un evento A es la suma de las probabilidades de los sucesos simples del evento A EJEMPLO: Un programador de computadores debe seleccionar tres trabajos de entre cinco que esperan su atención. Si, aunque el programador no lo sabe, los trabajos varían en cuanto al tiempo de programación requerido, indique la probabilidad de que: El programador escoja los dos trabajos que requieren el menor tiempo b. El programador escoja los tres trabajos que requieren el mayor tiempo

Eventos compuestos En muchos casos puede considerarse que un evento es la composición de dos o más eventos distintos. Tales eventos se denominan eventos compuestos y pueden formarse de dos maneras: La unión de dos eventos A y B es el evento que ocurre si A o B o ambos ocurren en una sola realización del experimento. Denotaremos la unión de A y B mediante el símbolo A U B

Eventos compuestos La intersección de dos eventos A y B es el evento que ocurre si tanto A como B ocurren en una sola realización del experimento. Escribiremos A ∩ B EJEMPLO: Considere el experimento de lanzar un dado. Defina los siguientes eventos: A: obtener un número par B: obtener un número menor o igual a tres Describa A U B para este experimento b. Describa A ∩ B para este experimento c. Calcule P (A U B) y P (A ∩ B) para el experimento si el dado es justo.

Eventos compuestos 1 3 2 4 6

Eventos complementarios El complemento de un evento A es el evento en que A no ocurre, es decir, el evento formado por todos los eventos simples que no están en el evento A. Denotaremos el complemento de A como Ac. Además: A U Ac = Espacio muestral A AC

Relación complementaria La suma de las probabilidades de eventos complementarios es igual a 1 P(A) + P(Ac) = 1

Elementos de Análisis Combinatorio Factorial de un número positivo n: n! = (n – 1)……. * 2*1; 0! = 1 Permutaciones: Variaciones de n elementos a partir de un conjunto de n elementos. Pn = n! Ejemplo: Encontrar las permutaciones posibles del conjunto {a,b,c} P3 = 3! = 6 permutaciones (a,b,c), (a,c,b), (c,a,b), (c,b,a), (b,c,a), (b,a,c)

Elementos de análisis combinatorio Variaciones: El número de conjuntos ordenados de k elementos que pueden obtenerse a partir de un conjunto de n elementos es igual a: Ank = n! ( n – k)!

Elementos de análisis combinatorio Combinaciones: El número de subconjuntos de k elementos que pueden obtenerse a partir de un conjunto de n elementos está dado por: Cnk = n! k! (n – k)!

Reglas de conteo Regla multiplicativa. Si se va a extraer un elemen- to de cada uno de k conjuntos de elementos, siendo los tamaños de los conjuntos n1, n2,…., nk, el número de resultados distintos es n1 * n2 * n3*….*nk 2. Regla de permutaciones. Si se van a extraer n objetos de un conjunto de N elementos y a organi- zar los n elementos en un orden definido, el número de resultados distintos es: PnN = N! (N – n)!

Reglas de conteo 3. Regla de particiones: Si se van a repartir los elementos de un conjunto de N elementos entre k grupos compuestos por n1, n2,…., nk, elementos (n1 + n2…. + nk = N), el número de resultados distintos es: N! n1 * n2 *….*nk

Reglas de conteo 4. Regla de combinaciones: Si se van a extraer n objetos de un conjunto de N elementos sin impor- tar el orden de los n elementos, el número de resultados distintos es CnN = N! n! (N – n)!

Reglas básicas de probabilidad Regla de adición: Consideremos dos eventos A y B. P (A o B) = P (A) + P (B) – P (A y B)

Reglas básicas de probabilidad Si los eventos son mutuamente excluyentes, tenemos: P (A o B) = P (A) + P (B) 2. Regla del complemento: P (A) = 1 – P (Ac)

Reglas básicas de probabilidad 3. Eventos independientes: si la ocurrencia de uno no tiene efecto en la probabilidad de ocurrencia de ningún otro evento Si dos eventos son independientes, entonces: P (A y B) = P (A) * P (B)

Reglas básicas de probabilidad 4. Probabilidad condicional: Es la probabilidad de que un evento particular ocurra dado que otro evento ha ocurrido. P (A│B) = P (A y B) P (B)

Reglas básicas de probabilidad 5. Regla para la multiplicación de probabilidades Se ha definido probabilidad condicional como: P (A│B) = P (A y B) P (B) de ahí encontramos que: P (A y B) = P (B) * P (A│B)

¿Qué nos interesa de una variable aleatoria? Nos interesa saber: Cómo se distribuyen las probabilidades entre todos los valores que pueden tomar. 2. En torno a qué valor esperamos el resultado. 3. Cómo es la variabilidad.

¿Qué es una distribución de probabilidad? Es la lista de todos los resultados de un experimento y la probabilidad asociada a cada uno de ellos Número objetos defectuosos Probabilidad P (X) 0.14 1 0.29 2 0.43 3

Distribución de una variable aleatoria Se entiende por distribución de X la forma en que se asignan las probabilidades a los valores que toma X. La distribución se puede representar por: La función de distribución F(x), definida como: F (x) = P (X ≤ x) 2. Para variables aleatorias discretas, por la función de masa o de probabilidad 3. Para variables aleatorias continuas, por la función de densidad

Variables aleatorias discretas La distribución de la variable aleatoria discreta X viene determinada por: Los valores x1, x2,…..,xk…. que puede tomar, y Las probabilidades asociadas p1, p2,….,pk pi = P (X = xi) i = 1,2,…., k Función de masa o de probabilidad

Variables aleatorias discretas Para visualizar la función de masa se utiliza el diagrama de barras: En el eje horizontal los valores que toma X En el eje vertical las probabilidades de cada valor Ej: Número de caras en cuatro lanzamientos de una moneda equilibrada

Distribución binomial Características de la distribución binomial: Cada resultado se clasifica dentro de una de dos categorías mutuamente excluyentes. La probabilidad de éxito permanece constante de un ensayo al siguiente. Cada ensayo es independiente. La distribución es resultado de un conteo del número de éxitos en un número fijo de ensayos.

Distribución binomial Una probabilidad binomial se determina mediante: P (X) = nCx px (1 – p) n - x E (X) = np Var (X) = n p (1 – p)

Ejercicios 3. El número de automóviles que llegan a una intersección durante un período específico a menudo tiene una distribución de probabilidad de Poisson. Suponga que se estima en un auto por minuto el número medio de llegadas a la intersección. Qué probabilidad hay de que en un minuto dado el número de llegadas sea de tres o más?

Distribución normal

CARACTERISTICAS DE LA FUNCION DE DENSIDAD NORMAL Depende de dos parámetros: m y s. Unimodal Simétrica con respecto a m USOS PRINCIPALES Como modelo de probabilidad para muchos fenómenos Representa la distribución de probabilidad de muchos procesos de medición sin errores sistemáticos Aproxima a otras distribuciones, entre ellas la BINOMIAL

Distribución Normal Estándar * Tiene media cero y desviación estándar 1 * Cualquier distribución normal puede convertirse a una distribución normal estándar mediante:

Aproximación normal de la binomial La condición para aproximar una distribución binomial a través de una distribución normal es: np > 5 y n(1 – p) > 5 Como la distribución binomial es discontinua y la distribución normal es de tipo continua debemos efectuar una corrección por continuidad, mediante un factor 0.5 que se resta o se suma, dependiendo de la pregunta