PROBABILIDAD U. D. 15 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

REGLA DE LAPLACE U. D. 15.2 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Operaciones con sucesos La UNIÓN de dos sucesos A y B, AUB, es el suceso que consiste en que se cumpla, al menos, uno de los dos. En los enunciados suele venir “ … se cumpla A o B …” Y el resultado suele ser una suma de probabilidades si los sucesos son incompatibles, o una suma menos un producto si son compatibles: P(AUB) = P(A)+P(B) o bien P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A)·P(B). La INTERSECCIÓN de dos sucesos A y B, A∩B, es el suceso consistente en que se cumplan A y B a la vez. En los enunciados suele venir “ … se cumpla A y B …” Y el resultado suele ser un producto de probabilidades siempre que los sucesos sean compatibles. P(A∩B) = P(A)·P(B) La DIFERENCIA de dos sucesos A y B, A – B, es el suceso que consiste en que se cumpla A pero no se cumpla B. Y el resultado suele ser una resta de probabilidades. P(A – B) = P(A) – P(B) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

LEY DE LAPLACE Ejemplo 1: LEY DE LAPLACE La probabilidad de un suceso A es el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles. casos favorables P(A) = ------------------------------------ casos posibles o totales Para que se pueda aplicar la fórmula de Laplace TODOS y cada uno de los sucesos elementales deben ser EQUIPROBABLES, tener la misma probabilidad de que sucedan. Ejemplo 1: Lanzamiento de una moneda al aire. Casos posibles o totales E = {C, X}  2 Casos favorables al suceso “Salir una cara” {C}  1 P(A) = P(de que nos resulte cara) = casos favorables / casos posibles =1 / 2 = 0,5 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Más ejemplos simples Ejemplo 2: Lanzamiento de un dado al aire. Casos posibles o totales E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}  6 Casos favorables al suceso “Salir par” {2, 4, 6}  3 P(A) = P(de que nos resulte par) = = casos favorables / casos posibles = 3 / 6 = 0,5 Ejemplo 3: Extracción de una carta de baraja. Casos posibles o totales E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …, 40}  40 Casos favorables al suceso “Resulta un rey” {RO,RC,RB,RE}  4 P(A) = P(de que nos resulte un rey) = = casos favorables / casos posibles = 4 / 40 = 0,1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Más ejemplos simples Ejemplo 4: Extracción de una carta de baraja. Casos posibles o totales E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …, 40}  40 Casos favorables al suceso “Resulta una carta de copas”  10 P(A) = P(de que nos resulte una copa) = = casos favorables / casos posibles = 10 / 40 = 0,25 Ejemplo 5: Extracción de una bola de una urna que contiene 5 bolas blancas y 3 bolas negras. Casos posibles o totales E = {B1, B2, B3, B4, B5, N1, N2, N3}  8 Casos favorables al suceso “Resulta blanca” {B1, B2, B3, B4, B5}  5 P(A) = P(de que nos resulte una bola blanca) = = casos favorables / casos posibles = 5 / 8 = 0,625 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Valor de la probabilidad P(Suceso imposible) = 0 Axioma 1 P(Suceso seguro) = P(E) = 1 Axioma 2 P(Cualquier suceso) = P(A) ≥ 0 Luego la probabilidad de cualquier suceso A será siempre: 0 ≤ P(A) ≤ 1 Ejemplos: Sea A el suceso “Obtener un 7 en el lanzamiento de un dado normal” Como es un suceso imposible, entonces P(A) = 0 Sea A el suceso “Obtener un número entero en el lanzamiento de un dado” Como es un suceso seguro, entonces P(A) = 1 Sea A el suceso “Obtener un número múltiplo de 3 en el lanzamiento de un dado normal” Por Laplace: P(A = 2 / 6 = 1/3 = 0,3333. Vemos que 0 ≤ 0,3333 ≤ 1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Si A∩B = ø  P(A U B) = P(A)+P(B) Ejemplo AXIOMA 3 Si A y B son sucesos incompatibles ( no se pueden dar a la vez ) la probabilidad de AUB es la suma de las probabilidades. Si A∩B = ø  P(A U B) = P(A)+P(B) Ejemplo Al extraer una carta de una baraja, que el resultado sea un oro o una copa. P(A U B) = P(A)+P(B) = (10/40)+(10/40) = 0,25+0,25 = 0,5 Por el contrario, si A y B son sucesos compatibles (se pueden dar a la vez) la probabilidad de AUB es la suma de las probabilidades menos el producto de las mismas. Si A∩B ≠ ø  P(A U B) = P(A)+P(B) - P(A).P(B) Al extraer una carta de una baraja, que el resultado sea un oro o una figura. P(AUB) = P(A)+P(B) - P(A).P(B) = (10/40)+(12/40) - (10/40).(12/40) = = 0,25+0,30 – 0,25.0,3 = 0,55 – 0,075 = 0,475 De otra manera, para comprobar: P(AUB) = (10+9)/40 = 19/40 = 0,475 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Sucesos contrarios Cuando en un experimento aleatorio sólo hay dos posibilidades o dos sucesos posibles, que se excluyen mutuamente, se los llama sucesos contrarios. En una moneda, lo contrario de resultar Cara es resultar Cruz. En un dado, lo contrario de resultar Par es resultar Impar. En un dado lo contrario de resultar un 5 es no resultar un 5. Todos los experimentos aleatorios los podemos expresar como espacio muestral de dos únicos sucesos: El que interesa y el contrario. _ _ Como P(A) + P( A ) = 1 ; P( A ) = 1 – P(A) Ejemplo: Al lanzar un dado al aire, que el resultado sea un 5 o que no sea un 5. P(5) = 1 / 6 = 0,1667 _ P(5) = 1 – 1/6 = 5 / 6 = 0,8333 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejemplo múltiple A una reunión asisten 100 diplomáticos de todos los continentes de la forma que ser muestra en las siguiente tabla de contingencia: Hallar la probabilidad de que, elegida una persona al azar, ésta … a) Sea una mujer africana. b) No sea una mujer africana. c) Sea americana. d) No sea americana. e) Sea un hombre europeo o americano. f) No sea un hombre europeo o americano. Resolvemos por Laplace, suponiendo que todas las personas tienen la misma probabilidad de resultar elegidas. Europa Asia África América Oceanía Hombres 14 10 13 60 Mujeres 16 5 2 7 40 30 15 20 100 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

a) P(A) = P(Sea una mujer africana). P(A) = 2 / 100 = 0,02 = 2% Resolución a) P(A) = P(Sea una mujer africana). P(A) = 2 / 100 = 0,02 = 2% b) P(No sea una mujer africana). P(A¯) = 1 – P(A) = 1 – 0,02 = 0,98 = 98% c) P(B) = P(Sea americana). P(B) = (10+10)/100 = 20/100 = 0,2 = 20% d) P(No sea americana). P(B¯) = 1 – P(B) = 1 – 0,20 = 0,80 = 80% e) P(C) = P(Sea un hombre europeo o americano). P(C) = (14+10)/100 = 24/100 = 0,24 = 24% f) P(No sea un hombre europeo o americano). P(C¯) = 1 – P(C) = 1 – 0,24 = 0,76 = 76% Europa Asia África América Oceanía Hombres 14 10 13 60 Mujeres 16 5 2 7 40 30 15 20 100 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.