Tema 3 Árboles. Conceptos Generales. Curso 2014/2015 ETSISI UPM

ÁRBOLES

Definición Estructura de datos jerárquica (no lineal) que puede representarse como un conjunto de nodos enlazados entre sí por medio de ramas. Formalmente, un árbol es una estructura da datos que cumple una de las siguientes condiciones: Estructura vacía Nodo de tipo base que tiene de 0 a N subárboles disjuntos entre sí. Nodo base: raíz del árbol 1 7 5 3 Los elementos de un array se distinguen por su posición, éstos pueden seleccionarse arbitrariamente y son accesibles mediante el índice de selección del componente 4 9 17 29 44 69

Conceptos (I): Nivel de un nodo: número de nodos a recorrer hasta llegar a él Nivel de la raíz = 1 Profundidad de un nodo: número de predecesores más 1 Profundidad (1) = 1 Profundidad (9) = 3 Altura del árbol: profundidad máxima. Altura = 4 Nivel 1 1 Nivel 2 7 3 5 4 9 17 Nivel 3 Nivel 4 29 44 69

Conceptos (II): Camino del nodo X al nodo Y: sucesión de nodos que permitan llegar desde X a Y. Antecesor: A es un nodo antecesor de B si para alcanzar B, desde el nodo raíz, es necesario pasar por A. Sucesor: B es un nodo sucesor de A, si A es antecesor de B. Raíz: único nodo que no tiene antecesor Nodo hoja: nodo sin sucesores Subárbol: árbol formado por un nodo y sus descendientes Grado de un nodo: número de hijos Grado del árbol: el mayor de los grados de los nodos Amplitud/anchura del árbol: número de nodos del nivel más poblado. 1 7 3 5 4 9 17 29 44 69

Árbol completo Todos los nodos (excepto las hojas) tienen el mismo grado y los diferentes niveles están poblados por completo Para obtener un árbol completo se pueden generar nodos especiales En un árbol completo: Amplitud del nivel n: An = gn-1 Número de nodos: Nn = gn -1 g -1 1 7 3 5 4 9 17

ÁRBOLES BINARIOS

Definición. Árbol de grado 2 Implementación física: Estructura estática (matrices) Estructura dinámica Los nodos de un árbol tienen (al menos) tres componentes: Clave (de tipo simple o estructurada) Puntero que indique la ubicación del árbol derecho Puntero que indique la ubicación del árbol izquierdo Además: convención para indicar que no tiene hijos (valor null)

1 1 2 3 4 5 clave 7 9 17 Ar.Iz * Ar.De 7 3 4 9 17 Arbol Memoria estática Memoria dinámica 1 7 3 * raiz NodoArbol

Definición de las clases Clase NodoArbol NodoArbol.h Clase Arbol Arbol.cpp #include <iostream> #ifndef NODOARBOL_H_ #define NODOARBOL_H_ class NodoArbol { public: int clave; NodoArbol *iz, *de; NodoArbol() { clave = 0; iz = de = NULL; } #endif /* NODOARBOL_H_ */ #include "Arbol.h" Arbol::Arbol (){ raiz = NULL; } Arbol::Arbol (int dato){ raiz = new NodoArbol (dato); void destruir (pNodoArbol &nodo) { if (nodo != NULL) { destruir (nodo->iz); destruir (nodo->de); delete nodo; nodo = NULL; Arbol::~Arbol () { pNodoArbol nodo = raiz; destruir (nodo); #include "NodoArbol.h" #ifndef ARBOL_H_ #define ARBOL_H_ typedef NodoArbol *pNodoArbol; class Arbol { public: //Variables miembro pNodoArbol raiz; //interfaz Arbol (); Arbol (int dato); ~Arbol (); }; Clase Arbol Arbol.h

ÁRBOLES BINARIOS DE BÚSQUEDA

Árboles binarios de búsqueda (I). Concepto: Un árbol binario de búsqueda (ABB) es un árbol binario en el que se verifica que las claves del subárbol izquierdo son menores que las claves del árbol derecho. Características: Mayor eficiencia en búsquedas. Listado de claves ordenadas: orden central.

Árboles binarios de búsqueda (II) Ejemplo