Sobre el pecado original En la teoría de poliedros Rodolfo San Agustín Chi rodolfomeister@ciencias.unam.mx Anónimo Siglo XII Museo del Prado

Kyle Downs Monarch 4

Are your polyhedra the same as my polyhedra? Branko Grünbaum Discrete and computational geometry: the Goodman-Pollack Festschrift (2003), pp. 461-488.

Construir un poliedro con las figuras siguientes de tal manera que: Cada arista pertenezca a exactamente dos caras.

Cada lado de cada polígono pertenece a exactamente otro polígono. Un poliedro es un conjunto finito y conexo de polígonos planos tal que: Cada lado de cada polígono pertenece a exactamente otro polígono. Los polígonos que comparten un vértice determinado forman un circuito simple. Regular Polytopes H.S.M. Coxeter, 1963.

¿superficie? ¿sólido? ¿compuesto simplicial (de dimensión 1)?

Papiro de Oxyrhincho

(Proposición) 5. Si se corta una línea recta en segmentos iguales y desiguales, el rectángulo comprendido por los segmentos desiguales de la recta entera junto con el cuadrado de la recta que está entre los puntos de sección, es igual al cuadrado de la mitad.

Euc. I.1 Punto es aquello que no tiene partes. Euc. I.2 Linea es longitud sin latitud. Euc. I.4 Linea recta es aquella que descansa según igualdad sobre sus puntos. Euc. I.5 Superficie es lo que tiene solamente longitud y latitud. Euc. I.7 Superficie plana es aquella que descansa según igualdad sobre sus rectas.

Proposición 16.- Construir un icosaedro e inscribirlo en una esfera … . . . . . . Proposición 16.- Construir un icosaedro e inscribirlo en una esfera … Proposición 17.- Construir un dodecaedro e inscribirlo en una esfera … Proposición 18.- Considerar los lados de las cinco figuras y compararlos entre sí.

No se puede construir ninguna otra figura contenida por figuras equiláteras y equiangulares iguales entre sí.

J. Kepler, Harmonices mundi. J. Plank, Linz 1619. L. Poinsot, Mémoire sur les polygones et les polyèdres. J. École Polytech. 10(1810), 16-48. A.L. Cauchy. Recherches sur les polyèdres; Premier mèmoire. École Polytech. 9(1813), 68-98. H.S.M. Coxeter. Regular Skew polyhedra in three and four dimensions. Proc. London Math. Soc. (2) 43(1937) , 33-62.

Octaedro de Bricard Poliedro de Steffen

B. Grünbaum, Regular polyhedra – old and new. Aequationes Math A.W.M. Dress, A combinatorial theory of Grünbaum’s new regular polyhedra. Part I Aequationes Math. 23(1981), 252–265. Part II Aequationes Math. 29(1985), 222–243. B. Grünbaum, Regular polyhedra. In Companion Encyclopaedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences, I. Grattan–Guiness, ed. Routledge, London 1994. Vol. 2, 866–876.

De zondeval Cornelis van Haarlem

S.P. Sopov, Proof of the completeness of the enumeration of uniform polyhedra. Ukrain. Geom. Sbornik 8(1970), 139-156. J. Skilling, The complete set of uniform polyhedra. Philos. Trans. Roy. Soc. London (A)278(1975), 111-135.

¿En cuales espacios podemos hacer geometría? De todos estos ¿Cuáles son aptos para construir poliedros? ¿Qué es un poliedro? ¿O un polígono o un politopo ? ¿Qué es el interior y el exterior de un poliedro? ¿Puede tener un poliedro agujeros no toroidales (i.e. puede tenerlos sobre su superficie)? ¿Qué es el proceso de reciprocación poliédrica?. Siempre es un poliedro el recíproco de un poliedro? ¿Qué son los procesos recíprocos de estrellamiento y facetado de los poliedros? ¿Cuales son los distintos estrellamientos y facetados de los poliedros regulares?

Definición.- Un n-gono, n ≥ 3, es una sucesión cíclica de puntos arbitrarios V₁, V₂, …, Vn junto con los segmentos Ei := ViVi+1 mod n. Cada arista es incidente solo con los vértices que la determinan.

{ n/d}

{n/d}

{ 11/3}

Estructura combinatoria Estructura combinatoria Realización geométrica Realización geométrica

Poliedros Isogonales Isoédricos regulares

Vertex doubling Face doubling Tetraedro { 3 , 3 } { 6/2 , 3 } { 3 , 6/2 } Octaedro { 3 , 4 } { 6/2 , 4 } Hexaedro { 4 , 3 } { 4 , 6/2 } Icosaedro { 3, 5 } { 6/2 , 5 } { 3 , 10/2 } Dodecaedro { 5 , 3} { 10/2 , 3 } { 5 , 6/2 } Gran dodecaedro estrellado { 5/2 , 3 } { 10/4 , 3 } { 5/2 , 6/2 } Pequeño dodecae- dro estrellado { 5/2 , 5 } { 10/4 , 5 } { 5/2 , 10/2 } Gran icosaedro { 3 , 5/2 } { 6/2 , 5/2 } { 3 , 10/4 } Gran dodecaedro { 5 , 5/2 } { 10/2 , 5/2 } { 5 , 10/4 }

Duplicación de vértices. Duplicación de caras. Eliminación de clases de transitividad de caras. Corte (ranurado) sobre una clase de transitividad de aristas. Cubrimientos dobles de poliedros no orientables. Inclusión de caras adicionales. . . . . . . . . .

Muchísimas gracias a todos.