PROBABILIDADES

Tal vez estemos acostumbrados con algunas ideas de probabilidad, ya que esta forma parte de la cultura cotidiana. Con frecuencia escuchamos a personas que hacen afirmaciones relacionadas con la probabilidad: • Probablemente Chile gane la Copa Confederaciones 2017 en Rusia. • Hay un 98% de probabilidad de que no llueva mañana en Copiapó. • Tengo una posibilidad de 50-50 de aprobar el examen de Estadística. • Es más probable perder que ganar en el Casino de Juegos. ¿Qué significan exactamente este tipo de expresiones?. Algunas afirmaciones pueden estar basadas en información científica y otras en prejuicios subjetivos. Cualquiera que sea el caso, son inferencias probabilísticas: no hechos, sino conjeturas. En este capítulo estudiaremos el concepto básico de probabilidad y sus reglas aplicadas a sucesos simples y sucesos compuestos. La teoría de la probabilidad es la base de la inferencia estadística y un instrumento esencial en el análisis de la variabilidad.

Experimentos deterministas Son los experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se realicen. Por ejemplo, si dejamos caer una piedra desde una ventana sabemos, sin lugar a dudas, que la piedra bajará. Si la arrojamos hacia arriba, sabemos que subirá durante un determinado intervalo de tiempo; pero después bajará. Experimentos aleatorios Son aquellos en los que no se puede predecir el resultado, ya que éste depende del azar. Ejemplos: Si lanzamos una moneda no sabemos de antemano si saldrá cara o cruz. Si lanzamos un dado tampoco podemos determinar el resultado que vamos a obtener.

Ejercicios: Extraer una carta de una baraja Lanzar una moneda al aire Determina si los siguientes experimentos son aleatorios o deterministas: Extraer una carta de una baraja Lanzar una moneda al aire Arrojar una piedra a un pozo Medir la estatura del Everest Medir las hojas de un árbol La Selección saldrá campeona del mundo.

La Probabilidad Mide las posibilidades de que cada uno de los posibles resultados en un suceso que depende del azar sea finalmente el que se dé. Por ejemplo: la probabilidad mide la posibilidad de que salga "cara" cuando lanzamos una moneda, o la posibilidad de que salga 5 cuando lanzamos un dado.

Sucesos Llamamos sucesos a los posibles resultados de una acción que depende del azar. Distinguimos tipos de sucesos: Suceso posible: es un resultado que se puede dar. Por ejemplo, el 5 es un suceso posible cuando lanzamos un dado. Suceso imposible: es un resultado que no se puede dar. Por ejemplo, el 7 es un suceso imposible cuando lanzamos un dado (el dado no tiene el número 7). Suceso seguro: es un resultado que siempre se va a dar. Por ejemplo, "número menor de 7" es un suceso seguro cuando lanzamos un dado (cualquier número que salga al lanzar el dado será menor que 7).

Suceso compuesto: es cualquier subconjunto del espacio muestral. Suceso elemental: es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral. Por ejemplo, “Tirando un dado un suceso elemental es sacar 5”. Suceso compuesto: es cualquier subconjunto del espacio muestral. Por ejemplo, “Tirando un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3”. Sucesos Compatibles: Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algún suceso elemental común. Por ejemplo, Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 3, A y B son compatibles porque el 6 es un suceso elemental común.

Sucesos incompatibles: Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común. Por ejemplo, Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 5, A y B son incompatibles. Sucesos independientes: Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B. Por ejemplo, Al lazar dos dados los resultados son independientes. Sucesos Dependientes: Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B. Por ejemplo, Extraer dos cartas de una baraja, sin reposición, son sucesos dependientes. Sucesos Contrarios: El suceso contrario a A es otro suceso que se realiza cuando no se realiza A. Se denota por suceso contrario. Por ejemplo, Son sucesos contrarios sacar par e impar al lanzar un dado.

Probabilidades de los Sucesos Dentro de los sucesos posibles vamos a distinguir: Suceso igual de probable: es aquel resultado que tiene la misma probabilidad que los demás: Por ejemplo: cuando lanzamos una moneda, el suceso "cara" tiene las mismas probabilidades que el suceso "cruz". Suceso muy probable: es aquel resultado que tiene muchas probabilidades de darse: Por ejemplo: en una bolsa con 100 bolitas numeradas del 1 al 100, el suceso "sacar una bola con un número entre 1 y 98" tiene muchas probabilidades de ocurrir. Suceso poco probable: es aquel resultado que tiene muy pocas Por ejemplo: en una bolsa con 100 bolitas, 99 blanca y 1 negra, el suceso "sacar la bola negra" tiene pocas probabilidades de ocurrir.

Calculo de Probabilidades Para calcular probabilidades se utiliza la siguiente fórmula: Probabilidad = Casos favorables / Casos posibles El resultado se multiplica por 100 para expresarlo en porcentaje. Veamos algunos ejemplos: a) Calcular la probabilidad de que salga "cara" al lanzar una moneda: Casos favorables: 1 (que salga "cara") Casos posibles: 2 (puede salir "cara" o "cruz") Probabilidad = (1 / 2 ) * 100 = 50 %

b) Calcular la probabilidad de que salga "3" al lanzar un dado: Casos favorables: 1 (que salga "3") Casos posibles: 6 (puede salir "1, 2, 3, 4, 5 o 6") Probabilidad = (1 / 6 ) * 100 = 16,6 % c) Calcular la probabilidad de que salga "un número entre 1 y 4 " al lanzar un dado: Casos favorables: 4 (sería válido cualquiera de los siguientes resultados "1, 2, 3, o 4") Probabilidad = (4 / 6 ) * 100 = 66,6 %

d) Calcular la probabilidad de que salga el número 76 al sacar una bolita de una bolsa con 100 bolitas numeradas del 1 al 100: Casos favorables: 1 (sacar el número 76) Casos posibles: 100 (hay 100 números en la bolsa) Probabilidad = (1 / 100 ) * 100 = 1 % e) Calcular la probabilidad de que salga "un número entre 1 y 98" al sacar una bolita de una bolsa con 100 bolitas numeradas del 1 al 100: Casos favorables: 98 (valdría cualquier número entre 1 y 98) Probabilidad = (98 / 100 ) * 100 = 98 %

Teoría de Probabilidad La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro. Con este fin, introduciremos algunas definiciones: Espacio Muestral: Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por E (o bien por la letra griega Ω). Espacio muestral de una moneda: E = {C, X}. Espacio muestral de un dado: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Suceso aleatorio: Es cualquier subconjunto del espacio muestral. Ejemplo I: Tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3, y otro, sacar 5. Ejemplo II: Una bolsa contiene bolas blancas y negras. Se extraen sucesivamente tres bolas. Calcular: 1. El espacio muestral. E = {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b); (n, n,n)} 2. El suceso A = {extraer tres bolas del mismo color}. A = {(b,b,b); (n, n,n)} 3. El suceso B = {extraer al menos una bola blanca}. B= {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b)} 4. El suceso C = {extraer una sola bola negra}. C = {(b,b,n); (b,n,b); (n,b,b)}

Espacio de sucesos, S, es el conjunto de todos los sucesos aleatorios. Si tiramos una moneda el espacio se sucesos está formado por: S= {{Conjunto vació}, {C}, {X}, {C,X}}. Observamos que el primer elemento es el suceso imposible y el último el suceso seguro. Si E tiene un número finito de elementos, n, de elementos el número de sucesos de E es 2n . Ejemplos: Una moneda E= {C, X}. Número de sucesos = 22 =4 Dos monedas E= {(C,C); (C,X); (X,C); (X,X)}. Número de sucesos = 24 =16 Un dado E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Número de sucesos = 26 = 64

Relación entre sucesos Entre los sucesos compuestos se pueden establecer distintas relaciones: a) Un suceso puede estar contenido en otro: las posibles soluciones del primer suceso también lo son del segundo, pero este segundo suceso tiene además otras soluciones suyas propias. Ejemplo: lanzamos un dado y analizamos dos sucesos: a) que salga el número 6, y b) que salga un número par. Vemos que el suceso a) está contenido en el suceso b). Siempre que se da el suceso a) se da el suceso b), pero no al contrario. Por ejemplo, si el resultado fuera el 2, se cumpliría el suceso b), pero no el el a). b) Dos sucesos pueden ser iguales: esto ocurre cuando siempre que se cumple uno de ellos se cumple obligatoriamente el otro y viceversa. Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par, y b) que salga múltiplo de 2. Vemos que las soluciones coinciden en ambos casos. c) Unión de dos o más sucesos: la unión será otro suceso formado por todos los elementos de los sucesos que se unen. Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par y b) que el resultado sea mayor que 3. El suceso unión estaría formado por los siguientes resultados: el 2, el 4, el 5 y el 6

d) Intersección de sucesos: es aquel suceso compuesto por los elementos comunes de dos o más sucesos que se intersectan. Ejemplo: lanzamos un dado al aire, y analizamos dos sucesos: a) que salga número par, y b) que sea mayor que 4. La intersección de estos dos sucesos tiene un sólo elemento, el número 6 (es el único resultado común a ambos sucesos: es mayor que 4 y es número par). e) Sucesos incompatibles: son aquellos que no se pueden dar al mismo tiempo ya que no tienen elementos comunes (su interesección es el conjunto vacio). Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga un número menor que 3, y b) que salga el número 6. Es evidente que ambos no se pueden dar al mismo tiempo. f) Sucesos complementarios: son aquellos que si no se da uno, obligatoriamente se tiene que dar el otro. Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga un número par, y b) que salga un número impar. Vemos que si no se da el primero se tiene que dar el segundo (y viceversa).