Clase n º 2 Complemento Numérico UNIVERSIDAD DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS ESCUELA DE VERANO 2007 Clase n º 2 Complemento Numérico Objetivos: -Integración por Euler y Verlet -Integrar numéricamente: lanzamiento vertical y oscilador armónico

Relación posición-velocidad Sabemos que la velocidad es la variación de la posición a medida que transcurre el tiempo. Matemáticamente lo anterior se puede escribir como: o lo que es equivalente: (1)

Interpretación También podemos interpretar la relación como sigue: “El área bajo la curva V corresponde a la distancia recorrida durante ese intervalo de tiempo” O aproximadamente: t V v Arreglar esta ultima transparencia!!!!! El punto en conflicto es saber si se toma v(t) o v(t+t) Nosotros consideraremos v(t) ya que o si no se necesita un dato más.

Relación posición-velocidad Veamos con más profundidad la relación (1): X X(t) X(t+dt) t dt t t+dt

Relación posición-velocidad Ahora despejemos la posición en el instante t

Interpretación Esta última ecuación se lee: “La posición en el tiempo siguiente (x(t+dt)) es igual a la posición en el tiempo actual (x(t)) más lo que avanzó (v(t)·dt)” Esto último corresponde al método de Euler de integración

Método de Euler Para generalizar las expresiones, las escribiremos de manera de recurrencia:

Otro Método Podemos ver que el método de Euler resulta muy bueno para realizar integraciones numéricas de funciones simples, pero en el caso de que las funciones sean más complejas (como veremos en esta clase) el método no es muy bueno (en realidad es muy malo). Es por esto que veremos otro método de integración numérica, el cual supera al anterior de manera considerable.

Método de Verlet (1) Esta recurrencia de integración es conocida como método de Verlet, el cual se presenta mediante la siguiente recurrencia:

Método de Verlet (2) Podemos ver que la expresión del método de Verlet es similar a la forma que tiene la ecuación de un movimiento uniformemente acelerado, pero expresada en términos de diferencias de tiempo. Tenemos que considerar que el método de Verlet, es un método muy simple pero eficaz, es decir, podemos realizar aproximaciones bastante buenas utilizando esta recurrencia.

¿Qué haremos hoy? Resolveremos el problema de lanzar una partícula de manera vertical, pero sin utilizar las clásicas ecuaciones de cinemática, sino que utilizaremos ambos métodos de integración descritos anteriormente. Para ello debemos abrir la planilla Excel de esta clase, con lo cual procederemos a implementar ambos métodos. Así tenemos una tabla para cada método (la tabla de Leap-Frog es opcional).

Qué hacer en EXCEL… Implementar ambas recurrencias definidas anteriormente (Euler y Verlet) para el lanzamiento vertical de una partícula con velocidad inicial Vo. Encontrar la posición, velocidad y aceleración de la partícula en función del tiempo según los dos métodos. Graficar los resultados y compararlos. Verificar si los métodos aplicados al lanzamiento vertical funcionan correctamente.

Preguntas. ¿Ambos métodos son igual de eficaces para resolver el problema del lanzamiento vertical?. ¿Cuál método será el mejor, según los gráficos?. ¿Cuál es la máxima altura que alcanza la partícula?. ¿Cuánto tiempo se demora la partícula en alcanzarla?.

Oscilador armónico. (1) Adelantándonos un poco en la materia, analizaremos el movimiento de un oscilador armónico, resolviendo la ecuación de movimiento que lo rige mediante ambos métodos. La ecuación de movimiento de un oscilador armónico es la siguiente:

Oscilador armónico. (2) De la ecuación de movimiento anterior podemos sacar las siguientes conclusiones: La aceleración del resorte es proporcional a la posición (con una constante de proporcionalidad k) y se opone al movimiento (por el signo menos). Debido a que no existe una fuerza externa además de la propia del resorte, el movimiento es conservativo (tal cual como hemos estudiado hasta ahora). Por lo tanto, teniendo una velocidad inicial Vo y con posición inicial Xo (¿cuánto vale la aceleración inicial?), tendremos un movimiento armónico simple (MAS).

Qué hacer en EXCEL… Implementar ambas recurrencias definidas anteriormente (Euler y Verlet) para el MAS. Para ello suponemos que el cuociente entre la constante del resorte y la masa es 1. Encontrar la posición, velocidad y aceleración de la partícula (unida al resorte) en función del tiempo según los dos métodos. Graficar los resultados y compararlos (en especial grafique v vs x para los dos métodos). Verificar la validez de ambos métodos.

Preguntas. ¿Ambos métodos son igual de eficaces para resolver MAS?. ¿Cuál método será el mejor, según los gráficos?. ¿Cuál es la máxima posición que alcanza el resorte en cada uno de los métodos?. ¿Cuánto tiempo se tarda el resorte en realizar una oscilación completa (ida y vuelta)?

Anexo: Método de Leap Frog (1) Sólo para los que dominan Complemento Numérico Un tercer método consiste en el método de Leap-Frog, el cual es bastante más complejo que los anteriores. Las iteraciones que realiza este método son las siguientes:

Anexo: Método de Leap Frog (2) Sólo para los que dominan Complemento Numérico Podemos ver que este método, utiliza una rapidez evaluada en un punto intermedio (half step). La finalidad de esto, es que se aproxima la curva por el punto intermedio con lo cual, se puede obtener un valor más cercano al real (que al aproximarlo en los extremos). El valor de la rapidez a utilizar para efectos de gráficos, es el promedio de la rapidez de medio paso adelante y la de medio paso atrás.

Bonus: Método de Leap Frog Sólo para los que dominan Complemento Numérico Realice todos los cálculos anteriores con el método de Leap-Frog (lanzamiento vertical y MAS). Conteste las mismas preguntas y realice los gráficos que son pedidos. ¿Este método es más eficiente que los anteriores?