TEORÍA DE PROBABILIDADES

PROBABILIDAD  La probabilidad constituye la cuantificación de la posibilidad de que ocurra un determinado evento, mediante técnicas matemáticas.  Es una medida de la incertidumbre relacionada a un suceso aleatorio.  La probabilidad es un concepto muy importante, pues constituye la base de la toma de decisiones; igualmente, estadística) el en famoso valor P de (significación las pruebas hipótesis, es una probabilidad.

NOCIONES ELEMENTALES SOBRE LA TEORÍA DE CONJUNTOS CONJUNTO Ejemplos Es toda colección o agrupación de elementos de cualquier naturaleza Ejemplos  Conjunto de vacas del establo de Huaral.  Conjunto de cursos de la maestría.  Conjunto de microscopios de la FMV-UNMSM.  Conjunto de los estudiantes de Posgrado - FMV - UNMSM.  Conjunto de CDs vendidos el año pasado.

NOTACIÓN Ejemplos Los conjuntos se denotan generalmente con letras mayúsculas, mientras que los elementos con minúsculas. Ejemplos Conjunto A, cuyos elementos son los pesos 5, 7 y 12. A = 5, 7, 12 Se lee: ―A es Conjunto B, el conjunto cuyos elementos son: 5, 7 y 12. cuyos elementos son las letras: d, e y f. B = d, e, f Se lee: "B es el conjunto cuyos elementos son: d, e y f.

CONJUNTO VACÍO () COMPLEMENTO (Ā o Ac) UNIÓN () INTERSECCIÓN () Es el conjunto que carece de elementos. COMPLEMENTO (Ā o Ac) Dado un conjunto A que está contenido en S, el conjunto complemento de A, es aquel que está formado por los elementos de S que no pertenecen a A en relación a S. UNIÓN () Dados dos eventos A y B, el evento unión está formado los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. INTERSECCIÓN () por Dados los eventos A y B, el evento intersección está formado por los elementos que pertenecen simultáneamente a A y B.

Ejemplo S : Alpacas A : Alpacas B : Alpacas de de de la Estación Experimental Quimsachata. sexo macho. raza Suri. Unión A  B : Alpacas de sexo macho alpacas de raza Suri. o Intersección A  B : Alpacas de raza Suri. sexo macho de Complemento de A (Ā) : Alpacas de sexo hembra.

TÉRMINOS EN PROBABILIDAD EXPERIMENTO Es cualquier proceso planeado para obtener información de los elementos de una población. ESPACIO Conjunto MUESTRAL ( o S o E) de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Ejemplos Experimento: Estado de salud de un perro. S = S, E S = sano, E = enfermo Experimento: lanzar una moneda. S = C, S C = cara, S = sello

EVENTO O SUCESO Ejemplo Es todo subconjunto del espacio Experimento: lanzar un dado. Eventos: 1, 2, 3, 4, 5 y 6 muestral. El evento seguro es aquel que de todas maneras coincide con el espacio muestral. ocurrirá y En el ejemplo, el evento seguro será que se obtenga un número entre 1 y 6. El evento imposible es aquel que no puede suceder. En el ejemplo, el evento imposible será que salga siete.

EVENTO O SUCESO ELEMENTAL EVENTO O SUCESO COMPUESTO Los eventos probables son aquellos que no son ni el suceso seguro ni el imposible. En el ejemplo, el evento mayor de 2 es un suceso probable, pues no se tiene la seguridad pero es posible que suceda. de que salga, EVENTO O SUCESO ELEMENTAL Es aquel que está constituido por un solo elemento. En el ejemplo, el suceso número tres. EVENTO O SUCESO COMPUESTO Es aquel que está formado por dos o más elementos espacio muestral. En el ejemplo, el evento menor de dos. del

DEFINICIÓN CLÁSICA (Probabilidad a priori) 1. DEFINICIÓN CLÁSICA (Probabilidad a priori) Si antes de ejecutar un experimento se conocen todos los N eventos posibles mutuamente excluyentes y cada uno tiene la misma oportunidad de ocurrir, la probabilidad de observarse un evento 1/N. Ejemplo Experimento simple en particular es igual a : lanzar una moneda cara o sello. al aire. Resultados posibles Evento favorable (S) (A) el lado mostrado por el dado sea cara. P(A) = 1/2 ó 0.5

A P (A) = ——— A + B 2  = 1/3 TEP 6 Experimento Evento deseado (A) : lanzar un dado "bueno". : número menor de tres. A: eventos favorables (éxito) B: eventos desfavorables (fracaso) A + B = resultados posibles (S) 1 y 2 3, 4, 5 y 6 1, 2, 3, 4 , 5, y 6 A P (A) = ——— A + B Todos los resultados son igualmente posibles y mutuamente excluyentes. NEF P (A) =  TEP 2  = 1/3 6 =

En un establo hay 200 bovinos, 120 de los cuales son de 2. DEFINICIÓN DE FRECUENCIA RELATIVA (Probabilidad a posteriori) Determina la probabilidad en base a la proporción de veces que ocurre un evento deseado (éxito), después de efectuado el experimento. No está implícita la suposición de igualdad de probabilidad. Ejemplo En un establo hay 200 bovinos, 120 de los cuales son de raza Holstein y 80 Brown Swiss. Si se selecciona una de las fichas de estos animales ¿cuál es la probabilidad de que sea de un bovino Hostein?. al azar Holstein (A) Brown Swiss : 120 (B) : 80  200 Total P(A) = 120/200 = 0.60 Dr. Francisco Suárez Aranda

seguridad. PROBABILIDAD  Es una afirmación numérica sobre la posibilidad de que algo ocurra. La probabilidad de cualquier evento es igual o mayor  a cero P  0 el grado de incerteza de eventos, variando 0  P  1  Cuantifica de 0 a 1  El uno corresponde a un evento que ocurrirá con seguridad. El cero indica que un evento es imposible de ocurrir. La suma de las probabilidades de todos los eventos  mutuamente excluyentes posibles (espacio de muestreo) es igual a UNO.

EVENTO UNIÓN () Experimento: lanzar un dado. Evento C: número menor de 4 Evento D: número mayor de 4 1, 2 y 3 5 y 6 Evento C  D = 1, 2, 3, 5, y 6 Experimento: lanzar un dado. Evento M: número menor de 4 N: número mayor de 1 M  N = 1, 2, 3, 4, 5, y 1, 2 y 3 2, 3, 4, 5 y 6 6 El evento M  N está constituido por los elementos que pertenecen al evento M y a los elementos del evento N, incluyendo a los que pertenecen a ambos eventos.

EVENTO INTERSECCIÓN () Experimento: lanzar un dado. Evento F: número menor de 4 Evento G: número mayor de 3 1, 2 y 3 4, 5 y 6 Evento F  G =  Experimento: lanzar un dado. Evento H: número menor de 4 Evento L: número mayor de 1 1, 2 y 3 2, 3, 4, 5 y 6 Evento H  L = 2 y 3 El evento H  L está constituido por los elementos comunes a los eventos H y L.

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Ejemplo Dos eventos son mutuamente cuando no pueden ocurrir simultáneamente, es decir la ocurrencia de uno de ellos excluye la ocurrencia del otro. Ejemplo Una perra ha parido cuatro cachorros machos y cinco hembras. Experimento: ver el sexo de un cachorro. Evento A: macho. Evento B: hembra. Los eventos A y B son mutuamente excluyentes porque la probabilidad que el perro seleccionado sea macho excluye la probabilidad de que sea hembra y viceversa.

EVENTOS NO MUTUAMENTE EXCLUYENTES Dos eventos son no mutuamente cuando pueden suceder a la vez. En el ejemplo anterior, existen cachorros blancos, de color y de ambos sexos. Experimento: seleccionar un cachorro. Evento A: cachorro hembra. Evento B: cachorro de color. Ambos eventos pueden ocurrir, pues el cachorro seleccionado puede ser de lo que los eventos A y B excluyentes. sexo hembra y de color; por son eventos no mutuamente

SUMA DE PROBABILIDAD 1. EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES P(A  B) = P(A o B) = P(A) + P(B) Ejemplo Al lanzar un dado balanceado, ¿cuál es la probabilidad de obtener el número uno o número mayor Evento (A) : número dos = 1 de tres?. Evento (B) : número mayor P(A) = 1/6 P(B) = 3/6 P(A  B) = P(A) + P(B) P(A  B) = 1/6 + 3/6 = 4/6 de 3 = 4, 5 y 6

P(A  B) = P(A) + P(B) – P (A  B) 2. EVENTOS NO MUTUAMENTE EXCLUYENTES P(A  B) = P(A) + P(B) – P (A  B) Ejemplo Al lanzar un dado balanceado, ¿cuál es la probabilidad de que salga número par o número mayor de cuatro?. Evento (A): número par = 2, 4 y 6 (B): número mayor de cuatro = 5 y 6 (A  B): número par mayor P(B) = 2/6 + P(B) – P (A  B) de cuatro = 6 (A  B) = 1/6 P(A) = 3/6 P(A  B) = P(A) 3/6 + 2/6 – 1/6 = 4/6 Dr. Francisco Suárez Aranda

Evento A: el sexo del primer cachorros sea macho. EVENTOS INDEPENDIENTES Dos o más eventos son independientes, cuando la ocurrencia de un evento no influye sobre la probabilidad de la ocurrencia de los otros. Ejemplo EXPERIMENTO: Nacimiento de tres cachorros. Evento A: el sexo del primer cachorros sea macho. Evento B: el sexo del segundo cachorro sea macho. Evento C: el sexo del tercer cachorro sea macho. La ocurrencia del evento C, no está influenciada por la ocurrencia de los eventos anteriores (A y B); ni el evento B está influenciado por lo que suceda en el evento A; por tanto, A, B y C son eventos independientes.

EVENTOS DEPENDIENTES Ejemplo Dos o más eventos son dependientes, cuando la ocurrencia de un evento se ve afectada por la ocurrencia del evento anterior. Ejemplo En el ejemplo de la perra que tuvo cuatro cachorros machos y cinco hembras, una señora va a comprar dos de ellos y los va a seleccionar aleatoriamente uno por uno. Evento A = El primer cachorros sea macho. Evento B = El segundo cachorro sea también macho. El evento B depende de la ocurrencia del evento A, por tanto los eventos A y B son eventos dependientes. lo

MULTIPLICACIÓN DE PROBABILIDAD 1. EVENTOS INDEPENDIENTES P(A  B) = P(A y B) = P(A) x P(B) Ejemplo En un establo de ganado lechero, dos vacas están por parir, como es lógico el dueño desea que ambas sean hembras, ¿cuál es la probabilidad de que ocurra eso?. Evento hembra en el primer nacimiento (A) hembra en el segundo nacimiento (B) P (sexo hembra) = 1/2 P(A  B) = 1/2 x 1/2 = 1/4

Ejemplo Una prueba está constituida por cinco preguntas, cada una de ellas con cuatro alternativas, con sólo una respuesta correcta. Si un estudiante responde al azar (no estudió), ¿cuál será acierte las cinco respuestas?. n = 5 x = 5 p = 1/4 la probabilidad de que Son eventos 1ª independientes 2ª 1/4 3ª 1/4 4ª 1/4 5ª 1/4 = 1/1024 1/4 x x x x

2. EVENTOS DEPENDIENTES P(A  B) = P(A) P(B|A) Ejemplo Se presenta una oferta de libros, entre los cuales hay diez libros de matemática y cinco de inglés, todos de diferentes autores. Si libros y los escogerá usted la probabilidad un estudiante va a comprar tres al azar uno por uno; determine de que los dos primeros sean de matemática y el tercero de inglés. 1º M 10/15 2º M 9/14 3º I x 5/13 = 15/91 x

Ejemplo De un juego de casinos se extraen tres cartas consecutivamente, ¿cuál es la probabilidad de que de corazones?. las tres cartas sean Evento primera carta extraída sea de corazones (A). segunda carta extraída sea de corazones (B). tercera carta extraída sea de corazones (C). P(A  B  C) = P(A) P(B|A) P(C|AB) = 13/52 x 12/51 x 11/50 = 143/11050

P(A|B)   , si P (B) P (A) PROBABILIDAD CONDICIONAL La probabilidad del evento expresa la probabilidad de ha ocurrido B. A condicionada al evento B, que suceda A, sabiendo que P (A  B) P(A|B)   , si P (B) P(B)  0 Igualmente, la probabilidad de B condicionada a A, está dada por: P (A  B) P(B|A)   , si P (A) P(A)  0

Ejemplo Se realizó un estudio con la finalidad de establecer la posible asociación entre parvovirosis canina y la diarrea, contándose con 100 perros. Al final del estudio se detectaron 52 positivos a parvovirosis, 33 de los cuales presentaron diarrea, mientras que 36 animales no mostraron ninguno de los procesos. Si se selecciona aleatoriamente una de las historias clínicas de estos perros, ¿cuál es la probabilidad de que haya presentado diarrea dado que padecía de parvovirosis?. Dr. Francisco Suárez Aranda

P (A  B)  P (B) 33/100 P(A|B)    33/52 52/100 P(A|B)  Total de perros : 100 52 33 Perros P (A  P (B) con B) diagnóstico de parvovirosis (B) parvovirosis y diarrea (A  B) = 33/100 52/100 33/100 P(A|B)    33/52 52/100

número de eventos favorables es La información puede presentarse en un cuadro. DIAGNÓSTICO PARVOVIROSIS DIARREA TOTAL Presente Ausente Positivo Negativo 33 12 19 36 52 48 TOTAL 45 55 100 Para el problema planteado, el espacio de muestreo positivos se limita a los perros que resultaron a parvovirosis (52) y el “éxito" o sea el 33 (perros que número de eventos favorables es manifestaron diarrea), por tanto la probabilidad requerida es 33/52.

"Miremos más que somos nuestro padres de pasado". nuestro porvenir y no hijos de Miguel de Unamuno