Curso de Electricidad y Magnetismo Presentación 4 Corriente y Densidad de Corriente

Corriente eléctrica Hemos tratado con las cargas eléctricas en su estado estático, actuando sobre medios materiales conductores o dieléctricos El primer movimiento de cargas que nos interesa, será el representado por el fenómeno de la corriente eléctrica. podríamos definir el fenómeno de corriente eléctrica como aquél en el cual : En un cuerpo, bajo ciertas condiciones, circula a través del mismo, una cantidad de cargas eléctricas ya sea permanentemente, o por algún período de tiempo.

Portadores de carga Si existe este pasaje de cargas eléctricas, significa que circulan a través del cuerpo ya sea electrones, protones, iones positivos o negativos, o entidades conocidas como "huecos" que son los portadores de carga conocidos, más comunes.

Materiales y portadores El fenómeno de la corriente eléctrica, está en función del material de que está compuesto el cuerpo y de su geometría. Actualmente es aceptado que existen tres tipos de materiales: Conductores Aisladores Semiconductores Los portadores de carga eléctrica son entidades físicas que tienen carga eléctrica, cuyo movimiento constituye una corriente eléctrica.

portadores En los metales, los portadores de carga que generan la corriente, son las comunes partículas subatómicas llamados electrones, pero más precisamente son los "electrones libres" de esos materiales. En los gases y líquidos, los portadores de carga pueden ser iones positivos o negativos. Es decir, átomos o moléculas del material que tienen una deficiencia o exceso de electrones. En los semiconductores, los portadores de carga son los electrones libres y los "huecos". Un hueco, es la ausencia de un electrón en un enlace entre átomos, la cual actúa como un portador de carga positiva, y migra a través de un semiconductor que conduce corriente, en dirección opuesta al arrastre de los electrones libres.

EL MODELO DE GAS DE ELECTRONES DE UN CONDUCTOR. El primer modelo mecánico cuántico de la conducción eléctrica en los metales, fue expuesto por Arnold Sommerfeld en 1928. Su modelo es muy simple, y es conocido como MODELO DE GAS DE ELECTRONES DE UN METAL. En ese modelo se supone que los "electrones libres" vagan libremente dentro del metal, como si se tratase de un recipiente hueco. Esos electrones libres colisionan elásticamente con la superficie externa del metal.

EL MODELO DE GAS DE ELECTRONES DE UN CONDUCTOR.

EL MODELO DE GAS DE ELECTRONES DE UN CONDUCTOR. Si no está influenciado ese metal por ningún campo eléctrico, los electrones libres no presentan un movimiento neto hacia ninguna dirección. Esto significa que si en el metal imaginamos un corte ideal plano (una sección transversal), en un intervalo de tiempo cualquiera, el número total de electrones atravesando ese plano en una u otra dirección es el mismo, y por lo tanto el movimiento neto de ellos, es cero.

EL MODELO DE GAS DE ELECTRONES DE UN CONDUCTOR Cuando no hay campo eléctrico actuando sobre el metal, el número promedio de electrones libres, pasando de izquierda a derecha y de derecha a izquierda del plano de la sección transversal, es el mismo para cualquier intervalo de tiempo. De lo contrario existiría una corriente.

CORRIENTE ELECTRICA Diremos que en un conductor existe una corriente eléctrica, cuando para cualquier sección transversal de ese conductor, se cumple que en el intervalo de tiempo , atraviesa el área de esa sección transversal, en una misma dirección y sentido, la cantidad de carga eléctrica neta.

CORRIENTE ELECTRICA En ese caso, se dice que la "intensidad de corriente media" que está circulando por el conductor es En el límite, podremos escribir: a este valor límite, se le denomina "intensidad de corriente instantánea en el instante t0".

E y corriente Cuando se aplica un campo eléctrico, que aparezca en todos los puntos dentro del conductor, se encontrará que existe una fuerza sobre cada portador de carga que la impulsará en dirección del vector de intensidad de campo eléctrico. Si ese portador de carga transporta carga negativa, ella será impulsada en sentido contrario del vector de intensidad de campo eléctrico. Por el contrario, si la carga que tiene el portador es positiva, el portador será impulsado en el mismo sentido que el vector de intensidad de campo eléctrico.

Dirección de la corriente "flecha de intensidad de corriente eléctrica“ En la época en que se introdujeron los conceptos de corriente eléctrica, no se sabía quienes eran los portadores de carga que daban origen al fenómeno, ya que ningún experimento lo había puesto en evidencia. Por esa razón, se decidió por convención, que debían considerarse a los portadores de carga positivos como los responsables del fenómeno.

Dirección de la corriente En virtud de lo anterior, se dijo que la dirección y el sentido en el que fluye la corriente, es aquella que corresponde a la circulación de portadores de carga positivos, la cual coincide con la dirección y sentido del vector de intensidad de campo eléctrico que impulsa a los portadores. Hasta ahora, el considerar que una corriente tiene su "flecha de intensidad de corriente eléctrica" coincidiendo con la dirección y sentido de los portadores de carga positivos, es completamente equivalente a tener una circulación de portadores negativos en sentido contrario al de la flecha de corriente.

Dirección de la corriente Para todos los fenómenos externos al conductor, es irrelevante que la corriente sea originada por portadores positivos fluyendo en un sentido o su equivalente de portadores negativos fluyendo en sentido contrario.

Dirección de la corriente En la realidad, ese movimiento ideal que representa la figura de corrientes equivalentes, no es enteramente cierto, la acción del vector de intensidad de campo eléctrico no es tan definitiva: si acaso, el vector de intensidad de campo eléctrico desvía ligeramente la dirección de las trayectorias, haciendo que el movimiento errante que se presenta en el metal sin campo eléctrico ( y que en promedio da desplazamiento neto cero), sea un ligero desplazamiento hacia uno de los lados de las secciones transversales del conductor.

Conducta “camino libre medio”

Normalmente, un aislador es comprendido como un material no conductor, sería mejor descrito como un "pobre conductor", o también como una substancia de alta resistencia al flujo de la corriente eléctrica. Diversos materiales conductores y aisladores los vamos a comparar unos con otros con la ayuda de una constante que depende del material ( y no de su geometría), que denominada RESISTIVIDAD.

El modelo de gas de electrones presenta un pequeño problema fuerza que siente el portador de cargas: la fuerza sobre el portador es constante, ella le imprime al portador una aceleración constante, haciendo que el portador se acelere. Es un hecho experimental que la corriente es constante cuando el vector de intensidad de campo eléctrico es uniforme.

un pequeño problema la corriente medida en cualquier sección transversal de conductor es la misma, es decir el portador de cargas presenta una velocidad constante, denominada VELOCIDAD DE ARRASTRE El modelo de Sommerfeld tuvo la brillante consideración de despreciar la interacción entre los portadores de carga eléctrica del conductor, es decir, de despreciar las fuerzas de repulsión entre ellos.

un pequeño problema Estas consideraciones facilitaron la explicación del movimiento de los portadores de carga, individualmente, pero se enfrentaron precisamente al problema planteado por la velocidad de arrastre. Para salvar este problema, tan sólo unos meses después que Sommerfeld, se planteó la necesidad de sumarle al modelo la influencia de la RED CRISTALINA del material sobre el movimiento de los electrones libres.

sistema red cristalina - portadores de carga Con esta rectificación del modelo, pudo llegarse a dar una explicación satisfactoria a la conductividad en metales simples monovalentes. Ahora, en el modelo se consideraba a los arreglos de moléculas para formar el cristal que constituye al material, es decir arreglos geométricos bien ordenados, de las moléculas del conductor.

sistema red cristalina - portadores de carga Los choques con la RED CRISTALINA explican que en promedio los portadores de carga tengan velocidad de arrastre constante Generándose el fenómeno de corriente constante Es evidente que la velocidad de arrastre es proporcional a la magnitud del vector de intensidad de campo eléctrico que induce la corriente.

LA DENSIDAD DE CORRIENTE ELECTRICA.

DENSIDAD DE CORRIENTE la intensidad de corriente eléctrica se define por: "la cantidad de carga que atraviesa una sección transversal por unidad de tiempo" no se aclara estrictamente, en qué regiones del área de la sección transversal están pasando las líneas de corriente (líneas ideales de paso de los portadores de carga a través del conductor y por ello también por las secciones transversales)

DENSIDAD DE CORRIENTE Un ejemplo clásico lo constituye el conocido "efecto corona" de las corrientes alternas, donde los portadores de carga atraviesan las secciones transversales, en regiones cercanas al borde del conductor, formando una "corona de líneas de corriente".

DENSIDAD DE CORRIENTE

DENSIDAD DE CORRIENTE En la figura, se observan elementos de superficie sobre una sección transversal del conductor. Los símbolos de cruz representan la intersección de líneas de corriente con la sección transversal. Se observa que hay elementos de superficie que tienen más líneas de corriente que los atraviesa que otros, incluso existen algunos que no tienen corriente que los cruce.

DENSIDAD DE CORRIENTE Para cada elemento de superficie , lo atraviesa una corriente , y la densidad de corriente media es dada en magnitud por: En el límite en que el número de elementos es infinito, y que el elemento de superficie es infinitesimal, se obtiene el valor exacto de la densidad de corriente en un punto P centro del elemento de superficie infinitesimal.

DENSIDAD DE CORRIENTE En realidad, la densidad de corriente eléctrica, no es un escalar, porque podemos definirla perfectamente al asociarle dirección y sentido, la dirección es la de la intensidad de corriente, y su sentido aquél en el cual los portadores de carga positivos son empujados. De esta forma, la densidad de corriente se convierte en el VECTOR DE DENSIDAD DE CORRIENTE ELECTRICA.

DENSIDAD DE CORRIENTE Como la elección de la sección transversal es arbitraria, el vector de densidad de corriente eléctrica queda entonces definido para todos los puntos dentro del conductor. Generándose así un nuevo campo vectorial: EL CAMPO VECTORIAL DE VECTORES DE DENSIDAD DE CORRIENTE.

DENSIDAD DE CORRIENTE la integral de flujo del campo de densidad de corriente El análisis dimensional nos permite deducir que esta integral tiene unidades de corriente:

DENSIDAD DE CORRIENTE Gracias a este resultado, se obtiene la relación que da la intensidad de corriente en términos del vector de densidad de corriente:

DENSIDAD DE CORRIENTE la velocidad de arrastre y la densidad de corriente son vectores, y ellos son paralelos y del mismo sentido cuando se considera a la corriente como la circulación de portadores positivos de carga.

DENSIDAD DE CORRIENTE la densidad de corriente es directamente proporcional al número de portadores de carga, a la propia carga de los portadores y a la velocidad de arrastre de los portadores. Como la velocidad de arrastre es proporcional al campo eléctrico que induce la corriente, entonces, la densidad de corriente será también proporcional al vector de intensidad de campo eléctrico (inductor de la corriente).

DENSIDAD DE CORRIENTE Una cantidad física interesante es la MOVILIDAD de los portadores de carga eléctrica, definida como el cociente de la velocidad de arrastre dividida por la magnitud de la intensidad de campo eléctrico: Esta cantidad física puede ser determinada experimentalmente, se ha observado que es una cantidad que depende de la temperatura del material.

conductividad Una manera alternativa de definir una cantidad física importante, conocida como CONDUCTIVIDAD ELÉCTRICA DE UN MATERIAL s , es definiéndola como "la facilidad con la cual un metal conduce una corriente eléctrica", siendo igual al producto del número de portadores de carga por unidad de volumen multiplicado por la carga de cada uno de esos portadores de carga, y todo multiplicado por su movilidad, es decir:

conductividad de donde, substituyendo el valor de la densidad de corriente en términos del número de portadores por unidad de volumen, la carga del electrón y la velocidad de arrastre, tenemos: La relación es mejor conocida bajo la forma: y que es conocida bajo el nombre de LEY DE OHM MICROSCOPICA .

conductividad La constante de conductividad se encuentra en tablas, aunque más comunmente, se encuentran tablas de su inverso, una constante denominada LA RESISTIVIDAD. Esa constante se define por: La Ley de Ohm Microscópica se escribe en términos de resistividad como:

Resistencia de un conductor uniforme Las unidades de la resistividad son los , mientras que las unidades de la conductividad son las inversas de las de resistividad: El análisis la figura de la diapositiva siguiente lleva a la Ley de Ohm macroscopica :

Resistencia de un conductor uniforme

Resistencia de un conductor uniforme

Resistencia de un conductor uniforme Si el conductor está hecho de un material ohmico, su resistencia es constante y dada por: Como finalmente

Resistividad y parámetros moleculares Ahora es necesario obtener una relación entre resistividad y los parámetros a nivel atómico del desplazamiento de los electrones en un conductor con corriente. El movimiento de los electrones se realiza como si se desplazaran en un medio con fricción, es por ello que la ecuación de movimiento de ellos, es dada por la ecuación:

Resistividad y parámetros moleculares la fuerza de fricción podemos considerarla que es proporcional a la velocidad de la partícula que al substituirse en la ecuación de movimiento nos conduce a la ecuación diferencial siguiente: que se puede escribir bajo la forma:

Resistividad y parámetros moleculares el término debe tener unidades de fuerza, ello nos permite obtener las unidades del parámetro a, por medio de una ecuación dimensional: al resolverla nos lleva al resultado siguiente: a tiene unidades de masa dividida por unidades de tiempo.

Resistividad y parámetros moleculares En la teoría de los electrones desplazándose en el cristal conductor, aparece que ellos chocan con la red cristalina y entregan sus excesos de energía. Podemos hablar del promedio de longitud de desplazamiento que los electrones se pueden desplazar entre colisión y colisión con la red, esa longitud promedio se denomina CAMINO LIBRE MEDIO l. El tiempo que transcurre para que esos electrones se desplacen esa distancia, se conoce bajo el nombre de tiempo libre medio, t.

Resistividad y parámetros moleculares podemos considerar que el parámetro a, es igual al cociente de la masa del electrón me y del tiempo libre medio t. De ahí, la ecuación diferencial puede escribirse como: la fuerza externa, es debida a la aplicación del campo eléctrico sobre el interior del conductor.

Resistividad y parámetros moleculares Esa ecuación diferencial puede ser cambiada al pasar al segundo miembro la masa del electrón: la solución de esta ecuación diferencial : Si el tiempo es muy grande, la solución de la ecuación diferencial tiende a la solución de estado estacionario

Resistividad y parámetros moleculares la velocidad de arrastre en términos del tiempo libre medio, la carga del electrón, el campo eléctrico y la masa del electrón: la densidad de corriente cumple: que podemos substituir en la solución transitoria dando: la relación , da para la resistividad:

Resistividad y parámetros moleculares Ecuación que nos da la resistividad en términos de masa, carga y número de electrones de conducción por unidad de volumen y el tiempo libre medio. El interés de esta relación es que t no depende en realidad del campo eléctrico aplicado el material. Esto parecería una contradicción, pero en realidad el tiempo medio entre colisión y colisión depende muy poco de la magnitud del vector de intensidad del campo eléctrico, al menos para un rango amplio de valores de este vector.

Resistividad y parámetros moleculares Ese tiempo se identifica indirectamente con el tiempo de relajación, (tiempo necesario para que la velocidad de arrastre tienda a cero una vez que se ha retirado el campo eléctrico del material). La ecuación diferencial que hemos utilizado para calcular el tiempo de "desplazamiento en camino libre medio", nos puede servir para calcular el tiempo de relajación. Para el tiempo de relajación, la fuerza externa aplicada por medio del campo eléctrico vale cero, es decir se encuentra que la ecuación diferencial anterior se convierte en:

Resistividad y parámetros moleculares ecuación que se puede convertir en la ecuación mas simple siguiente: cuya solución es dada por la función: Aplicando la condición inicial:

Resistividad y parámetros moleculares la solución de esta última ecuación diferencial así la solución que se acopla a las condiciones iniciales es dada por

Resistividad y parámetros moleculares La figura anterior muestra la forma de la gráfica de la función que da la velocidad de arrastre en función del tiempo cuando ha dejado de actuar el campo eléctrico sobre el material. Como t es también el tiempo de recorrido del camino libre medio, entonces t no es función del vector de intensidad de campo eléctrico. Por esta razón, se establece el argumento de asegurar que t es independiente del campo eléctrico y entonces, en virtud de la relación

Resistividad y parámetros moleculares podemos decir que: "la resistividad al ser t independiente del campo eléctrico, se convierte en función sólo del material". Diciéndose que la resistividad insertada en la expresión: constituye la ley de ohm a nivel microscópico, porque no depende del campo aplicado sino del material.