SIMULACIÓN DE MONTECARLO Operaciones 2, Ingeniería Comercial, Universidad Católica de Valparaíso SIMULACIÓN DE MONTECARLO Pablo Diez Bennewitz

MODELOS DE SIMULACIÓN Modelos de Optimización Modelos de Simulación En la administración de operaciones se utilizan dos tipos de modelos: Modelos de Optimización Modelos de Simulación Modelo de Optimización Responde a la pregunta ¿ Cuál es la mejor decisión ? Responde a la pregunta ¿ Qué pasaría si ............ ? Modelo de Simulación

SIMULACIÓN Es observar el comportamiento de un sistema a través de un modelo, ante diferentes situaciones que se ensayan. Esto implica experimentación Se simulan los experimentos usando relaciones matemáticas (determinísticas o probabilísticas), para medir los resultados representativos de la realidad Simulación no es una técnica optimizante ni busca la mejor solución o decisión, aunque al menos debe proporcionar soluciones cercanas a la óptima

MODELOS DE SIMULACIÓN Ventajas de los modelos de simulación: El modelo de simulación es más fácil de construir y comprender que uno de optimización Los modelos de optimización, generalmente, no evalúan todas las soluciones subóptimas. En cambio, los modelos de simulación si las evalúan El modelo de simulación hace experimentación en computadores, lo que le otorga: Mayor rapidez para procesar la información Capacidad de anticipar resultados posibles en situaciones nuevas o imprevistas

MODELOS DE SIMULACIÓN Desventajas de los modelos de simulación: El modelo de simulación requiere personal especializado para su realización y análisis Es imprescindible el uso de computadores No necesariamente alcanza resultados óptimos

SIMULACIÓN DE MONTECARLO Es una técnica de muestreo aleatorio simple (M.A.S.) en la que el muestreo se hace en un espacio finito a partir de la generación de números aleatorios: la población son todos los números aleatorios y el muestreo consiste en determinar valores sucesivamente a partir de los números aleatorios Que tiene un comportamiento según alguna distribución de probabilidades X : Variable aleatoria

SIMULACIÓN DE MONTECARLO Se obtienen valores para X ( X1, X2, X3, ........., Xn ) X1 X2 X3 Xn Son valores generados utilizado un M.A.S. de los números aleatorios ri

ri ri ri NÚMEROS ALEATORIOS Es cualquier número entre 0 y 99, con igual probabilidad de selección: todos los números tienen la misma probabilidad de ser escogidos en cualquier instante, es decir que tienen una distribución de probabilidades uniforme f (r) ri U ( 0, 99 ) ri 99

EJEMPLO DE SIMULACIÓN Una sucursal bancaria canjea cierta cantidad de cheques cada día, según el siguiente comportamiento en un mes:

EJEMPLO DE SIMULACIÓN Histograma de Frecuencia Relativa: f i 0,45 0,25 0,15 0,1 0,05 Qcheques / día 500 1000 1500 2000 2500

Frecuencia Relativa Acumulada EJEMPLO DE SIMULACIÓN Mediante el uso de los números aleatorios es posible simular una muestra (de M.A.S.) Frecuencia Relativa Acumulada Número Aleatorio Clase nº 0,05 0,20 0,65 0,9 1 00 - 04 05 - 19 20 - 64 65 - 89 90 - 99 (1) (2) (3) (4) (5)

EJEMPLO DE SIMULACIÓN Pertenece a la clase nº Nº aleatorio Esta es una corrida de 12 números aleatorios 84 18 31 61 04 52 40 75 89 16 37 97 (4) (2) (3) (1) (5) Clase fi fi / n (1) (2) (3) (4) (5) 1 2 5 3 0,08 0,16 0,42 0,25 n = 12

EJEMPLO DE SIMULACIÓN Histograma de Frecuencia Relativa: f i Al obtener el histograma de frecuencia relativa, el comportamiento se mantiene, aunque no es igual, debido a que se trata de una muestra 0,42 0,25 0,16 0,08 Qcheques / día 500 1000 1500 2000 2500

EJEMPLO DE SIMULACIÓN Pertenece a la clase nº Nº aleatorio Esta es otra corrida de 12 números aleatorios 48 70 19 36 87 50 07 24 78 91 37 59 (3) (4) (2) (5) Clase fi fi / n (1) (2) (3) (4) (5) 2 6 3 1 0,00 0,16 0,50 0,25 0,08 n = 12

EJEMPLO DE SIMULACIÓN Histograma de Frecuencia Relativa: f i Al obtener el histograma de frecuencia relativa, una vez más el comportamiento se mantiene, sin ser igual, debido a que se trata de otra muestra 0,50 0,25 0,16 0,08 Qcheques / día 500 1000 1500 2000 2500

GENERACIÓN DE VALORES PARA DISTINTAS DISTRIBUCIONES A PARTIR DE LOS NÚMEROS ALEATORIOS En los modelos de simulación, cada variable de decisión tiene una distinta distribución (determinística o probabilística). Cada distribución tiene una corrida diferente de números aleatorios Un mismo número aleatorio no puede ser usado para simular dos variables a la vez, porque las variables son independientes entre sí Para determinar los valores simulados se utiliza la distribución de probabilidades acumulada

GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN DISCRETA Muchas variables de decisión no son continuas, entonces se utilizan las categorías de frecuencia relativa acumulada para generar los valores a partir de los números aleatorios, siendo muy útil para variables con distribuciones determinísticas Ejemplo: Supongamos que para el precio de una acción existe una probabilidad del 20% de que baje, 50% de que se mantenga igual, y 30% de que suba su valor; en la siguiente transacción bursátil Entonces, se asigna un intervalo 0, 1 proporcional a cada probabilidad

GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN DISCRETA Si 00 ri 19 Se asume que el precio de la acción baja < < Si 20 ri 69 Se asume que el precio de la acción se mantiene igual < < Si 70 ri 99 < < Se asume que el precio de la acción sube

GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN UNIFORME En el caso de una distribución uniforme en el intervalo a, b , se consideran 99 números aleatorios pertenecientes al intervalo 0, 1 fi (X) X U (a,b) P (Xi X) ri < = Xi - a b - a < = P (Xi X) X a Xi b

GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN UNIFORME Xi - a b - a ri = con ri ( b - a ) Xi - a = Xi a + ri ( b - a ) = 0 ri 1 < < a + b 2 ( b - a ) 2 2 = = E (X) V (X)

GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL - fi (X) x X exp ( ) = f (X) e x > 0 > 0 1 E (X) = X Xi 1 = V (X) P (Xi X) ri 0 ri 1 < < 2 < =

GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL P (Xi X) ri < = con 0 ri 1 < < - Distribución de probabilidad acumulada x P (Xi X) 1 - e < = - - x ri 1 e = - x 1 ri - e = / ln - - = ri Xi ln ( 1 ) - ri ln ( 1 ) - = Xi con 0 ri 1 < <

GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL fi (X) X W ( , ) > 1 = 1 < 1 X Su función de densidad de probabilidades es: ( - 1) - ( x ) = f (X, , ) X e > X 0

GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL = Nótese que si 1, entonces la distribución de Weibull corresponde a la distribución exponencial La función de densidad acumulada es: - ( xi ) P (Xi X) 1 - e < = - ( xi ) ri 1 - e = Luego, para generar valores de Xi de una variable aleatoria con distribución de Weibull, a partir de un número aleatorio - ( xi ) 1 ri - = e - ( Xi ) = - ri ln ( 1 ) ri

GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL 1 1 - - ri = ( ln ( 1 ) ) con 0 ri 1 < < Xi Obs: La distribución de Weibull se utiliza en la descripción de las 3 etapas (rodaje, vida útil y desgaste) de la curva de fallas ( t ) Rodaje Desgaste < 1 Vida Útil > 1 ( t ) Proba-bilidad de falla = 1 t

( ) GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN NORMAL - - < = fi (X) 2 X N ( , ) La función de probabilidad acumulada corresponde a Xi - - ( ) x 1 2 x 1 e dx < = 2 P (Xi X) 2 8

GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN NORMAL La función de probabilidad acumulada de la distribución normal no puede ser resuelta por métodos de integración corrientes, lo que impide tener una fórmula cómoda para despejar observaciones aleatorias simuladas de Xi a partir de los números aleatorios ri No obstante, las observaciones se pueden generar mediante el siguiente razonamiento:

GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN NORMAL Para un número aleatorio Los números aleatorios tienen una distribución uniforme en el intervalo 0 , 1 f (ri) a + b 1 Para un número aleatorio ri E ( ) = = 2 2 (b - a) ri 1 V ( ) = = 12 12 ri 0 ri 1 < < Para una muestra de “n” números aleatorios, se puede inferir su comportamiento gracias al teorema del límite central

GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN NORMAL Si X N Xi N n ( ) Por lo tanto ri n n , N 2 12 i=1 Válido, solo en la medida en que n es un valor bastante grande, lo que se asume cuando n 12 > n n Entonces ri - - 2 Xi = = i=1 Z n 12

GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN NORMAL ( ) n - ri n 0 ri 1 < < 2 i=1 = Xi + n > si n 12 12 > Aunque la expresión es válida para cualquier n 12, típicamente se usa n = 12 para el muestreo de las observaciones de variable con distribución normal ya que se simplifica un cálculo

EJEMPLO DE GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN NORMAL X tiene distribución normal, con = 460 y = 36 Observación para X con los números aleatorios: r1 = 0,46 r4 = 0,61 r6 = 0,74 r8 = 0,13 r10 = 0,55 r2 = 0,95 r5 = 0,39 r7 = 0,26 r9 = 0,92 r11 = 0,07 r3 = 0,23 r12 = 0,48 ( ) n - ri n 2 i=1 = Xi + n 12 36 ( 5,79 - 6 ) = = Xi 460 + Xi 467,56 1