Introducción: Características básicas de los datos económicos de series temporales

Qu’est-ce que c’est La Econometria? Def: Analisis cuantitativo de relaciones económicas causales. Algunos hechos: Hacia 1930 en un hotel de Ohio (EEUU) se crea la Econometric Society, editora de la revista ECONOMETRICA. Ragnar Frisch, Econometrica (1933) la define como una intersección especial entre Matemáticas, Estadística y Economía. Haavelmo (1944) introduce la metodologia de la Econometria moderna: Los modelos cuantitativo economicos deben ser modelos probabilisticos o estocasticos. Diferentes Modelos Econometricos: Aproximacion Estructural: El modelo economico esta correctamente especificado Aproximacion Quasi-Estructural: El modelo economico es una aproximacion Aproximacion Semiparametrica: Una parte del modelo esta bien especificada y la otra se deja sin especificar. Quizas el mejor ejemplo de modelo es un MAPA a diferentes escalas y para diferentes usos

Dos tipos de observaciones o datos: observacionales experimentales La estructura de los datos observacionales: Seccion cruzada Series temporales Panel …..y recuerda como empieza la pagina web del curso Econometrics Uncertainty Principle In order to study causality we need to keep certain things constant ("ceteris paribus") In order to study causality we need time to pass (there is not causality between simultaneous events) Nothing is constant through time Therefore

Espacio Muestral:, el conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio Resultado:, un elemento del Espacio Muestral Suceso:, un subconjunto del Espacio Muestral Algebra:, colección de sucesos que nos interesa estudiar Variable Aletoria:, una función del Espacio Muestral al conjunto de estados S Conjunto de Estados: S, el espacio que contiene todos los posibles valores de una variable aleatoria. Las elecciones mas comunes son los numeros naturales N, los reales R, vectores de dimension k R k, los reales positivos R +, etc Probabilidad:, obedece las tres reglas que ya sabeis Distribución: es un Borel Set (conjunto de la recta real que puede expresarse como uniones o interseccion de intervalos) Breve Repaso de Tª de la Probabilidad

Vector de Variables Aleatorias: Z= (Z 1, Z 2,..., Z k ) es un vector de dimensión k donde cada componente es una variable aleatoria Sucesión de Variables Aleatorias: Z= (Z 1, Z 2,..., Z n ) es una sucesion de n variables aleatorias Si interpretamos t=1,..., n como momentos equidistantes en el tiempo, Z t puede interpretarse como el resultado de un experimento aleatorio en el momento de tiempo t. Por ejemplo la sucesión de variables aleatorias podria ser los precios de las acciones de Toyota Z t en n dias sucesivos. Un aspecto NUEVO, comparado con la situación de una sola variable aleatoria, es que ahora podemos hablar de la estructura de DEPENDENCIA dentro del vector de variables aleatorias. Función de Distribución F Z de Z : Es la colección de probabilidades Breve Repaso (cont)

Supongamos que el tipo de cambio €/$ en cada instante fijo de tiempo t entre las 5p.m y las 6p.m. de esta tarde es aleatorio. Entonces podemos interpretarlo como una realización Z t (  ) de la variable aleatoria Z t.. Observamos Z t (  ), 5<t<6. Si quisieramos hacer una predicción a las 6 p.m. sobre el tipo de cambio Z 7 (  ) a las 7 p.m. es razonable considerar TODA la evolución de Z t (  entre las 5 y las 6 p.m. El modelo matematico que describe esta evolución se le llama proceso estocástico. Procesos Estocásticos

Supongamos que (1) Fijamos t Cambianos el indice temporal podemos generar varias variables aleatorias: (2) Fijamos Esto es una variable aleatoria. Es una realización o trayectoria del Proceso estocástico. La colección-sucesión de variables aleatorias se le llama PROCESO ESTOCATISCO Una realización del proceso estocástico se le llama SERIE TEMPORAL Una realización es: Un proceso estocástico es una colección-sucesión de variables aleatorias indexadas por el tiempo Definidas en un espacio muestral  Procesos Estocásticos (cont)

Ejemplos de procesos estocásticos E1: Sea el conjunto indice T={1, 2, 3} y sea el espacio muestral (  ) el formado por los resultados de lanzar un dado:  Define Z(t,  )= t + [valor del dado] 2 t Entonces para un  particular, digamos  3 ={3}, la realización o trayectoria es (10, 20, 30). Q1: Dibuja todas las realizaciones de este proceso estocástico. E2: Un Movimiento Browniano B=(B t, t  [0, infty]): Comienza en cero: B o =0 Tiene incrementos independientes y estacionarios Para cada t>0, B t sigue una distribución N(0, t) Tiene trayectorias continuas: “no saltos”.

Distribución de un Proceso Estocástico En analogía con las variables aleatorias queremos introducir caracteristicas no aletorias de los procesos estocásticos tales como su distribución, su esperanza, etc, y describir su estructura de dependencia. Esta es una tarea mucho más complicada que en el caso de vectores de variables aleatorias. De hecho un proceso estocástico no-trivial Z=(Z t, t  T) con un conjunto indice T es un objeto de dimension infinita en el sentido de que se puede entender como una colección infinita de variables aleatorias Z t, t  T. Ya que los valores de Z son funciones en T, la distribucón de Z deberia ser definida sobre subconjuntos de un cierto “espacio de funciones”, i.e. P(X  A), A  F, Donde F es una colección apropiada de subconjunto de este espacio de funciones. Este enfoque es posible, pero requiere matematicas muy avanzadas. En este curso intentaremos algo mucho mas simple. Las distribuciones finito-dimensionales (fidis) de un proceso estocástico Z son las distribuciones de los vectores finito dimensionales (Z t1,..., Z tn ), t 1,..., t n  T, para todas las posibles elecciones de t 1,..., t n  T y para cada n  1.

Al igual que en la Econometría básica trabajábamos con dos los supuestos de i.i.d. (idénticamente distribuido e independiente), en la Econometría de Series Temporales nos hace faltan dos supuestos equivalentes: Estacionariedad (substituye al supuesto de identicamente distribuido) Ergodicidad (substituye al supuesto de independencia) Necesitamos hacer dos supuestos:

Estacionareidad Considera la probabilidad conjunta de un conjunto de variables aleatorias Proceso estacionario de 1 st orden si Proceso estacionario de orden n si Definición. Un proceso es estrictamente (o en sentido fuerte) estacionario si es estacionario de orden n para cada n. Proceso estacionario de 2 nd orden si

Momentos

Momentos (cont) Para procesos estrictamente estacionarios: porque asumiendo que La correlación entre dos variables aleatorias depende SOLAMENTE de su diferencia temporal.

Estacionareidad Débil Un proceso se dice que es estacionario debil de orden n si todos sus momentos conjuntos de orden n existen y son invariantes en el tiempo. Procesos Estacionarios en Covarianzas (de 2 nd orden): Esperanza constante Varianza constante La función de covarianza depende solo de la diferencia temporal entre las variables

Funciones de Autocovarianza y de Autocorrelación Para un proceso estacionario en covarianzas:

Propiedades de la función de autocorrelación

Funcion de Autocorrelación Parcial (o correlación condicional) Esta función mide la correlación entre dos variable separadas k periodos cuando la dependencia lineal en el medio de esos periodos (entre t y t+k ) es eliminada. Motivación Piensa en el modelo de regresión lineal (asume E(Z)=0 sin perdida de generalidad)

Dividiendo por la varianza del proceso: Ecuaciones de Yule-Walker

E4: Z t = Y t si t es par Y t +1 si t es impar donde Y t es una serie estacionaria. Es Z t estacionaria debil? E5: Defina el proceso S t = X X n, donde X i es iid (0,    Muestra que para h>0 Cov (S t+h, S t ) = t    y por lo tanto S t no es estacionario debil. Ejemplos de Procesos Estocásticos

Ejemplos de Procesos Estocásticos (cont) E6: Procesos RUIDO BLANCO Una secuencia de variables k

Dependencia: Ergodicidad Queremos permitir tanta dependencia como la Ley de los Grandes Números (LGN) nos permita. Estacionareidad no es suficiente como el siguiente ejemplo muestra: E7: Sea {U t } una secuencia de variables iid uniformemente distribuidas en [0, 1] y sea Z una variable N(0,1) independiente de {U t }. Defina Y t =Z+U t. Por lo tanto Y t es estacionaria (por qué?), pero El problema es que hay demasiada dependencia en la secuencia {Y t }. De hecho la correlación entre Y 1 y Y t es siempre positiva para cualquier valor de t.

Ergodicidad en la Media Necesitamos distinguir entre: 1. Media Vertical (ensemble average) 2. Media Temporal Objectivo: estimar la media del procesos Cual es el estimador más apropiado?La media vertical Problema: Es imposible calcularla Bajo que condiciones nos vale con estimar la media temporal? Es la media temporal un estimador insesgado y consistente de la media vertical?

Ergodicidad en la media (cont) Recordad. Condiciones suficientes para la consistencia de un estimador. 1. La media temporal es insesgada 2. La varianza de la media temporal convergence a cero

Ergodicidad en media (cont) Un proceso estacionario en covarianzas es ergodico en la media si Una condición suficiente para ergodicidad en la media es

Ergodicidad bajo Gausanidad Sies un proceso gausiano estacionario, es una condición suficiente para asegurar ergodicidad en todos los momentos Ergodicidad para los segundos momentos Una condición suficiente para ergodicidad en los segundos momentos

Como vamos a estimar los momentos poblaciones de las series temporales???? Utilizaremos el metodo de analogia tan usado en Econometria I: Momentos poblaciones se estiman via momentos muestrales. Asumiendo estacionareidad y ergodicidad estos estimadores seran consistentes.

Donde Estamos? Considera el Problema de la Prediccion como motivación: Predecir Z t+1 dado el conjunto de información I t en el tiempo t. La esperanza condicional puede ser modelada en una forma parametrica o en una forma no-parametrica. En este curso elegiremos la primera. Los modelos parametricos pueden ser lineales o no-lineales. En este curso elegiremos los modelos lineales. Resumiendo los modelos que vamos a estudiar en este curso son ing modelos parametricos y lineales

Apendice I: Transformaciones ( vease el conjunto de notas extra ) Objetivo: Tratar con procesos mas manejables Transformación logaritimica reduce cierto tipo de heterocedasticidad. Si asumimos que  t =E(X t ) y V(X t ) = k  2 t, se puede demostrar (por el metodo delta) que la varianza del log es aproximadamente constante: Tomar dieferencias elimina la tendencia (no muy informativo sobre la naturaleza de la tendencia) Diferencias del Log = Tasa de Crecimiento

Apendice II: Analisis Grafico Objetivo: Descubrir caracteristicas basicas de los datos Realice graficos de la serie economica en niveles, en logaritmos, en primeras diferencias y en tasas de crecimiento e intente decidir que transformacion hace la serie paracer mas estacionaria. Correlograma de las transformacions propuestas previamente. En el capitulo siguiente aprendera a identificar una familia de modelos en base al correlograma. Descarguese la base de datos Eco-Win de la Biblioteca de la UC3M y analice graficamente las series que mas le interesen. Recuerde que el movimiento se demuestra andando.