Curvas de segundo grado

CÓNICAS Las cónicas poseen curiosas e interesantes propiedades por las que resultan sumamente útiles en la naturaleza, la ciencia, la técnica o el arte.

Por ejemplo, las órbitas de los planetas y cometas en su rotación alrededor del Sol son cónicas; los faros de los coches tienen sección parabólica, al igual que los hornos solares y las antenas de seguimiento de satélites, debido a que en la parábola los rayos que pasan por el foco salen paralelos al eje y viceversa. También existe un tipo de ayuda a la navegación (loran) basado en las propiedades de las hipérbolas.

Johannes Kepler ( ), astrónomo y filósofo alemán, famoso por formular y verificar las tres leyes del movimiento planetario conocidas como leyes de Kepler.

Johannes Kepler creía en la teoría heliocéntrica de Copérnico, según la cual la Tierra gira alrededor del Sol, que permanece estacionario. Kepler formuló una descripción matemática precisa de las órbitas planetarias, que proporcionó el rigor matemático necesario al modelo heliocéntrico.

Sus aportaciones incrementaron espectacularmente el conocimiento de los científicos sobre el movimiento planetario. Isaac Newton empleó los trabajos de Kepler para formular su teoría de la gravitación universal. Isaac Newton ( ), matemático y físico británico

De acuerdo con la primera ley de Kepler los planetas giran alrededor del Sol en órbitas elípticas en las que el Sol ocupa uno de los focos de la elipse. La segunda ley formula que las áreas barridas por el radio vector que une el centro del planeta con el centro del Sol son iguales en lapsos iguales; como consecuencia, cuanto más cerca está el planeta del Sol con más rapidez se mueve.

O r

CircunferenciaUna circunferencia es el conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. La distancia de cualquier punto al centro es el radio. O r Notación: C(O;r)

x y 0 h k O P x y r d(P;O) = r  (x – h) 2 + (y – k) 2 = r (x – h) 2 + (y – k) 2 = r 2 O(h;k) P(x;y) x 2 + y 2 = r 2 Ecuación canónica

Ejercicio 1 Escribe la ecuación de la circunferencia que tiene centro O y radio r. O( 3 ; 8 ), r = 4 O(3;8), r = 4 (x – ) 2 + (y – ) 2 hhkk O(– 4 ; 6 ), r = 2  2 = r 2 = 16 (x ) 2 + (y – ) 2 (x )2 + (y – )2 – h – h k k = r 2 = r = 8 a) b)

(x – 2 ) 2 + (y + 7 ) 2 = 25 O( ; ) r = 5 22 – 7 Ejercicio 2 La siguientes ecuaciones representan circunferencias. Determina su centro y radio. a) x2 + y2 = 2 O(0;0) r =  2 b) b)

Ejercicio 3 Halla la ecuación de la circunferencia de centro O(– 4;–1) y que pasa por el punto P(1;2).

r = d(P;O) O(– 4;–1) P(1;2) =  (x P – x O ) 2 + (y P – y O ) 2 =  ( 1 + 4) 2 + (2 + 1) 2 =  =  34 5,8 =  C: (x + 4) 2 + (y + 1) 2 = 34 C: (x + 4) 2 + (y + 1) 2 = 34 C: (x + 4)2 + (y + 1)2 = 34 (x – (– 4)) 2 + (y –(– 1)) 2 = ( ) 2 (x – (– 4)) 2 + (y –(– 1)) 2 = (  34 ) 2

Ejercicio 4 Los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos P( 6 ; – 2 ) y Q(– 2 ; 4 ). Escribe su ecuación. Los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos P(6; –2) y Q(–2;4). Escribe su ecuación.

–2 4 6 x y 0 Q P O O: punto medio de PQ x P +x Q 2 y P +y Q 2 ; O 22 ; 6–2 –2+4 = ( 2 ; 1 ) = 2 1

P( 6 ; – 2 ), Q(– 2 ; 4 ), O ( 2 ; 1 ) r = d(Q;O) =  (x Q – x O ) 2 + (y Q – y O ) 2 =  (– 2 – 2 ) 2 + ( 4 – 1 ) 2 =  (– 4 ) =  2 5 = 5 (x – 2 ) 2 + (y – 1 ) 2 = 25 (x – 2)2 + (y – 1)2 = 25