LIMITES

Imagínate que sufres una pesadilla (por tanto estudiar matemática) en la que te encuentras cerca de una puerta. Decides abrirla, así que te acercas. Te das cuenta que estas cada vez más cerca, pero no alcanzas a tocar el picaporte. Corres tratando de llegar, mas, siempre hay espacio entre tu mano y ese picaporte, no importa cuanto lo intentes.  Esa "pesadilla" tiene nombre matemático "límite

Introducción El concepto de límite es un concepto central en el desarrollo y aplicaciones del cálculo.     Este concepto involucra el entender el comportamiento de una función cuando la variable independiente está "muy cerca" de un número "a" pero sin llegar a tomar ese valor.

Si tomamos una cantidad variable x a la cual se le asignan los valores siguientes, se forma una sucesión de números crecientes: 1, 2, 3, 3.5, 3.9,3.99,3.999, 3.9999, ….. La misma variable puede tomar los valores decrecientes: 5,4.2,4.1, 4.01,4.001,4.0001, ….. Observando los ejemplos, Aceptamos que la variable x tiende a una constante a , en este caso 4, como un límite. Se dice que se aproxima al límite 4, que x tiende a 4, y esto se representa: x → 4 o lim x =4

Noción intuitiva de límite Por la izquierda Por la derecha x f(x) 1.75 3.06 2.25 5.06 1.94 3.75 2.06 4.24 1.98 3.92 2.02 4.08 1.99 3.96 2.01 4.04 2.00 4.00 Veamos el comportamiento de una función cuando los valores de la variable independiente estén muy cerca de un número especificado que llamaremos "a".     f(x)= x2 con a=2.         ¿Se acercan los valores de la función a algún número en particular (uno sólo)? Se dice que ese número al que se acerca la función, llamémosle L, es el "Límite de f(x) cuando x tiende al número a".

Observación importante: En ningún momento nos interesamos por el valor de f(x) cuando x=a, es decir, el número f(a). Lo único que nos interesa son los valores de la función cuando x está "muy cerca" de a pero x es diferente de a.

Concepto de Límite Cuando una variable x se aproxima cada vez más y más a una constante a, de tal manera que la diferencia x-a, en valor absoluto, puede ser tan pequeña como se quiera, se dice que la constante a es el límite de la variable x Se expresa x → a o lim x = a

Limites laterales x Y=4+x -0.1 3.9 -0.01 3.99 -0.001 3.999 -0.0001 al darle valores a x obtenemos "esos" números que se acercan a 4 por derecha e izquierda. x Y=4+x -0.1 3.9 -0.01 3.99 -0.001 3.999 -0.0001 3.9999 x Y=4+x 0.1 4.1 0.01 4.01 0.001 4.001 0.0001 4.0001 Por derecha Por izquierda

Límites laterales Definición de límite por la derecha Definición de límite por la izquierda Definición de límite por la derecha Se dice que Se dice que

No siempre los límites son iguales, vamos: Determinar los límites, en los puntos de discontinuidad, de la función definida por El punto de discontinuidad se presenta cuando x=1 Luego: Como los dos limites son diferentes, se dice que no hay límite

En el caso: Si hay valor en el límite