PROGRESIONES Prof. José Mardones Cuevas E-Mail: cumarojo@yahoo.com

COMO INTRODUCCIÓN AL TEMA, RESUELVE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS.

PROBLEMA Nº 1 Un hombre avanza en el primer segundo de su carrera 4 m y en cada segundo posterior avanza 5 cm más que en el anterior. ¿Cuánto avanzó en el cuarto segundo? Solución: En el cuarto segundo el hombre avanzó 4,15 metros.

PROBLEMA Nº 1 ¿Cómo calcularías cuánto avanzó el hombre en el segundo 61? ¿en el segundo 91? ¿y en el 101? Solución: Si sigues el procedimiento anterior terminarás cansada (o). Con calculadora, ¡bastante menos!. … ¡pero te dará lata! Busca otra estrategia … Te sugiero observar cuidadosamente el desarrollo ya realizado en este problema …

PROBLEMA Nº 1 ¿Observaste que el sumando 5 cm se repite después del primer segundo …? ¿Cuántas veces? Si multiplicas 3 · 5 cm, el resultado lo transformas a metros y luego lo sumas al 4, ¿qué obtienes? ¡la misma respuesta! ¡¡pero más rápido!! Ahora, intenta dar respuesta a las otras preguntas … Las respuestas son 7 - 8,5 y 9 metros, respectivamente.

PROBLEMA Nº 2 El lunes gané $3 y cada día después gané el doble de lo que gané el anterior. ¿Cuánto gané el jueves? Solución: El día jueves gané 24 pesos.

PROBLEMA Nº 2 ¿Cómo calcularías cuánto ganaste el día sábado? ¿en el día miércoles de la siguiente semana? ¿y en el viernes de la tercera semana? (El domingo es tu día de descanso) Solución: Si desarrollaste el problema 1 ya sabes lo que va a pasar … Busca otra estrategia … Nuevamente, te sugiero observar cuidadosamente el desarrollo ya realizado en este problema …

PROBLEMA Nº 2 ¿Observaste que el factor 2 se repite después del primer día …? ¿Cuántas veces? Si lo escribes como potencia, lo desarrollas y lo multiplicas por 3, ¿qué obtienes? ¡la misma respuesta! ¡¡pero más rápido!! Ahora, intenta dar respuesta a las otras preguntas … Las respuestas son 96 - 768 y 196.608 pesos, respectivamente.

SERIE Es una sucesión de términos formados de acuerdo con una cierta ley. Ejemplo: 1, 4, 9, 16, 25, 36 … Observa que cada término se forma elevando al cuadrado, ordenadamente, los números naturales.

En el problema nº 1, ¿cuál era la ley de formación? Al término anterior se le sumaba 5 cm.

En el problema nº 2, ¿cuál era la ley de formación? El término anterior se multiplicaba por 2.

Series denominadas PROGRESIONES. Estas se clasifican en: Progresiones Aritméticas Progresiones Geométricas

PROGRESIÓN ARITMÉTICA Lo que caracteriza a este tipo de serie es que cada término se obtiene sumándole al término anterior una cantidad constante llamada razón aritmética, o, simplemente, diferencia. Ejemplo: En este caso, la diferencia es 2. 7=5+2 El problema 1 de la introducción corresponde a esta clasificación. 5=3+2 3=1+2

RAZÓN ARITMÉTICA O DIFERENCIA ¿Si se conocen los términos de una progresión aritmética, cómo se obtiene la diferencia? La razón aritmética, o diferencia, se halla restándole a un término cualquiera el término anterior. Ejemplo: Si d representa la razón aritmética, entonces la diferencia es … d=7 – 5 = 2 d=5 – 3 = 2 d=3 – 1 = 2

En el problema 1 de la introducción, ¿recuerdas cómo se obtuvo, rápidamente, lo que avanzó el hombre en el 4to.segundo? Fue algo así… Aquí se distinguen … 1 término menos que el total de la serie. Primer término de la serie. Último término de la serie Diferencia Notación: Luego, la fórmula aplicada para hallar el último término de la serie fue …

Observaciones: En esta fórmula se conoce como “término enésimo” es el número de términos que tiene la serie. Cualquiera de ellas puede ser una incógnita, por lo tanto de esta fórmula se pueden obtener otras más específicas. Observa:

Término enésimo Diferencia Número de términos Primer término

Si te cuesta aprender todas estas fórmulas, apréndete la principal. En ella puedes reemplazar los datos conocidos, despeja tu incógnita y ¡ya!. Observa el siguiente ejemplo:

Ejemplo: ¿Cuántos términos tiene la progresión aritmética 4 . 6 …. 30? Datos Primer término: 4 Último término:30 Diferencia: 6 – 4 = 2 La progresión tiene 14 términos.

Ejemplo: El 32º término de una progresión aritmética es -18 y la razón 3. Hallar el primer término. Datos Diferencia: 3 Último término: -18 Nº de términos: 32 El primer termino de la progresión es -111.

Ejemplo: El primer término de una progresión aritmética es 5 y el 18º término - 80. Hallar la razón. Datos Primer término: 5 Último término: - 80 Nº de términos: 18 La razón de la progresión aritmética es - 5.

SUMA DE LOS TERMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA

Se cuenta que el matemático GAUSS, a los 8 años, sorprendió a su profesor al sumar los 100 primeros números naturales de esta manera. Puedes comprobarlo con calculadora. La suma de los términos de la progresión aritmética es 5.050.

Analizando este proceso tenemos que: Primer término Último término Nº de términos Luego, la fórmula aplicada para sumar los términos de esta progresión aritmética fue …

Ejemplo: Hallar la suma de los primeros 10 números naturales. Datos Primer término: 1 Último término: 10 Nº de términos: 10 Puedes comprobarlo a mano o con calculadora. La suma de los primeros 10 números naturales es 55.

Ejemplo: Hallar la suma de los 8 primeros términos de la progresión aritmética 15 . 19 . 23…. Datos Primer término: 15 Último término: ¿? Nº de términos: 8 d = 19 – 15 = 4 La suma de los 8 primeros términos de la progresión es 232.

¿Recuerdas el problema 1 de la introducción? Como ejercicio, calcula qué distancia habrá recorrido el hombre en 10 segundos. Solución: En 10 segundos el hombre habrá recorrido 51,25 metros.

MEDIOS ARITMÉTICOS E INTERPOLACIÓN Se llama medios aritméticos a los términos de una progresión aritmética que se hallan entre el primero y el último término de la progresión. Ej. 4. 9. 14. 19. 24 Interpolar medios aritméticos entre dos números dados es formar una progresión aritmética cuyos extremos sean los números dados.

Debes considerar los términos extremos también. Ejemplo: Interpolar 3 medios aritméticos entre 3 y 11. Solución: Primeramente debemos encontrar la razón aritmética o diferencia. Datos Primer término: 3 Último término: 11 Nº de términos: 3+2=5 Ahora formamos la progresión … Debes considerar los términos extremos también.

PROGRESIÓN GEOMÉTRICA Lo que caracteriza a este tipo de serie es que cada término se obtiene multiplicando el término anterior por una cantidad constante llamada razón geométrica, o, simplemente, razón. Ejemplo: En este caso, la razón es 2. 16=8·2 El problema 2 de la introducción corresponde a esta clasificación. 8=4·2 4=2·2

RAZÓN GEOMÉTRICA O RAZÓN ¿Si se conocen los términos de una progresión geométrica, cómo se obtiene la razón? La razón geométrica, o razón, se halla dividiendo un término cualquiera por el término anterior. Ejemplo: Si r representa la razón geométrica, entonces la razón es… r=16:8 = 2 r=8:4 = 2 r=4:2 = 2

En el problema 2 de la introducción, ¿recuerdas cómo se obtuvo, rápidamente, lo que ganaste el día jueves? Fue algo así… Aquí se distinguen … 1 término menos que el total de la serie. Primer término de la serie. Razón Último término de la serie Notación: Luego, la fórmula aplicada para hallar el último término de la serie fue …

Observaciones: En esta fórmula se conoce como “término enésimo” es el número de términos que tiene la serie. Cualquiera de ellas puede ser una incógnita, por lo tanto de esta fórmula se pueden obtener otras más específicas. Observa:

Término enésimo Primer término Razón Nº de términos

Recuerda, si te cuesta aprender todas estas fórmulas, apréndete la principal. En ella puedes reemplazar los datos conocidos, despeja tu incógnita y ¡ya!. Observa el siguiente ejemplo:

Ejemplo: ¿Cuántos términos tiene la progresión geométrica 4 . 8 …. 512? Datos Primer término: 4 Último término:512 Razón: 8:4 = 2 También podías aplicar logaritmo. La progresión tiene 8 términos.

Ejemplo: El 7º término de una progresión geométrica es 1/64 y la razón 1/2. Hallar el primer término. Datos Razón: 1/2 Último término: 1/64 Nº de términos: 7 El primer termino de la progresión es 1.

Ejemplo: El primer término de una progresión geométrica de 6 términos es 2 y el último 64. Hallar la razón. Datos Primer término: 2 Último término: 64 Nº de términos: 6 También podías aplicar raíz quinta. La razón de la progresión geométrica es 2.

SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

Del problema 2, en la introducción, obtuvimos: (estrategia)

Ocupamos … Si esta expresión la multiplicas por la razón r = 2 se tiene: Ahora le restamos …

Analizando este proceso tenemos que: Aquí se distinguen … Razón Número de términos de la serie Primer término Notación: Luego, la fórmula aplicada para hallar la suma de los términos de la progresión geométrica fue …

Ejemplo: Hallar la suma de los 6 primeros términos de la progresión geométrica 9 : - 3 : 1 …. Datos Primer término: 9 Nº de términos: 6 Razón: - 3 / 9 = - 1 / 3 Puedes comprobarlo a mano o con calculadora. La suma de los 6 primeros términos de la progresión geométrica es 182 / 27.

¿Recuerdas el problema 2 de la introducción? Como ejercicio, calcula cuánto ganaste de lunes a sábado, en dos semanas. Solución: En dos semanas trabajaste 12 días, por lo tanto ganaste 12.285 pesos.

MEDIOS GEOMÉTRICOS E INTERPOLACIÓN

Debes considerar los términos extremos también. Ejemplo: Interpolar 4 medios geométricos entre - 7 y - 224. Solución: Primeramente debemos encontrar la razón geométrica o razón. Datos Primer término: - 7 Último término: - 224 Nº de términos: 4+2=6 Ahora formamos la progresión … Debes considerar los términos extremos también.

Hasta pronto ...