CAMPO MAGNETICO PRODUCIDO POR UNA CORRIENTE I EN UNA ESPIRA. Manuel Iván Cardozo. 234732.

Problema. Considérese una espira circular de radio R que conduce una corriente I. Calcúlese el campo magnético en un punto axial P a una distancia x del centro de la espira. Solución: Para la solución de este problema podemos observar la imagen 1.1 en donde observamos el eje de referencia puesto en la espira y el punto P que se encuentra sobre el eje X a una distancia d.

En la imagen se muestran los siguientes puntos: ds: Es el diferencial de longitud. r: Es la distancia que hay desde un punto de la espira hasta el punto P. r”: Es el vector unitario de la distancia desde la espira hasta el punto P. R: Radio de la espira. I: Corriente eléctrica que circula por la espira. dBx y dBy: Componentes del campo magnético producido en el punto P.

Imagen 1.1

PROCEDIMIENTO Para la solución de este problema utilizamos la ley de Biot – Savart, la cual nos indica: Debido a que cada elemento de longitud ds es perpendicular l vector r unitario en la dirección del elemento, por lo tanto ds x r es igual a ds.

Para saber a cuanto equivale nuestro r2 utilizamos la formula de triangulo rectángulo y obtenemos: La dirección dB es perpendicular al plano formado por el r unitario y ds. El vector dB se puede descomponer en dos vectores como se muestra en la figura: dBx y dBy. Cuando las componentes dBy se suman sobre todos los elementos alrededor de la espira su resultante da cero.

Por simetría la corriente en cualquier elemento sobre un lado de la espira coloca una componente perpendicular de dB que cancela la componente perpendicular calculada por la corriente a través de un elemento diametralmente opuesto a el. Por lo anterior el campo resultante en el punto P debe estar únicamente en el eje x y se obtiene integrando la componente dBx, esto quiere decir: dBx= dBCos θ

Y así se integra la componente en x: La integral se debe realizar sobre toda la espira, además se sacan los términos constantes y se tiene en cuenta que θ = R/((X2 + R2)1/2 obtenemos: Y aprovechando el hecho que la integral cerrada de ds es igual a 2πR:

Para encontrar el campo magnético en el centro de la espira lo único que debemos hacer es volver x = 0, por tanto nos quedaría: Así encontramos el campo magnético a una distancia P en un eje perpendicular a la espira y en el centro de la espira.