Evolución de interfases fluidas: gotas Marco Antonio Fontelos Universidad Rey Juan Carlos

Primera Clase Segunda Clase 1.1.- Las Ecuaciones 1.2.- Soluciones de equilibrio y su estabilidad 1.3.- Una restricción geométrica a la ruptura de interfases 1.4.- El modelo unidimensional y ruptura autosimilar Segunda Clase 2.1.- La evolución para fluidos muy viscosos: filamentos 2.2.- Fluidos viscoelásticos de tipo polimérico 2.3.- La estructura de gotas-en-alambre 2.4.- Correcciones debidas a la extensibilidad finita del polímero

1.1. Las Ecuaciones

Fluido 1 Interfase Fluido 2 n Fluido 1 Interfase Fluido 2

Caso de un solo fluido (ocupando ) (en ) C.C. (en ) Cinemát. (en )

La condición cinemática en un dominio axisimétrico h(z,t) z del fluido

La curvatura de un Dominio axisimétrico R2 s

1.2. Soluciones de equilibrio y su estabilidad

Ecuación y cond. de contorno: Reescale: z g Ecuación y cond. de contorno:

Reescale: Ecuación y cond. de contorno:

Ecuación y cond. de contorno: Reescale: Ecuación y cond. de contorno: Inestable. Wente 1980

Reescale: Ecuación y cond. de contorno:

g Extremos de E con S Superficies capilares: R. Finn: Equilibrium Capillary Surfaces

La inestabilidad del cilindro (Rayleigh 1879) Supongamos un fluido no viscoso e irrotacional Ley de Bernoulli: En la frontera:

Pequeñas perturbaciones del cilindro:

Inest. de Rayleigh Savart 1833 G(x) x Caso viscoso, Chandrasekhar 1961.

La estabilidad de la esfera (Rayleigh 1879)

Fluido muy viscoso (Glicerina, aceite,...) Kowalewski, 1996 Fluido muy viscoso (Glicerina, aceite,...)

1.3. Una restricción geométrica a la ruptura de interfases A. Córdoba, D. Córdoba, C. Fefferman, MAF (2002)

h(t) Simetría cilíndrica, sin gravedad, sin contacto con sólidos. -L L

Nota:

Entonces: Debemos probar que A(t) crece como mucho linealmente

1.- Un solo fluido 1) 2)

2.- Multiplicamos el sistema de Navier-Stokes por el vector velocidad, Integramos por partes y hacemos uso de las condiciones de contorno. Obtenemos así la siguiente identidad de energía: 2.- Las componentes simétricas del gradiente de velocidades acotan todas las demás:

3.- En un disco de radio R se tiene Integramos la desigualdad en las variables z y t y usamos Cauchy-Schwarz en el término de la derecha: Por 1) y 2) entonces

1.4. El modelo unidimensional y ruptura autosimilar (J. Eggers, T. Dupont, 1993)

El límite unidimensional Navier-Stokes (axisimétricas) t D L Condiciones de contorno Condición cinemática z

n Navier-Stokes (axisimétricas) t D L Condiciones de contorno Condición cinemática z

Desarrollo de Taylor en la variable radial + divergencia nula: Entonces: N-S p0 v2 C.C. Cin.

Sistema Unidimensional: Deshacemos el cambio para h y para z. Introducimos: Sistema Unidimensional:

Rutland & Jameson, 1971

Solución numérica del sistema (perfiles) h(z,t)

Solución numérica del sistema (velocidades) v(z,t)

Caso no viscoso: Velázquez-MAF, 1999

La ruptura para un fluido no viscoso Day et al. 1998

2.1. La evolución para fluidos muy viscosos: filamentos

Rothert, Richter, Rehberg, 2001

hmin tiempo I II III IV

MAF 2001

Etapa I

Etapa II

Etapa III Imponemos y entonces

Similaridad de 2º tipo (Barenblatt) Papageorgiou, 1994

Filamentos iterados: Etapa IV ¿Ruptura autosimilar? Shi, Brenner, Nagel, 1994

2.2. Fluidos viscoelásticos de tipo polimérico

Viscosidad vs. esfuerzo Efecto Weissenberg F g Bird et al., Dynamics of polymeric liquids.

Leyes Constitutivas Fluido Newtoniano Fluido viscoelástico (Oldroyd-B)

2.3. La estructura de gotas-en-alambre J. Eggers, J. Li, MAF (2002)

Goldin et al., 1969 Gotas en alambre Migración y colisión de gotas McKinley et al., 2001 - Radio: hmin=h0exp(-At)

El modelo unidimensional para fluidos viscoelásticos

Modelo local Coord. Lagrang.

Soluciones estacionarias Filamento:

La estabilidad del filamento

Ondas viajeras Factor integr. R>>F0 , F0<<1

Evolución de un filamento

Perfiles e-(t/3D) e-(t/3D)

e-(t/3D) Velocidad

e(t/3D) e-(t/3D) Esfuerzo elástico

El cuello t>>1

Matching con la gota

Matching con el filamento

Experimentos C. Clasen, G. McKinley (2002)

Log(hmín) -t/3D Régimen exponencial Régimen lineal (hmín)

2.4. Correcciones debidas a la extensibilidad finita del polímero

Extensibilidad infinita: Extensibilidad finita: Q+Qeq Ext. infinita Oldroyd B Ext. finita FENE (finitely extensible nonlinear elastic) log(hmin) t

Problemas 1.- Existencia y unicidad de soluciones hasta el punto de ruptura (sistemas unidimensional y tridimensional). 2.- Justificación del límite unidimensional a partir del modelo tridimensional (shallow waters). 3.- Demostración de la existencia de las soluciones autosimilares del modelo unidimensional. 4.- Existencia de ruptura en tiempo finito para el caso tridimen- sional y descripción completa del mecanismo. Estabilidad. 5.- Mecanismo de formación de filamentos iterados. 6.- Algoritmos numéricos que resuelvan la singularidad. 7.- Idénticas cuestiones en el caso de los fluidos viscoelásticos. 8.- Efectos “finos” de los polímeros (varias frecuencias de oscila- ción, efectos de enrollamiento, etc.) en la dinámica y observa- ción experimental.

Ejercicio 1. Hallar la relación entre longitud de onda y velocidad de las ondas gravitatorio-capilares generadas en un contenedor de altura media H. h(x,t) H y vy(x,0)=0 x

Ejercicio 2. Las ecuaciones para una película plana delgada, en la aproximación unidimensional, con simetría en una dirección, y bajo la acción de fuerzas de Van der Waals, son las siguientes: (Vaynblat et al. 2001). i) Estudiar la estabilidad de una película de espesor constante. ii) Proponer mecanismos autosimilares de ruptura y deducir los sistemas de EDOs correspondientes. h(x,t) x

g z

NOTA: NOTA:

NOTA: NOTA: