SUCESIONES NUMÉRICAS. PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS.

SUCESIONES NUMÉRICAS Una SUCESIÓN NUMÉRICA es un conjunto ordenado de números: { 1, 3, 5, 7, 9, … } Si dicho conjunto es FINITO, decimos que la sucesión es FINITA, y si es INTINITO, decimos que la sucesión es INFINITA. Ejemplos: Sucesión finita: 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56 Sucesión infinita: 1, 4, 9, 16, 25, …. Además, podemos representar todos los TÉRMINOS (“números de la sucesión”) con una letra y un subíndice, que indica el número de orden. Ejemplo: En la sucesión finita: 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56 El término a 4 = 7 y el término a 6 = 16

Construcción de sucesiones. Una SUCESIÓN la podemos construir si conocemos: El término general a n , para cualquier número natural n. Si conocemos la relación (“ley de recurrencia”) entre varios términos consecutivos. Ejemplos: Si para cada número natural n, el término general a n , viene dado por: a n = ( 3 n + 2 ) ; la sucesión será: 5, 8, 11, 14, 17, 20, … 2) Si la sucesión viene expresada por la siguiente relación de recurrencia: a 1 = 1 ; a n = ( a n-1 + n ) ² para todo número natural > 2. la sucesión será: 1, 9, 144, 21904, …

PROGRESIONES ARITMÉTICAS Una SUCESIÓN numérica es una PROGRESIÓN ARITMÉTICA, cuando al restar dos términos cualesquiera consecutivos (“ a n + 1 – a n “) resulta un número positivo d (“DIFERENCIA DE LA PROGRESIÓN”). Es decir una PROGRESIÓN ARITMÉTICA cumple la siguiente relación: a n + 1 = a n + d para todo número natural > 0. Ejemplos: La sucesión numérica 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, … Es una PROGRESIÓN ARITMÉTICA de DIFERENCIA 2, y que cumple la siguiente relación de recurrencia: a 1 = 3; a n + 1 = a n + 2 = a n - 1 + 2 + 2 = a n - 1 + 2.2 = … = a 1 + n. 2 para todo número natural > 0

SUMA DE LOS n PRIMEROS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓ ARITMÉTICA. Dado que la suma S, de los n primeros términos de una PROGRESIÓN ARITMÉTICA, los podemos representar mediante las siguientes expresiones: S = a 1 + a 2 + a 3 + … + a n = a 1 + ( a 1 + d ) + ( a 1 + 2d) + … + ( a 1 + (n-1)d). S = a 1 + a 2 + a 3 + … + a n = a n + ( a 1 - d ) + ( a n - 2d) + … + ( a n - (n-1)d) Sumando ambas expresiones: --------------------------------------------------------- 2. S = ( a 1 + a n ) + ( a 1 + a n ) + … + ( a 1 + a n ) = n . (a 1 + a n ) . Luego: Ejemplo: La suma de los 8 primeros términos de la PROGRESIÓN ARITMÉTICA 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, … Es:

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Una SUCESIÓN numérica es una PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, cuando al dividir dos términos cualesquiera consecutivos (“ a n + 1 : a n “) resulta un distinto de 1 y positivo r (“RAZÓN DE LA PROGRESIÓN”). Es decir una PROGRESIÓN GEOMÉTRICA cumple la siguiente relación: a n + 1 = a n . r para todo número natural > 0. Ejemplos: La sucesión numérica 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, … Es una PROGRESIÓN GEOMÉTRICA de RAZÓN 2, y que cumple la siguiente relación de recurrencia: a 1 = 2; a n + 1 = a n . 2 = a n - 1 . 2 . 2 = a n - 1 . 2 2 = … = a 1 . 2 n para todo número natural > 0

SUMA DE LOS n PRIMEROS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA. Si denomínanos S a la suma de los n primeros términos de una PROGRESIÓN ARITMÉTICA, se cumplirá: r . S = a 1.r + a 2 .r + a 3 .r + … + a n .r = a 2 + a 3 + a 4 + … + a n + a n . r S = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + … + a n = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + … + a n Restando ambas expresiones: -------------------------------------------------- r. S - S = ( r – 1 ) . S = - a 1 + 0 + 0 + 0 + …. + 0 + r. a n. Luego: Ejemplo: La suma de los 7 primeros términos de la PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, … Es:

APLICACIÓN DE LA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA AL INTERÉS COMPUESTO. Si tenemos un capital C, y lo depositamos a un interés compuesto r, dado que el rédito sería R = r : 100. ¿Qué cantidad tendré al cabo de un año? SOLUCIÓN: C 1 = C + C. R = C . (1+R) ¿Qué cantidad tendré al cabo de dos años? SOLUCIÓN: C 2 = C 1 + C 1 R = C 1 (1+R) = C . (1+R) . (1+R) = C . (1+R) ² …………………………………………………………………………………….. ¿Qué cantidad tendré al cabo de n años? SOLUCIÓN: C n = C n-1 + C n-1 R = C n-1 (1+R) = …. = C . (1+R) n Ejemplo: Si el capital inicial depositado en un banco es 1.000 €, y el interés compuesto es del 5 %. Al cabo de 10 años, tendré un capital de: C 10 = 1.000 € . ( 1 + 0,05 ) 10  1.000 € . 1,62889 = 1.628,89 €