FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL DEFINICIÓN Sean X y Y dos subconjuntos de los Números Reales. Una función f es una relación donde a todos los elementos de X se le asocia uno y sólo un elemento de Y. Es decir: Ejemplo. variable independiente o variable libre variable dependiente Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Dominio Restricciones: División entre cero. Raíces pares de números negativos. Ejemplo s El dominio natural Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Dominio Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL RANGO Ejemplos Despejamos x Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Gráfica de una función de variable real Conjunto de puntos, representados en el plano cartesiano, correspondiente a los pares ordenados de la función. Utilidad 1. Determinar el rango de una relación. Rango Dominio Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Gráfica de una función de variable real Utilidad 2. Determinar si un lugar geométrico es función o no. Para toda función, “cualquier recta vertical deberá cortar a su gráfica en sólo un punto”. NO FUNCIÓN Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Gráfica de una función de variable real Utilidad 3. Determinar si una función es inyectiva o no “Toda recta horizontal deberá cortar a su gráfica en sólo un punto” NO INYECTIVA INYECTIVA Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Gráfica de una función de variable real Utilidad 4. Determinar si una función es sobreyectiva o no 5. Determinar si la función es Biyectiva. Ejercicio 1 Graficar punto a punto Tabla de valores Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Gráfica de una función de variable real Ejercicio 2 Tabla de valores Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Clases de Funciones Función Estrictamente Creciente Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Clases de Funciones Función Creciente Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Clases de Funciones Función estrictamente DeCreciente Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Clases de Funciones . Ejercicio Defina función decreciente Función monótona Una función es Monótona en un intervalo si y sólo si es estrictamente creciente o estrictamente decreciente en ese intervalo Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Clases de Funciones FUNCIÓN PAR . Gráfica simétrica al eje Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Clases de Funciones FUNCIÓN PAR . Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Clases de Funciones FUNCIÓN IMPAR . gráfica simétrica al origen Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Clases de Funciones . Ejercicio Determine si es par o impar Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL TECNICAS DE GRAFICACIÓN Desplazamientos . HORIZONTALES A la derecha Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL TECNICAS DE GRAFICACIÓN Desplazamientos . A la izquierda HORIZONTALES Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL TECNICAS DE GRAFICACIÓN Desplazamientos . Hacia arriba VERTICALES Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL TECNICAS DE GRAFICACIÓN Desplazamientos . Hacia abajo VERTICALES Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL TECNICAS DE GRAFICACIÓN Desplazamientos . Desplazada 3 unidades a la derecha Desplazada 2 unidades hacia abajo Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL TECNICAS DE GRAFICACIÓN . REFLEXIONES CON RESPECTO AL EJE x Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL TECNICAS DE GRAFICACIÓN REFLEXIONES . Desplazada 2 unidades a la izquierda Desplazada 3 unidades hacia arriba Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL TECNICAS DE GRAFICACIÓN . REFLEXIONES CON RESPECTO AL EJE y Por: Moisés Villena

Alargamiento con respecto al eje y FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL TECNICAS DE GRAFICACIÓN Comprensiones y Alargamientos . Alargamiento con respecto al eje y Por: Moisés Villena

Comprensión con respecto al eje y FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL TECNICAS DE GRAFICACIÓN Comprensiones y Alargamientos . Comprensión con respecto al eje y Por: Moisés Villena

Alargamiento con respecto al eje x FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL TECNICAS DE GRAFICACIÓN Comprensiones y Alargamientos . Alargamiento con respecto al eje x Alargada al doble horizontalmente Por: Moisés Villena

Comprensión con respecto al eje x FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL TECNICAS DE GRAFICACIÓN Comprensiones y Alargamientos . Comprensión con respecto al eje x Comprimida a la mitad horizontalmente Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL TECNICAS DE GRAFICACIÓN Ejercicio 1 . Sea Graficar Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL TECNICAS DE GRAFICACIÓN . Solución 1 Desplazada una unidad a la izquierda Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL TECNICAS DE GRAFICACIÓN . 2 Comprimida a la mitad Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL TECNICAS DE GRAFICACIÓN . 3 Reflejada con respecto al eje x Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL TECNICAS DE GRAFICACIÓN . 4 Desplazada 2 unidades hacia arriba. Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL TECNICAS DE GRAFICACIÓN . Ejercicio 2 Graficar Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL TECNICAS DE GRAFICACIÓN Ejercicio . Graficar 3 5 7 1 2 8 4 6 Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Función Lineal . Regla de correspondencia pendiente Su gráfica es una recta Intercepto con el eje y Recta Creciente Recta Decreciente Graficar Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Función Lineal . Rectas Horizontales Función constante Graficar Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL . Rectas Verticales Graficar Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Función Lineal . Rectas que contienen al origen Graficar función Identidad Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Función Lineal . Dos puntos definen una recta. Elevación Recorrido Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Función Lineal . Dos puntos definen una recta. Ejemplo 1 Encuentre la ecuación de la recta definida por los puntos 1. y Resp. 2. y Resp. 3. y Resp. Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Función cuadrática . La gráfica es una parábola cóncava hacia arriba cóncava hacia abajo Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Función cuadrática FORMA CANÓNICA El vértice de la parábola tiene coordenadas Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Función cuadrática Ejemplo Graficar Vértice Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Función cuadrática FORMA FACTORADA Ejemplo FORMA CANÓNICA FORMA FACTORADA Ceros Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Graficar 1. 2. Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Graficar 1. 2. 3. Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Graficar Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Ejercicio Sea graficar Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Función Valor Absoluto Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Función Valor Absoluto Ejercicio Graficar desplazada una unidad a la derecha y una unidad hacia arriba 1 Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Nos quedamos con la parte derecha de f, y la reflejamos con respecto al eje y . Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Nos quedamos con la parte izquierda de f, y la reflejamos con respecto al eje y . Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Ejercicio 2 Sea Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Graficar Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Graficar Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Graficar Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Ejercicio 3 Hallar el rango Sea Solución: Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Ejercicio 4 Graficar Solución: Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Ejercicio 4 Graficar Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL otras Funciones elementales Función raíz cuadrada Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL otras Funciones elementales HIPERBOLA EQUILATERA Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL otras Funciones elementales Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL otras Funciones elementales Por: Moisés Villena

Funciones con regla de correspondencia definida en intervalos FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Funciones con regla de correspondencia definida en intervalos Ejemplo 1 Ejemplo 2 Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Ejercicio Graficar Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Ejercicio Graficar Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Ejercicio Sea la gráfica Hallar la Regla de Correspondencia Por: Moisés Villena

Funciones con regla de correspondencia definida en intervalos FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Funciones con regla de correspondencia definida en intervalos Ejemplo 3 Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Operaciones Ejemplo 1 Ejercicio Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Operaciones Ejemplo 2 Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Operaciones Ejemplo 3 Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Operaciones Ejercicio Hallar Resp. Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Función compuesta Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Función compuesta Ejemplo 1 y Sean Hallar: g evaluada en f Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Función compuesta Ejemplo 2 y Sean Hallar: f evaluada en g Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Ejemplo 3 Sea y Hallar Solución: Graficamos g Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Ejemplo 3 Sea y Hallar Solución: Graficamos g Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Ejemplo 4 Sea y Hallar Graficamos f Solución: Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Ejemplo 5 Sea y Hallar Graficamos g Solución: Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Ejemplo 6 Sea y Hallar Graficamos f Solución: Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Función Inversa Ejemplo 1 1. Cambiar “x” por “y” y “y” por “x” 2. Despejar Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Función Inversa Ejemplo 2 1. 2. Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Función Inversa Ejemplo 3 1. 2. Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Función Inversa Ejemplo 3 1. 2. | Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Función Inversa Ejemplo 3 Primero: Segundo: Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Función Inversa Ejemplo 4 Primero: Segundo: Por: Moisés Villena

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Función Inversa Ejemplo 2 Sea Por: Moisés Villena