PROYECTO FIN DE CARRERA Diagramas de nudos: casi alternancia y adecuación. Aplicaciones en ingeniería Autor: Francisco Cordovilla Baró Junio 2009

Nudos y Diagramas Implicaciones sistemas dinámicos, (espacial) Diagrama (plano) Implicaciones sistemas dinámicos, geometría algebraica, grupos cuánticos, física teórica, etc.

Problema de clasificación: ¿cuándo dos diagramas representan el mismo nudo? =

Solución matemática: teoría de invariantes Polinomio de Jones (Medalla Field en 1990). L = VL(t) = t –4 + t –3 – t –1 Corchete de Kauffman (1987). ‹ › = – A –5 – A3 + A7 ancho ‹ › = 7 – (–5) = 12

Estados de un diagrama A A B A B B A A B B A B A B Un estado s de un diagrama D es un etiquetado de cada uno de los cruces de D mediante una letra A ó B. Los ocho estados posibles del Trébol A A B A B B A A B B A B A B

Estados como instrucción para suavizar el diagrama Cada etiqueta A ó B es una instrucción para suavizar el cruce correspondiente. A B B A

Estados extremos y número de círculos Número de círculos de D = |sAD| + |sBD| A |sAD| = 3 B |sBD| = 2 |sAD| + |sBD| = 3 + 2 = 5

El ancho del corchete de Kauffman Es conocida la siguiente cota superior del ancho de <D>: ancho (<D>)  2n + 2(|sAD| + |sBD|) – 4 Número de círculos Para diagramas alternantes el número de círculos es n + 2 y por tanto ancho (<D>)  4n. El proyecto estudia esta cota para diagramas casi-alternantes y 2-casi-alternantes, analizando el número de círculos.

Diagramas alternantes y k-casi-alternantes Diagrama alternante Diagrama casi-alternante Cruce desalternador

Teorema sobre diagramas 2-casi-alternantes Sea D un diagrama conexo, reducido, fuertemente primo con n cruces. Supongamos que D es 2-casi-alternante. Sean c1 y c2 sus desalternadores. Sea r el número de regiones que colindan simultáneamente con c1 y c2. Se verifica entonces que r ≤ 3 y se tienen las siguientes igualdades: Si r = 0, 1 o bien r = 2 siendo las dos regiones colindantes de igual color, |sAD| + |sBD| = n - 2 . Si r = 3, o bien r = 2 siendo las dos regiones colindantes de distinto color, |sAD| + |sBD| = n.

Ejemplo con r = 3, n = 9 Como predice el teorema, |sAD| = 3 |sBD| = 6 Como predice el teorema, |sAD| + |sBD| = 3 + 6 = 9 = n.

Ejemplo con r = 2, mismo color, n = 10 |sBD| = 3 |sAD| = 7 Como predice el teorema, |sAD| + |sBD| = 7 + 3 = 10 = n.

Ejemplo con r = 2, distinto color, n = 8 |sAD| = 1 |sBD| = 5 Como predice el teorema, |sAD| + |sBD| = 1 + 5 = 6 = n - 2.

Ancho del corchete y diagramas adecuados <D> = amAm + ... + aMAM Se conocen las siguientes fórmulas: M = n + 2|sAD| - 2 m = - n – 2|sBD| + 2 Por tanto ancho (<D>)  2n + 2(|sAD| + |sBD|) – 4 Si los hipotéticos coeficientes extremos am y aM no se anulan, entonces se tiene una igualdad en la fórmula anterior. ¿Cuándo ocurre esto? Por ejemplo, en el caso de los llamados diagramas adecuados.

Grafos convertibles Partiendo del estado extremo sA de un diagrama D, se construye un grafo GDA D GDA = sAD Los grafos obtenidos por este procedimiento, o sea, los grafos de tipo GDA son llamados grafos convertibles. El proyecto contiene un anexo en donde se abunda en la caracterización de este tipo de grafos.

Independencia promedio de grafos Todo grafo G lleva asociado un número entero I(G), llamado independencia promedio. r Gr (r hexágonos) I(Gr) = r + 1 La independencia promedio del grafo vacío es 1. Teorema (Morton-Bae) aM =  I(GDA) am =  I(GDB)

Diagramas adecuados y grafos convertibles Alternante + Reducido GAD= Ø GBD= Ø Adecuado I(GDA) = 1 I(GDB) = 1 aM =  1 am =  1 Luego para los diagramas adecuados ancho (<D>) = 2n + 2(|sAD| + |sBD|) – 4

Aplicaciones basadas en la teoría de trenzas Clausura del diagrama Diagrama (plano) Trenza (espacial) Aplicaciones Bioquímica, criptografía, robótica, mecánica de fluidos, etc.

Mecánica de fluidos: homogeneización Mezclar homogéneamente dos fluidos Distribuir homogéneamente una propiedad en un único fluido

¿Cómo mezclan fluidos las trenzas ? El hilo de líquido rosa se mezcla con el líquido azul siguiendo una trenza.

Hay trenzas buenas y trenzas malas Trenza periódica σ1 σ2 σ3 σ2 No mezcla bien. Trenza pseudo-Anosov σ1 σ2-1 σ3 σ2-1 Sí mezcla bien. La entropía topológica mide si las trenzas mezclan bien o mal.

Mecanismo para el mezclado de fluidos El mezclador plateado Mecanismo para el mezclado de fluidos

VGAs en una planta industrial Se trata de diseñar sistemas de control para los VGAs que cumplan las siguientes tres especificaciones: 1. Los VGAs no deben colisionar con los obstáculos. 2. Los VGAs no deben colisionar entre si. 3. Los VGAs deben ser capaces de completar su trabajo con eficiencia, en relación a determinados parámetros.

Desplazamiento de VGAs siguiendo una trenza B A Una trenza contiene la información del posible movimiento simultáneo de varios VGAs, tantos como cuerdas tenga la trenza.

Espacios de configuración El tiempo es la variable z según la cual se desarrolla la trenza.

FIN MUCHAS GRACIAS

Demostración del caso r = 1 Ya que D* es alternante y conexo sabemos que |sAD*| + |sBD*| = n + 2 Se prueba que : |sAD| = |sAD*| - 2 |sBD| = |sBD*| - 2 de modo que: |sAD| + |sBD| = (n + 2) – 4 = n – 2.

Caso r = 1 (continuación) |sAD| = |sAD*| - 2 D D* sAD sAD* sAD sAD*