TEMA 5: PROBABILIDAD

Índice Experimentos aleatorios. Sucesos. Tipos de sucesos. Sucesos elementales Suceso seguro Suceso imposible Álgebra de sucesos. Operaciones con sucesos. Unión de sucesos Intersección de sucesos Diferencia de sucesos Leyes de Morgan Definición axiomática de probabilidad. Regla de LA Place. Probabilidad condicionada. Sucesos dependientes o independientes Teorema de la probabilidad total. Teorema de Bayes.

Experimentos aleatorios. Un experimento es aleatorio si hay más de un resultado posible y no podemos decir con anterioridad lo que va a suceder. En este caso se dice que el resultado depende del azar. Ejemplos: Todos los juegos de azar son experimentos aleatorios. Como ejemplos podemos poner: Lanzar una moneda al aire podrá salir cara o cruz. Sacar una bola de una urna que contiene bolas de distinto color, si no vemos su interior 1. A los experimentos en los cuales no sabemos lo que va a ocurrir se les llama experimentos aleatorios. 2. A los otros, aquellos en los que sí podemos decir lo que va a ocurrir, se les llama experimentos deterministas.

Sucesos. Tipos de sucesos. Se llama suceso de un experimento aleatorio a cada uno de los subconjuntos del espacio muestral "E". El conjunto de todos los sucesos de un experimento aleatorio se conoce como espacio de sucesos y se representa por "S". Ejemplo para lanzar una moneda al aire, tendremos el siguiente cuadro: E= {Cara, Cruz} S= {{Ø}, {Cara}, {Cruz}, {Cara,Cruz}}

Sucesos elementales Suceso elemental es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral. Por ejemplo al tirar un dado un suceso elemental es sacar 5. Suceso seguro Suceso seguro, E, está formado por todos los posibles resultados (es decir, por el espacio muestral). Por ejemplo al tirar un dado un dado obtener una puntuación que sea menor que 7 Suceso imposible Suceso imposible, Conjunto vacio, es el que no tiene ningún elemento. Por ejemplo al tirar un dado obtener una puntuación igual a 7.

Álgebra de sucesos. Operaciones con sucesos Unión de sucesos Dados dos sucesos A y B, denotaremos mediante A [ B al suceso que se verifica cuando al menos uno de los dos se verifica. Intersección de sucesos Dados dos sucesos A y B, denotaremos mediante A\B al suceso que se verifica cuando ambos se verifican. Diferencia de sucesos La diferencia de sucesos, A − B, es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B. Es decir, la diferencia de los sucesos A y B se verifica cuando lo hace A y no B. A − B se lee como "A menos B".

Leyes de Morgan El suceso contrario de la unión de dos sucesos es la intersección de sus sucesos contrarios: El suceso contrario de la intersección de dos sucesos es la unión de sus sucesos contrarios:

Ejemplo de unión de sucesos Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A unión B. A = {2, 4, 6} B = {3, 6} A unión B = {2, 3, 4, 6}

Ejemplo de intersección de sucesos Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A intersección B. A = {2, 4, 6} B = {3, 6} A intersección B = {6}

Ejemplo de diferencia de sucesos Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A − B. A = {2, 4, 6} B = {3, 6} A − B = {2, 4}

Definición axiomática de probabilidad. Si llamamos S al conjunto de todos los posibles sucesos asociados a un espacio muestral, definimos axiomáticamente la probabilidad como una función que asocia a cada suceso A un número real, que será su probabilidad. cumpliéndose las siguientes condiciones: Ax.1 La probabilidad de un suceso cualquiera es positiva o nula P(A)0 Ax.2 La probabilidad del suceso seguro es 1 P()=1 Ax.3 Dados dos sucesos A y B y tales que A B= Ø, es decir, son incompatibles, entonces: P(A U B)=P(A)+P(B)

Regla de Laplace. Si en un experimento aleatorio todos los sucesos elementales son equiprobables, la probabilidad de un suceso A se obtiene dividiendo el número de resultados que forman el suceso A entre el número de resultados posibles. Si llamamos casos favorables a los resultados que forman el suceso A y casos posibles a los resultados posibles del experimento, tenemos:

Probabilidad condicionada. La probabilidad de que ocurra el suceso A si ha ocurrido el suceso B se denomina probabilidad condicionada y se define

Sucesos dependientes o independientes Sucesos dependientes Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B. Extraer dos cartas de una baraja, sin reposición, son sucesos dependientes. Sucesos independientes Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B. Al lazar dos dados los resultados son independientes.

Teorema de la probabilidad total. El Teorema de la probabilidad total nos permite calcular la probabilidad de un suceso a partir de probabilidades condicionadas: Ejemplo: supongamos que si llueve la probabilidad de que ocurra un accidentes es x% y si hace buen tiempo dicha probabilidad es y%. Este teorema nos permite deducir cuál es la probabilidad de que ocurra un accidente si conocemos la probabilidad de que llueva y la probabilidad de que haga buen tiempo. La fórmula para calcular esta probabilidad es:

Es decir, la probabilidad de que ocurra el suceso B (en nuestro ejemplo, que ocurra un accidente) es igual a la suma de multiplicar cada una de las probabilidades condicionadas de este suceso con los diferentes sucesos A (probabilidad de un accidente cuando llueve y cuando hace buen tiempo) por la probabilidad de cada suceso A. Para que este teorema se pueda aplicar hace falta cumplir un requisito: Los sucesos A tienen que formar un sistema completo, es decir, que contemplen todas las posibilidades (la suma de sus probabilidades debe ser el 100%).

Ejercicio 1º: En un saquito hay papeletas de tres colores, con las siguientes probabilidades de ser elegidas: a) Amarilla: probabilidad del 50%. b) Verde: probabilidad del 30% c) Roja: probabilidad del 20%. Según el color de la papeleta elegida, podrás participar en diferentes sorteos. Así, si la papeleta elegida es: a) Amarilla: participas en un sorteo con una probabilidad de ganar del 40%. b) Verde: participas en otro sorteo con una probabilidad de ganar del 60% c) Roja: participas en un tercer sorteo con una probabilidad de ganar del 80%.

Con esta información, ¿qué probabilidad tienes de ganar el sorteo en el que participes?: 1.- Las tres papeletas forman un sistema completo: sus probabilidades suman 100% 2.- Aplicamos la fórmula: Luego, P (B) = (0,50 * 0,40) + (0,30 * 0,60) + (0,20 * 0,80) = 0,54 Por tanto, la probabilidad de que ganes el sorteo es del 54%.

Teorema de Bayes. El teorema de Bayes parte de una situación en la que es posible conocer las probabilidades de que ocurran una serie de sucesos Ai. A esta se añade un suceso B cuya ocurrencia proporciona cierta información, porque las probabilidades de ocurrencia de B son distintas según el suceso Ai que haya ocurrido. Conociendo que ha ocurrido el suceso B, la fórmula del teorema de Bayes nos indica como modifica esta información las probabilidades de los sucesos Ai.

Ejemplo: Si seleccionamos una persona al azar, la probabilidad de que sea diabética es 0,03. Obviamente la probabilidad de que no lo sea es 0,97. Si no disponemos de información adicional nada más podemos decir, pero supongamos que al realizar un análisis de sangre los niveles de glucosa son superiores a mg/l, lo que ocurre en el 95% de los diabéticos y sólo en un 2% de las personas sanas. ¿Cuál será ahora la probabilidad de que esa persona sea diabética? La respuesta que nos da el teorema de bayes es que esa información adicional hace que la probabilidad sea ahora 0,595. Vemos así que la información proporcionada por el análisis de sangre hace pasar, la probabilidad inicial de padecer diabetes de 0,03, a 0,595. Evidentemente si la prueba del análisis de sangre hubiese sido negativa, esta información modificaría las probabilidades en sentido contrario. En este caso la probabilidad de padecer diabetes se reduciría a 0,0016.