Tema 1.- Aritmética

1.-Usar el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor de a y b y expresarlo en función de a y b para: a) a= 56, b= = 2 · = 2 · = 13 · Como la división es exacta, hemos terminado. El mcd(56,27) es el último resto no nulo, esto es, 1 Despejando 1 de la penúltima división: 1 = 27 – 2 · 13 Despejamos ahora 2 de la división anterior 1 = 27 – 2 · 13 = 27 – 13 · (56 – 2 · 27) = 27 – 13 · · 27 = = 27 · 27 – 13 · 56

1.-Usar el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor de a y b y expresarlo en función de a y b para: a) a= 322, b= = = 3 · = Como la divisón es exacta, hemos terminado. El mcd(322,406) es el último resto no nulo, esto es, 14 Despejando 14 de la penúltima división: 14 = 84 – 70 Despejamos ahora 70 de la división anterior 14 = 84 – 70 = 84 – (322 – 3 · 84) = 84 – · 84 = = 4 · 84 – = 5 · Despejamos ahora 84 de la división anterior 14 = 4 · 84 – 322 = 4 · (406 – 322) – 322 = 4 · 406 – 4 · 322 – 322 = = 4 · 406 – 5 · 322

1.-Usar el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor de a y b y expresarlo en función de a y b para: c) a= 721, b= = = = Como la divisón es exacta, hemos terminado, mcd(721,448) = 7. Vamos a ir despejando el resto sucesivamente; 7 = 21 – 14 7 = 21 – 14 = 21 – (77 – 3 · 21) = 4 · 21 – = = 4 · 21 – 77 = 4 · ( ) – 77 = 4 · · = = 3 · = = 2 · = 4 · · 77 = 4 · · (175 – 98) = 9 · · = 9 · · 175 = 9 · (273 – 175) -5 · 175 = 9 · · = 9 · · 175 = 9 · · (448 – 273) = 23 · · = 23 · 273 – 14 · 448 = 23 · (721 – 448) -14 · 448 = 23 · · 448

2.-Halla las soluciones enteras de: a) 28x + 36y = 44 Como mcd(28,36) = 4, simplificamos la ecuación por 4 7x + 9y = 11 Solucionamos 7x + 9y = 1 Aplicamos Euclides: 9 = = 3 · = 2 · Luego mcd(9,7) = 1, despejando sucesivamente: 1 = 7 – 3 · 2 1 = 7 – 3 · (9 – 7) = 4 · 7 -3 · 9 Multiplicando por 11: 11 = 44 · · 9 Una solución de nuestra ecuación es x = 44, y = -33

2.-Halla las soluciones enteras de: a) 28x + 36y = 44 Queremos resolver: 7x + 9y = 11 Tenemos: 44 · · 9 = 11 Restando:7 · (44 – x) + 9 · (-33 - y) = 0 Pasando al otro lado: 7·(44 – x) = -9 · (-33 - y) Luego 44 – x es un múltiplo de 9: 44 – x = 9k, es decir, x = 44 – 9k Sustituyendo 7 · 9k = -9 (-33 - y) 7k = 33 + y y = k

2.-Halla las soluciones enteras de: b) 16x + 26y = 14 Como mcd(16,26) = 2, simplificamos la ecuación por 2 8x + 13y = 7 Solucionamos 8x + 13y = 1 Aplicamos Euclides: 13 = = = Luego mcd(9,7) = 1, despejando sucesivamente: 1 = 3 – 2 1 = 3 – (5 - 3) = 2 · 3 -5 Multiplicando por 7: 7 = 35 · · 13 Una solución de nuestra ecuación es x = 35, y = = = 2 · (8 - 5) – 5 = 2 · 8 -3 · 5 1 = 2 · 8 – 3 · (13 - 8) = 5 · · 13

2.-Halla las soluciones enteras de: b) 16x + 26y = 14 Queremos resolver: 8x + 13y = 7 Tenemos: 8·35 -13·21 = 7 Restando:8·(35 – x) - 13·(21 + y) = 0 Pasando al otro lado: 8·(35 – x) = 13·(21 + y) Luego 35 – x es un múltiplo de 13: 35 – x = 13k, es decir, x = 35 – 13k Sustituyendo 8·13k = 13 (21 + y) 8k = 21 + y y = k

2.-Halla las soluciones enteras de: c) 66x + 550y = 88 Como mcd(66,550) = 22, simplificamos la ecuación por 22 3x + 25y = 4 Solucionamos 3x + 25y = 1 Aplicamos Euclides: 25 = 3 · = 8 · Luego mcd(8,25) = 1, despejando sucesivamente: 1 = – 3 · Multiplicando por 4: 4 = -3 · · 25 Una solución de nuestra ecuación es x = -32, y = 4

2.-Halla las soluciones enteras de: c) 66x + 550y = 88 Queremos resolver: 3x + 25y = 4 Tenemos: -32 x 3 + 4·25 = 4 Restando:3·(-32 – x) + 25·(4 - y) = 0 Pasando al otro lado: 3·(-32 – x) = -25 · (4 – y) Luego -32 – x es un múltiplo de 25: -32 – x = 25k, es decir, x = -32 – 25k Sustituyendo 3·25k = -25(4 – y) 3k = -4 + y y = 4 + 3k

3.-Se dispone de un suministro ilimitado de agua y de dos cubos de 7 y 9 litros respectivamente. ¿Cómo podríamos poner exactamente 1 litro de agua en un cubo Llamaremos: x al número de cubos de 7 litros que usaremos y al número de cubos de 9 litros que usaremos Por tanto el agua que tendremos será: 7x + 9y Hay que resolver 7x + 9y = 1 Usando Euclides: 9 = 7 – 2 7 = 3 · Despejando: 1 = 7 – 3 · 2 = 7 -3 · (9 – 7) = 4 · 7 – 3 · 9 La solución es llenar 4 veces el cubo de 7 litros. Echar ese agua en algún recipiente y, después, quitar tres veces un cubo de 9.

4.- Un distribuidor de equipos informáticos efectúa un pedido de entre 1000 y 1500 equipos a un fabricante. Éste se los envía en contenedores completos con capacidad para 68 equipos cada uno. El distribuidor los reparte a los diferentes puntos de venta en furgonetas con capacidad para 20 equipos, quedando 32 equipos sin repartir. ¿ Cuántos equipos pidió el distribuidor a la fábrica ?. Sea x el número de contenedores que recibe Sea y el número de furgonetas que vende Tendremos que: 68 x = 20y + 32 Vamos a resolver esta ecuación.

4.- Un distribuidor de equipos informáticos efectúa un pedido de entre 1000 y 1500 equipos a un fabricante. Éste se los envía en contenedores completos con capacidad para 68 equipos cada uno. El distribuidor los reparte a los diferentes puntos de venta en furgonetas con capacidad para 20 equipos, quedando 32 equipos sin repartir. ¿ Cuántos equipos pidió el distribuidor a la fábrica ?. 68 x - 20y = 32 Simplificando por 4 17x – 5y = 8 Resolvemos 17x – 5y = 1 17 = 5· = 2·2 + 1 Despejando: 1 = 5 - 2·2 = 5 - 2·(17 - 3·5) = -2·17 + 7·5 Multiplicando por 8:8 = -16· ·5 Una solución es x = -16, y= -56, pero esa solución no tiene sentido

4.- Un distribuidor de equipos informáticos efectúa un pedido de entre 1000 y 1500 equipos a un fabricante. Éste se los envía en contenedores completos con capacidad para 68 equipos cada uno. El distribuidor los reparte a los diferentes puntos de venta en furgonetas con capacidad para 20 equipos, quedando 32 equipos sin repartir. ¿ Cuántos equipos pidió el distribuidor a la fábrica ?. Tenemos: -16· ·5 = 8 Queremos resolver17x – 5y = 8 Restando Pasando al otro lado: 17·(16 + x) = 5·(56 + y) Luego 16 + x es un múltiplo de 5, 16 + x = 5k 17·(-16 - x) + 5·(56 + y) = 0 x = k El número de equipos es 68 ·x = 68 ·( k) = k Una simple inspección nos da que para k = 7 este número es 1292

5.- ¿De cuántas maneras se puede hacer un fajo de 21 billetes de 5, 10 y 20 euros por valor de 200 euros? Sea x el número de billetes de 5 euros El número total de billetes será x + y + z que debe de ser 21 Queremos resolver: x + y + z = 21 5x + 10y + 20z = 200 Despejando z en la primera ecuación, z = 21 – x - y Sea y el número de billetes de 10 euros Sea z el número de billetes de 20 euros El valor del fajo es 5x + 10y + 20z que debe de ser 200

5.- ¿De cuántas maneras se puede hacer un fajo de 21 billetes de 5, 10 y 20 euros por valor de 200 euros? 5x + 10y +20(21 – x – y) = 200 5x + 10y – 20x – 20y = x – 10y = x + 10y = 220 Simplificamos por 5 3x + 2y = 44 Resolvemos 3x + 2y = 1 3 = 2 + 1, luego 1 = 3 – 2 Multiplicando por = 3·44 – 2·44 Una solución es x = 44, y = -44

5.- ¿De cuántas maneras se puede hacer un fajo de 21 billetes de 5, 10 y 20 euros por valor de 200 euros? 44 = 3x + 2y 44 = 3·44 – 2·44 Tenemos Queremos resolver: Restamos: 0 = 3·(x – 44) + 2·(y + 44) Pasamos al otro término: 3·(x – 44) = -2·(y + 44) Luego x – 44 es un múltiplo de 2, x – 44 = 2k Sustituyendo 3·2k = -2·(y + 44) 3k = -y -44 y = k Finalmente z = z = 21 – x – y = 21 – (44 + 2k) - (-44 – 3k) z = 21+ k

5.- ¿De cuántas maneras se puede hacer un fajo de 21 billetes de 5, 10 y 20 euros por valor de 200 euros? z = 21+ k y = k x = k Falta elegir un valor de k para el que x, y, z sean positivos Para que x sea positivo k -22 Para que y sea positivo k -14 Para que z sea positivo k -21 Resumiendo, k debe de estar entre -21 y -14 (inclusive), por lo que hay 8 posibilidades

6.- Sean a y b dos enteros con mcd(a,b) = 1. Demostrar que: a) mcd(a + b, a) = 1 Sea p un divisor común de a+b y a que no sea compuesto: a+b = r·p a = s·p Restando b = (r – s)·p Luego p es un divisor común de a, b. Como mcd(a,b)= 1, entonces p = 1 Luego el único divisor común de a+b y a es 1

6.- Sean a y b dos enteros con mcd(a,b) = 1. Demostrar que: b) mcd(a + b, a - b) = 1 ó 2 Sea p un divisor común de a+b y a-b que no sea compuesto: a+b = r·p a – b = s·p Sumando 2·a = (r + s)·p Luego p es un divisor común de 2·a, 2·b. Como mcd(a,b)= 1, entonces p debe dividir a 2, esto es p = 1 ó 2 Luego los únicos que pueden ser divisores comunes de a+b y a-b son 1 y 2 Restando 2·b = (r – s)·p

6.- Sean a y b dos enteros con mcd(a,b) = 1. Demostrar que: c) mcd(2a + b, a + 2b) = 1 ó 3 Sea p un divisor común de 2a + b y a + 2b que no sea compuesto: 2a + b = r·p a + 2b = s·p Restando a la 2ª ecuación 2 veces la 1ª -3·a = (s – 2r)·p Luego p es un divisor común de 3a, 3b. Como mcd(a,b)= 1, entonces p debe dividir a 3, esto es p = 1 ó 3 Los posibles divisores comunes de 2a+b y a + 2b son 1 y 2 Restando a la 1ª ecuación 2 veces la 2ª -3·b = (r – 2s)·p

7.- Estudia si son ciertas la siguientes afirmaciones: a) 2m y 4m + 3 siempre son primos entre sí Sea p un divisor común de 2m y 4m + 3 que no sea compuesto: 2m = r·p 4m + 3 = s·p Restando a la 2ª ecuación 2 veces la 1ª 3 = (s – 2r)·p Luego p es un divisor de 3 y debe de ser 1 ó 3. Esto se da, por ejemplo, en m = 3. En este caso: Si p es 3, entonces 2m debe de ser múltiplo de 3. 2m = 64m + 3 = 15 Que no son primos entre sí.

7.- Estudia si son ciertas la siguientes afirmaciones: b) 2m + 1 y 3m + 2 siempre son primos entre sí Sea p un divisor común de 2m y 4m + 3 que no sea compuesto: 2m + 1 = r·p 3m + 2 = s·p Multiplicando la 1ª ecuación por 3 y restando 2 veces la 2ª ecuación -1 = (3r – 2s)·p Luego p es un divisor de -1 y debe de ser 1. El único divisor posible es 1, por lo que son primos entre sí.

9.- Estudia si son primos o no los números: a) 811b) 467c) 911 Vamos a empezar por buscar todos los primos menores o iguales que la raíz cuadrada del mayor de ellos: La raíz cuadrada de 911 = 30'.... Vamos a buscar los primos hasta el Eliminamos los múltiplos de

9.- Estudia si son primos o no los números: a) 811b) 467c) 911 Eliminamos los múltiplos de Eliminamos los múltiplos de Como 7 es mayor que la raíz de 30, hemos acabado. Los primos hasta el 30 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29

9.- Estudia si son primos o no los números: a) 811b) 467c) 911 a) Haciendo las divisiones: 811 = 2· = 3· = 5· = 7· = 11· = 13· = 17· = 19· = 23· = 29· Los números que nos dan serán primos si no son divisibles por ninguno de 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29 Luego 811 es primo

9.- Estudia si son primos o no los números: a) 811b) 467c) 911 b) y c) Haciendo las divisiones nos sale que 467 y 911 son primos: Los números que nos dan serán primos si no son divisibles por ninguno de 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29

10.- Si n es un entero positivo ninguno de los n números consecutivos empezando por (n + 1)! + 2 es primo (n + 1)! + 2 = 2·3·4·5·6· ·n·(n + 1) + 2 Vamos a ir escribiendo n números a partir de éste (n + 1)! + 2 = 2·3·4·5·6· ·n·(n + 1) + 2 No es primo porque es divisible por 2 (n + 1)! + 2 = 2·3·4·5·6· ·n·(n + 1) + 3 No es primo porque es divisible por 3 (n + 1)! + 2 = 2·3·4·5·6· ·n·(n + 1) + 4 No es primo porque es divisible por 4 (n + 1)! + 2 = 2·3·4·5·6· ·n·(n + 1) (n – 1) = 2·3·4·5·6· ·n·(n + 1) + (n + 1) No es primo porque es divisible por n + 1