11 Una muestra sencilla de una función y de su gráfica lo constituye la representación que muestra la altitud de una carrera ciclista en cada punto del recorrido. Los participantes tienen así una información eficaz de la carrera. Funciones INTERNET LECTURA INICIAL ESQUEMA ACTIVIDAD Fuente: www.viamichelin.es Fuente: www.letour.fr

La “gripe española” y otras enfermedades infecciosas Busca en la Web Enlace a diversas gráficas sobre la mayor pandemia de nuestra época, el sida Enlace a la historia de la epidemia mundial de gripe de 1918 (la “gripe española”)

Esquema de contenidos Funciones Concepto de función Variables independiente y dependiente Formas de expresar una función Por un enunciado Mediante el álgebra Mediante una tabla Mediante una gráfica Características gráficas básicas Continuidad Dominio y recorrido Cortes con ejes Intersección de gráficas Características gráficas de evolución . Crecimiento y decrecimiento Máximos y mínimos Características gráficas de regularidad Simetrías Periodicidad

Funciones expresables por un enunciado ¿Qué relación hay entre el número de lados de un polígono regular y la medida de uno de sus ángulos iguales? Seguramente ya conoces la relación existente entre el número de lados y la suma de todos los ángulos de un polígono, sea regular o no. ¿La recuerdas? SIGUIENTE

Funciones expresables por un enunciado ¿Qué relación hay entre el número de lados de un polígono regular y la medida de uno de sus ángulos iguales? Seguramente ya conoces la relación existente entre el número de lados y la suma de todos los ángulos de un polígono, sea regular o no. Si dividimos el polígono (en la figura, un pentágono) en triángulos, puedes observar que la suma de sus ángulos, , es la misma que la de los ángulos de los triángulos en que se dividió, pues, Así pues, los ángulos de un pentágono suman 180º · 3 = 540º. Para cualquier polígono con n lados, se pueden dibujar n  2 triángulos, luego (n  2) · 180º será la suma de todos sus ángulos. ¿Puedes ya deducir la función que relaciona a n (número de lados) con la medida de un solo ángulo del polígono regular de n lados? SIGUIENTE

Funciones expresables por un enunciado ¿Qué relación hay entre el número de lados de un polígono regular y la medida de uno de sus ángulos iguales? Si (n  2) · 180º suman todos los ángulos del polígono regular, lo que mida uno de los n ángulos iguales, f(n) , será: SIGUIENTE

Funciones expresables por un enunciado ¿Qué relación hay entre el número de lados de un polígono regular y la medida de uno de sus ángulos iguales? Haz una tabla de esta función con valores de n desde 3 a 12 lados. Número lados Medida del ángulo 3 (3-2)·180/3 = 60º 4 (4-2)·180/4 = 90º 5 (5-2)·180/5 = 108º 6 (6-2)·180/6 = 120º 7 (7-2)·180/7 = 128,6º 8 (3-2)·180/3 = 135º 9 (9-2)·180/9 = 140º 10 (10-2)·180/10 = 144º 11 (11-2)·180/11 = 147,3º 12 (12-2)·180/12 = 150º ¿Hay algún polígono regular cuyo ángulo mida 162º? SIGUIENTE

Funciones expresables por un enunciado ¿Qué relación hay entre el número de lados de un polígono regular y la medida de uno de sus ángulos iguales? Haz una tabla de esta función con valores de n desde 3 a 12 lados. Número lados Medida del ángulo 3 (3-2)·180/3 = 60º 4 (4-2)·180/4 = 90º 5 (5-2)·180/5 = 108º 6 (6-2)·180/6 = 120º 7 (7-2)·180/7 = 128,6º 8 (3-2)·180/3 = 135º 9 (9-2)·180/9 = 140º 10 (10-2)·180/10 = 144º 11 (11-2)·180/11 = 147,3º 12 (12-2)·180/12 = 150º ¿Hay algún polígono regular cuyo ángulo mida 162º? Tienes que solucionar la ecuación: (n  2) · 180 = 162 n 180 n  162 n = 360c 18 n = 360 n = 20 lados

Perfil de una etapa de montaña El perfil de una etapa de una carrera ciclista es un ejemplo de representación gráfica de una función. Aquí tienes el perfil de una etapa de montaña del Tour de Francia 2007 que transcurre por carreteras francesas y españolas. Francia | España | Francia ¿Qué magnitud representa la variable x ? ¿Cuál la variable y ? SIGUIENTE

Perfil de una etapa de montaña El perfil de una etapa de una carrera ciclista es un ejemplo de representación gráfica de una función. Aquí tienes el perfil de una etapa de montaña del Tour de Francia 2007 que transcurre por carreteras francesas y españolas. Francia | España | Francia ¿Qué magnitud representa la variable x ? ¿Cuál la variable y ? La variable x mide el espacio recorrido desde la salida. La variable y mide la altura sobre el nivel del mar. Observa que 1 km (= 1.000m) en horizontal no se mide con la misma longitud en vertical. SIGUIENTE

Perfil de una etapa de montaña El perfil de una etapa de una carrera ciclista es un ejemplo de repesentación gráfica de una función. Aquí tienes el perfil de una etapa de montaña del Tour de Francia 2007 que transcurre por carreteras francesas y españolas. Francia | España | Francia ¿Entre qué valores de x la gráfica es creciente (es decir, la carretera sube)? ¿En cuáles es decreciente? SIGUIENTE

Perfil de una etapa de montaña El perfil de una etapa de una carrera ciclista es un ejemplo de repesentación gráfica de una función. Aquí tienes el perfil de una etapa de montaña del Tour de Francia 2007 que transcurre por carreteras francesas y españolas. Francia | España | Francia ¿Entre qué valores de x la gráfica es creciente (es decir, la carretera sube)? ¿En cuáles es decreciente? La función es creciente entre 0 y 81, entre 110 (aproximadamente) y 132, entre 158 y 175 y entre 188 (aproximadamente) y 218. Es decreciente en el resto, salvo un tramo horizontal que se encuentra entre x = 100 y x =110, aproximadamente. SIGUIENTE

Perfil de una etapa de montaña El perfil de una etapa de una carrera ciclista es un ejemplo de repesentación gráfica de una función. Aquí tienes el perfil de una etapa de montaña del Tour de Francia 2007 que transcurre por carreteras francesas y españolas. Francia | España | Francia ¿Cuáles son los máximos relativos (“cumbres de la gráfica”)? ¿Y cuáles mínimos relativos (“valles”)? SIGUIENTE

Perfil de una etapa de montaña El perfil de una etapa de una carrera ciclista es un ejemplo de repesentación gráfica de una función. Aquí tienes el perfil de una etapa de montaña del Tour de Francia 2007 que transcurre por carreteras francesas y españolas. Francia | España | Francia ¿Cuáles son los máximos relativos (“cumbres de la gráfica”)? ¿Y cuáles mínimos relativos (“valles”)? Los máximos relativos son los puntos en los que se pasa de crecer a decrecer. Son el Col de Larrau, el Col de la Pierre St-Martin y el Col de Marie-Blanche. La meta (Col de l’Aubisque) no es máximo relativo pues no se sabe si más allá de x = 218 la gráfica crece o decrece. SIGUIENTE

Perfil de una etapa de montaña El perfil de una etapa de una carrera ciclista es un ejemplo de repesentación gráfica de una función. Aquí tienes el perfil de una etapa de montaña del Tour de Francia 2007 que transcurre por carreteras francesas y españolas. Francia | España | Francia ¿A qué altitud máxima llega la carrera en España (= máximo absoluto en ese intervalo)? ¿Cuál es la menor altitud (= mínimo absoluto)? SIGUIENTE

Perfil de una etapa de montaña El perfil de una etapa de una carrera ciclista es un ejemplo de repesentación gráfica de una función. Aquí tienes el perfil de una etapa de montaña del Tour de Francia 2007 que transcurre por carreteras francesas y españolas. Francia | España | Francia ¿A qué altitud máxima llega la carrera en España (= máximo absoluto en ese intervalo)? ¿Cuál es la menor altitud (= mínimo absoluto)? El máximo absoluto en ese intervalo es 1.760 m alcanzado en x = 132. El mínimo absoluto es 813 m, alcanzado en x = 105. SIGUIENTE

Perfil de una etapa de montaña El perfil de una etapa de una carrera ciclista es un ejemplo de repesentación gráfica de una función. Aquí tienes el perfil de una etapa de montaña del Tour de Francia 2007 que transcurre por carreteras francesas y españolas. Francia | España | Francia ¿Para qué valores de x la carretera está exactamente a 1.000 m de altitud? SIGUIENTE

Perfil de una etapa de montaña El perfil de una etapa de una carrera ciclista es un ejemplo de repesentación gráfica de una función. Aquí tienes el perfil de una etapa de montaña del Tour de Francia 2007 que transcurre por carreteras francesas y españolas. Francia | España | Francia ¿Para qué valores de x la carretera está exactamente a 1.000 m de altitud? Basta con superponer una línea a la altura 1.000 para hallar los puntos donde la carrera está a exactamente 1.000 m. Hay exactamente 7 puntos. SIGUIENTE

Perfil de una etapa de montaña El Campeonato del Mundo de ciclismo se celebra en una única etapa en un circuito cerrado que se recorre varias veces. Supón que se recorre 5 veces el circuito de la figura. ¿Puedes elaborar el perfil de la prueba concreta? SIGUIENTE

Perfil de una etapa de montaña El Campeonato del Mundo de ciclismo se celebra en una única etapa en un circuito cerrado que se recorre varias veces. Supón que se recorre 5 veces el circuito de la figura. ¿Puedes elaborar el perfil de la prueba concreta? Reduciendo la escala apropiadamente, tenemos: Es una representación periódica, pues se repite en horizontal la gráfica original.

Gráficas lineales En muchas situaciones reales, aparecen funciones afines cuyas gráficas son líneas rectas. Una compañía eléctrica tiene dos tarifas a elección de sus usuarios. En la tarifa A, se cobra una cantidad fija de 14 € y 0,18 € por cada kilovatio hora (kWh) de consumo. En la tarifa B, la cantidad fija es de 23 € y el precio de cada kWh consumido es de 0,12 €. a) Calcula el importe a pagar por consumos de 50, 100, 200 y 300 kWh con cada tarifa. b) Expresa las funciones f(x) y g(x) que relacionan el consumo, x, con el importe de la factura en cada tarifa. c) Represéntalas sobre los mismos ejes de coordenadas. d) ¿Para qué consumos es más conveniente la tarifa A y para cuáles la tarifa B? SIGUIENTE

Gráficas lineales En muchas situaciones reales, aparecen funciones afines cuyas gráficas son líneas rectas. Una compañía eléctrica tiene dos tarifas a elección de sus usuarios. En la tarifa A, se cobra una cantidad fija de 14 € y 0,18 € por cada kilovatio hora (kWh) de consumo. En la tarifa B, la cantidad fija es de 23 € y el precio de cada kWh consumido es de 0,12 €. a) Calcula el importe a pagar por consumos de 50, 100, 200 y 300 kWh con cada tarifa. SIGUIENTE

Gráficas lineales En muchas situaciones reales, aparecen funciones afines cuyas gráficas son líneas rectas. Una compañía eléctrica tiene dos tarifas a elección de sus usuarios. En la tarifa A, se cobra una cantidad fija de 14 € y 0,18 € por cada kilovatio hora (kWh) de consumo. En la tarifa B, la cantidad fija es de 23 € y el precio de cada kWh consumido es de 0,12 €. a) Calcula el importe a pagar por consumos de 50, 100, 200 y 300 kWh con cada tarifa. Para la tarifa A, los importes respectivos son: 14 + 0,18 · 50 = 23 €, 14 + 0,18 · 100 = 32 €, 14 + 0,18 · 200 = 50 € y 14 + 0,18 · 300 = 68 €. Para la tarifa B, 23 + 0,12 · 50 =29 €, 23 + 0,12 · 100 = 35 €, 23 + 0,12 · 200 = 45 €; 23 + 0,12 · 300 = 59 €. SIGUIENTE

Gráficas lineales En muchas situaciones reales, aparecen funciones afines cuyas gráficas son líneas rectas. Una compañía eléctrica tiene dos tarifas a elección de sus usuarios. En la tarifa A, se cobra una cantidad fija de 14 € y 0,18 € por cada kilovatio hora (kWh) de consumo. En la tarifa B, la cantidad fija es de 23 € y el precio de cada kWh consumido es de 0,12 €. b) Expresa las funciones f(x) y g(x) que relacionan el consumo, x, con el importe de la factura en cada tarifa. SIGUIENTE

Gráficas lineales En muchas situaciones reales, aparecen funciones afines cuyas gráficas son líneas rectas. Una compañía eléctrica tiene dos tarifas a elección de sus usuarios. En la tarifa A, se cobra una cantidad fija de 14 € y 0,18 € por cada kilovatio hora (kWh) de consumo. En la tarifa B, la cantidad fija es de 23 € y el precio de cada kWh consumido es de 0,12 €. b) Expresa las funciones f(x) y g(x) que relacionan el consumo, x, con el importe de la factura en cada tarifa. b) Para la tarifa A, f(x) = 14 + 0,18 x. Para la B, g(x) = 23 + 0,12 x. SIGUIENTE

Gráficas lineales En muchas situaciones reales, aparecen funciones afines cuyas gráficas son líneas rectas. Una compañía eléctrica tiene dos tarifas a elección de sus usuarios. En la tarifa A, se cobra una cantidad fija de 14 € y 0,18 € por cada kilovatio hora (kWh) de consumo. En la tarifa B, la cantidad fija es de 23 € y el precio de cada kWh consumido es de 0,12 €. c) Represéntalas sobre los mismos ejes de coordenadas. SIGUIENTE

Gráficas lineales En muchas situaciones reales, aparecen funciones afines cuyas gráficas son líneas rectas. Una compañía eléctrica tiene dos tarifas a elección de sus usuarios. En la tarifa A, se cobra una cantidad fija de 14 € y 0,18 € por cada kilovatio hora (kWh) de consumo. En la tarifa B, la cantidad fija es de 23 € y el precio de cada kWh consumido es de 0,12 €. c) Represéntalas sobre los mismos ejes de coordenadas. c) El punto de encuentro de las dos gráficas es la solución del sistema formado por las ecuaciones: y = 14 + 0,18 x , y = 23 + 0,12 x cuya solución es x = 150, y = 41. SIGUIENTE

Gráficas lineales En muchas situaciones reales, aparecen funciones afines cuyas gráficas son líneas rectas. Una compañía eléctrica tiene dos tarifas a elección de sus usuarios. En la tarifa A, se cobra una cantidad fija de 14 € y 0,18 € por cada kilovatio hora (kWh) de consumo. En la tarifa B, la cantidad fija es de 23 € y el precio de cada kWh consumido es de 0,12 €. d) ¿Para qué consumos es más conveniente la tarifa A y para cuáles la tarifa B? d) A la vista de la gráfica, es claro que, para el consumidor, es preferible la tarifa A para consumos inferiores a 150 kWh y la tarifa B para consumo superiores a ese consumo.

Función dada por una tabla En la tabla adjunta se dan las horas de la salida y puesta del Sol, tomadas cada 15 días a partir del 1 de enero y hasta el 30 de julio, referido a las coordenadas de Madrid. Si deseas usar los datos de tu pueblo o ciudad, puedes extraerlo en Internet de páginas como www.jgiesen.de/SME/index.htm . A partir de esta tabla, obtén las gráficas de: a) La hora de salida del Sol según la fecha del año, en el periodo citado. b) La hora de puesta de Sol en el mismo periodo. c) La duración del día en ese periodo. Fecha Salida del Sol Puesta del Sol Horas de luz solar 1 Enero, 1 08:38 17:59 09:21 2 “ , 16 08:35 18:14 09:39 3 “ , 31 08:25 18:32 10:07 4 Febrero, 15 08:09 18:50 10:41 5 Marzo, 2 07:48 19:07 11:19 6 “ , 17 07:24 19:23 11:59 7 Abril, 1 06:59 19:39 12:40 8 “ , 16 06:35 19:54 13:19 9 Mayo, 1 06:14 20:10 13:56 10 05:58 20:25 14:27 11 “ , 31 05:47 20:38 14:51 12 Junio, 15 05:44 20:47 15:03 13 “ , 30 20:49 15:02 14 Julio , 15 05:57 20:44 14:47 15 06:10 20:32 14:22 SIGUIENTE

Función dada por una tabla A partir de esta tabla, obtén las gráficas de: a) La hora de salida del Sol según la fecha del año, en el periodo citado. Si llevas los datos de la tabla sobre unos ejes y unes los puntos con líneas rectas (que es correcto para completar la gráfica en los días intermedios) se tiene: X Fecha Salida del Sol y 1 Enero, 1 08:38 2 “ , 16 08:35 3 “ , 31 08:25 4 Febrero, 15 08:09 5 Marzo, 2 07:48 6 “ , 17 07:24 7 Abril, 1 06:59 8 “ , 16 06:35 9 Mayo, 1 06:14 10 05:58 11 “ , 31 05:47 12 Junio, 15 05:44 13 “ , 30 14 Julio , 15 05:57 15 06:10 SIGUIENTE

Función dada por una tabla A partir de esta tabla, obtén la gráfica de: b) La hora de puesta de Sol en el mismo periodo. Se han realizado las dos gráficas sobre el mismo sistema de coordenadas: X Fecha Puesta del Sol y 1 Enero, 1 17:59 2 “ , 16 18:14 3 “ , 31 18:32 4 Febrero, 15 18:50 5 Marzo, 2 19:07 6 “ , 17 19:23 7 Abril, 1 19:39 8 “ , 16 19:54 9 Mayo, 1 20:10 10 20:25 11 “ , 31 20:38 12 Junio, 15 20:47 13 “ , 30 20:49 14 Julio , 15 20:44 15 20:32 SIGUIENTE

Función dada por una tabla A partir de esta tabla, obtén la gráfica de: c) La duración del día en ese periodo. La gráfica resultante es: Fecha Horas de luz solar 1 Enero, 1 09:21 2 “ , 16 09:39 3 “ , 31 10:07 4 Febrero, 15 10:41 5 Marzo, 2 11:19 6 “ , 17 11:59 7 Abril, 1 12:40 8 “ , 16 13:19 9 Mayo, 1 13:56 10 14:27 11 “ , 31 14:51 12 Junio, 15 15:03 13 “ , 30 15:02 14 Julio , 15 14:47 15 14:22 Puedes ampliar las tres gráficas a todo el año y tomar los datos de tu localidad de residencia.

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Actividad: La función lineal Dirección: http://www.santillana.cl/matematica/escenas/unidad4aa.htm En Santillana-Chile elaboran, mediante el programa Microsoft Excel, una actividad sobre una función de la vida cotidiana Para conocerlo, sigue este enlace.