Planteo de Problemas de Programación Lineal EII-405 Investigación de operaciones

Modelo General de Programación Lineal MAX z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn s.a. a11x1 + a12x2 +... + a1nxn  b1 a21x1 + a22x2 +... + a2nxn  b2 a31x1 + a32x2 +... + a3nxn  b3 ... am1x1 + am2x2 +... + amnxn  bm xj  0 con j:1.. n EII-405 Investigación de operaciones

Algunas Modificaciones al Modelo General 1 Restricciones de mayor o igual ( >= ) 2 Restricciones de igualdad ( = ) 3 Función objetivo : minimizar (MIN Z) EII-405 Investigación de operaciones

Necesidad nutricional Ejemplo 1 Problema de la dieta. Se requiere determinar la dieta que entregue un costo mínimo en base a los alimentos indicados, y que cumpla con los requerimientos nutricionales establecidos en la tabla. Los aportes nuticionales y costo de los alimentos son: Leche (Lts) Legumbre (1 porción) Naranjas (unid.) Necesidad nutricional Niacina (mg) 3.2 4.9 0.8 13.0 Tianina (mg) 1.1 1.3 0.2 1.5 Vit. C (mg) 32.0 0.0 28.0 45.0 Costo (M$) 2 0.25 EII-405 Investigación de operaciones

EII-405 Investigación de operaciones Ejemplo 1 Variables de decisión: x: Litros de leche utilizados en la dieta. y: Porciones de legumbre utilizados en la dieta. z: Unidades de naranjas utilizados en la dieta. Función objetivo: Minimizar el costo total de la dieta, dado por F = 2 x + 0.2 y + 0.25 z EII-405 Investigación de operaciones

EII-405 Investigación de operaciones Ejemplo 1 Restricciones del problema: 3.2 x + 4.9 y + 0.8 z  13.0 (Req. de Niacina) 1.1 x + 1.3 y + 0.2 z  1.5 (Req. de Tiamina) 32.0 x + 28.0 z  45.0 (Req. de Vitamina C) x, y, z  0 EII-405 Investigación de operaciones

EII-405 Investigación de operaciones Ejemplo 2 Problema de transporte. El problema consiste en decidir cuántas unidades trasladar desde ciertos puntos de origen (plantas, ciudades, etc.) a ciertos puntos de destino (centros de distribución, ciudades, etc.), de modo de minimizar los costos de transporte, dada la oferta y demanda en dichos puntos. Supongamos que una empresa posee 2 plantas que elaboran un determinado producto en cantidades de 250 y 450 unidades respectivamente. Dichas unidades deben ser trasladadas a 3 centros de distribución, con demandas de 200, 200, y 250 unidades respectivamente. Los costos unitarios de transporte son: EII-405 Investigación de operaciones

EII-405 Investigación de operaciones Ejemplo 2 C.D. 1 ($/Unid.) C.D. 2 C.D. 3 Planta 1 21 25 15 Planta 2 28 13 19 Planta 1 Planta 2 C.D. 1 C.D. 2 C.D. 3 21 28 25 13 15 19 x11 x12 x13 x21 x22 x23 EII-405 Investigación de operaciones

EII-405 Investigación de operaciones Ejemplo 2 Variables de decisión: xij: unidades transportadas desde la planta i hasta el centro de distribución j con: i=1,2 j=1,2,3 Función objetivo: Minimizar el costo de transporte. F= 21 x11 + 25 x12 + 15 x13 + 28 x21 + 13 x22 + 19 x23 EII-405 Investigación de operaciones

EII-405 Investigación de operaciones Ejemplo 2 Restricciones de demanda. x11 + x21 = 200 (C.D. 1) x12 + x22 = 200 (C.D. 2) x13 + x23 = 250 (C.D. 3) Restricciones de oferta. x11 + x12 + x13  250 (Planta 1) x21 + x22 + x23  450 (Planta 2) Restricción de no negatividad. xij  0 (enteros) EII-405 Investigación de operaciones

EII-405 Investigación de operaciones Ejemplo 3 Problema de selección de procesos y elaboración de productos. Consideremos un problema que consiste en la elaboración de 3 productos, que pueden ser elaborados de maneras distintas, haciendo uso de ciertas máquinas y ciertas capacidades máximas de utilización. Los parámetros del modelo son: Prod. 1 Prod. 2 Prod. 3 Cap. Máx. (hrs.) a b Máq. A 2 3 100 Máq. B 4 7 1 200 250 Máq. C 6 5 9 EII-405 Investigación de operaciones

EII-405 Investigación de operaciones Ejemplo 3 El problema consiste en determinar cuántas unidades elaborar de cada producto, en cada proceso, considerando beneficios netos de M$4, M$3 y M$6 para los productos 1, 2, y 3 respectivamente. Se supone que todo lo que se fabrica se va a vender. Variables de decisión: x1a: unidades elaboradas del producto 1 en el proceso a. x1b: unidades elaboradas del producto 1 en el proceso b. x2 : unidades elaboradas del producto 2. x3a: unidades elaboradas del producto 3 en el proceso a. x3b: unidades elaboradas del producto 3 en el proceso b. EII-405 Investigación de operaciones

EII-405 Investigación de operaciones Ejemplo 3 Función objetivo: Maximizar los beneficios totales. F= 4( x1a + x1b ) + 3 x2 + 6 ( x3a + x3b ) Restricciones del problema: Restricciones de capacidad máxima. 2 x1a + 2 x2 + 3 x3a + 2 x3b  100 (Máq. A) 4 x1b + 7 x2 + 2 x3a + x3b  200 (Máq. B) 6 x1a + 5 x1b + x2 + 5 x3a + 9 x3b  100 (Máq. C) x1a , x1b , x2 , x3a , x3b  0 EII-405 Investigación de operaciones

Nº requerido de agentes Ejemplo 4 Planificación de turnos. Una aerolínea tiene abierta una oficina de reservas telefónicas las 24 hrs. del día, todos los días, y el número de agentes necesarios en cada uno de los siguientes horarios son: Períodos Nº requerido de agentes 12 am - 4 am 11 4 am - 8 am 15 8 am - 12 pm 31 12 pm - 4 pm 17 4 pm - 8 pm 25 8 pm - 12 am 19 EII-405 Investigación de operaciones

EII-405 Investigación de operaciones Ejemplo 4 Se sabe que los agentes hacen turnos de 8 horas consecutivas, y en todos los peridos (cada 4 horas) pueden ingresar personas a un nuevo turno. La empresa desea conocer el mínimo número de personas a contratar en cada turno que permita cumplir con el número de agentes requerido en cada periodo. EII-405 Investigación de operaciones

EII-405 Investigación de operaciones Ejemplo 4 Requerimiento 11 15 31 17 25 19 Horas 0 4 8 12 16 20 24 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X6 EII-405 Investigación de operaciones

EII-405 Investigación de operaciones Ejemplo 4 Variables de decisión: xi: Nº de turnos requeridos al inicio del período i. Función objetivo: Minimizar los turnos requeridos. F= x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 EII-405 Investigación de operaciones

EII-405 Investigación de operaciones Ejemplo 4 Restricciones del problema: x1 + x2  15 x2 + x3  31 x3 + x4  17 x4 + x5  25 x5 + x6  19 x6 + x1  11 xi  0 (entero) EII-405 Investigación de operaciones

EII-405 Investigación de operaciones Ejemplo 5 Problema de producción con etapas en serie En una planta se fabrican los productos R y T. Para fabricar estos productos se deben realizar las etapas de colado, maquinado y ensamble. Para el colado del producto T se usan 2 kgs del material K, y el colado de producto R puede obtenerse con 4 kgs de material L, o con 6 kgs de material K. Se dispone de 2.000 kgs de material L y 10.000 kgs de material K. El material L cuesta $10 por kg, y el material K cuesta $20 el kg. El departamento de colado puede colar 3.000 unidades de producto (R o T). En el area de maquinado se dispone de 200 horas-máquina (h-m). El maquinado del producto T requiere 6 minutos de maquinado por unidad, y el producto R requiere 8 minutos si fue colado con L, y 10 minutos si fue colado con K. EII-405 Investigación de operaciones

EII-405 Investigación de operaciones Ejemplo 5 El departamento de ensamble puede armar un total de 6.000 unidades de producto (R o T). Los costos variables de colado son de $1 por unidad, y los de maquinado son de $ 0,2 por minuto, para ambos productos. Los costos variables de ensamble son despreciables. El producto R se vende a $10 la unidad, y el producto T a $ 12 la unidad. Además, para el producto T existe la posibilidad de comprar la pieza ya colada a una planta externa, a un costo de $6 por unidad. Determine el programa de producción que máximiza los ingresos y minimiza los costos, si se sabe que existe una gran demanda de estos productos, por lo cual se venderá todo lo producido. EII-405 Investigación de operaciones

EII-405 Investigación de operaciones Ejemplo 5 T R COLADO MAQUINADO ENSAMBLE L K T (colado) EII-405 Investigación de operaciones

EII-405 Investigación de operaciones Ejemplo 5 Disponibilidad de materiales y capacidad de procesos: RK RL T TC Capacidad Mat K 6 -- 2 -- 10.000 (kgs) Mat L -- 4 -- -- 2.000 (kgs) Colado 1 1 1 -- 3.000 (unidades) Maquinado 10 8 6 6 12.000 (minutos) Ensamble 1 1 1 1 6.000 (unidades) Costo de comprar T ya colado : 6 $/unid EII-405 Investigación de operaciones

EII-405 Investigación de operaciones Ejemplo 5 Costo de materiales y costo variable procesos: Mat K 20 $/kgs Mat L 10 $/kgs Colado 1 $/unid Maquinado 0,2 $/min Ensamble -- $/unid Precio de venta T : 12 $/unid Precio de venta R : 10 $/unid EII-405 Investigación de operaciones

EII-405 Investigación de operaciones Ejemplo 5 Variables de decisión: RK : unidades producidas de R con material K RL : unidades producidas de R con material L T : unidades producidas de T con material K RC : unidades producidas de T con colado comprado RK, RL, T, TC >=0 Nota : Unidades producidas son iguales a las unidades vendidas, porque existe alta demanda EII-405 Investigación de operaciones

EII-405 Investigación de operaciones Ejemplo 5 Función objetivo: MAX (ingresos por venta - costo de materiales - costos variables - compra T ya colado) Ingresos por venta = 10 (RK + RL) + 12 (T + TC) Costo materiales = 20 (6 RK + 2 T) + 10 ( 4 RL) Costo variable = 1 (RK + RL + T) + 0,2 (10 RK + 8 RL + 6 T +6 TC) Costo compra T ya colado = 6 T EII-405 Investigación de operaciones

EII-405 Investigación de operaciones Ejemplo 5 Restricciones de materiales: 6 RK + 2 T <= 10.000 (material K) 4 RL <= 2.000 (material L) Restricciones de procesos: RK + RL + T <= 3.000 (colado) 10 RK + 8 RL + 6 T + 6 TC <= 12.000 (maquinado) RK + RL + T + TC <= 6.000 (ensamble) EII-405 Investigación de operaciones

EII-405 Investigación de operaciones Ejemplo 6 Problema de producción con minimización de pérdidas Se dispone de 20 toneladas de duraznos que pueden ser usados para fabricar mermelada o envasarlos en conserva. Para fabricar una tonelada de mermelada se requiere 0,6 ton de duraznos, y para envasar 1.000 frascos se requiere 0,5 ton de duraznos. Además, para una tonelada de mermelada se necesita 0,4 ton de azucar, y se requiere un frasco por cada unidad envasada (se asume que no hay pérdidas de frascos). Actualmente se dispone de 5 toneladas de azúcar y 40.000 frascos. EII-405 Investigación de operaciones

EII-405 Investigación de operaciones Ejemplo 6 Se sabe que cada tonelada de mermelada producida genera una utilidad de M$ 500, y por cada frasco se obtiene una utilidad de $250. Además, los duraznos que no se alcancen a procesar por falta de insumos (azucar o frascos) se pierden, y se sabe que el costo de cada tonelada de durazno perdida es de M$ 70. Se pide determinar la cantidad de mermelada y conservas a producir, de manera que se obtenga la máxima utilidad, después de descontar el costo de la fruta perdida. EII-405 Investigación de operaciones

EII-405 Investigación de operaciones Ejemplo 6 Variables de decisión: M : toneladas de mermelada producida C : miles de frascos de conserva envasados M, C >= 0 EII-405 Investigación de operaciones

EII-405 Investigación de operaciones Ejemplo 6 Función objetivo: MAX Utilidades de mermelada y conservas producidos -- Costos por pérdida de fruta Utilidades por mermelada = 500.000 M Utilidades por conservas = 250.000 C Costo por fruta perdida = 70.000 x Toneladas perdidas Toneladas perdidas = Ton totales - ton procesadas (merm y cons) = 20 - ( 0,6 M + C/2 ) EII-405 Investigación de operaciones

EII-405 Investigación de operaciones Ejemplo 6 Función objetivo: MAX 500.000 M + 250.000 C - 70.000 x (20 - ( 0,6 M + C/2 ) MAX 500.000 M + 250.000 C - 140.000 + 42.000 M + 35.000 C MAX 542.000 M + 285.000 C - 140.000 EII-405 Investigación de operaciones

EII-405 Investigación de operaciones Ejemplo 6 Restricciones de disponibilidad de insumos: 0,6 M + C/2 <= 20 (tons de duraznos) 0,4 M <= 5 (tons de azúcar) C <= 40 (miles de frascos) EII-405 Investigación de operaciones