UNIDAD 4 E STRUCTURAS ALGEBRAICAS TERCERA PARTE M.C. Meliza Contreras González

O PERACIÓN B INARIA (L EY DE COMPOSICIÓN INTERNA ) Sea S un conjunto y  : SxS  S se dice que es una operación binaria. La imagen de cualquier par (a,b) bajo la operación  se representa como a  b. En otras palabras dado un conjunto no vacío S y el producto cartesiano de S x S,  es una función de modo que a cada par ordenado (a,b) le hace corresponder un único elemento de S simbolizado por a  b.

E JEMPLO En el conjunto de los naturales N, la suma (*) es una operación interna ya que todo par ordenado (a,b) se le asigna otro valor, el cual también pertenece a los naturales N. Ejemplo: Si fuera la operación *(4,6)  4 * 6 = 10 *(6,8)  6 * 8 = 14

E JEMPLO DE OPERACIONES NO BINARIAS  Sea el conjunto S = {1, 2, 3} y la operación * definida como la suma de a mas b menos 1. Hay algunos espacios vacíos porque el resultado es un elemento que no pertenece al conjunto dado, por lo que se concluye que * no es una operación binaria en S.

P ROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BINARIAS Cerrada Conmutativa Asociativa Elemento identidad

C ERRADA Si * es una operación binaria sobre S y A es subconjunto de S. Entonces el subconjunto A es cerrado con respecto a la operación binaria *, si y sólo si, para todo x, y que pertenece a A, x * y pertenece a A. Ejemplo: Tomando en cuenta que el conjunto de los números enteros Z es un subconjunto de los números reales R. La suma (*) es una operación interna ya que todo par ordenado (a,b) se le puede asignar otro valor, el cual también pertenece a los números enteros Z. Así *(2,4)  2 * 4 = 6 *(6,-5)  6 * -5 = 1

C ONMUTATIVA Si * es una operación binaria sobre S. Entonces * es conmutativa, si y sólo si, para todo x, y que pertenece a S, x * y = y * x. Ejemplo: Sea el conjunto S = {A, B, C} y la operación * definida como conmutativa, si lo cumple.  ABC AABC BBAB CCBA

A SOCIATIVA Si * es una operación binaria sobre S. Entonces * es asociativa, si y sólo si, para todo x, y, z que pertenece a S, x * (y * z) = (x * y) * z Ejemplo: Sea el conjunto S = los números pares y la operación * producto definida como asociativa, si lo cumple pues: 2*(10*4)=(2*10)*4

E LEMENTO I DENTIDAD Si * es una operación binaria sobre S y e pertenece a S. Entonces e es llamado elemento identidad con respecto a *, si y sólo si, para todo x que pertenece a S, x * e = e * x = x. Ejemplo: Sea el conjunto de los enteros y el operador suma, el cero es su elemento identidad dado que para cualquier x  Z x*0=0*x=x.

E STRUCTURAS A LGEBRAICAS Una estructura algebraica es una n-tupla (a 1,a 2,...,a n ), donde a 1 es un conjunto dado no vacío, y {a 2,...,a n } un conjunto de operaciones aplicables a los elementos de dicho conjunto.

T IPOS DE ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS Semigrupo Grupo Anillo

T ABLA DE DEFINICIONES PARA ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS AsociativaInvertibleConmutativaIdentidadDistributivaNombre Semigrupo Grupo Grupo Abeliano ** ***  sobre *Anillo (*,  )

S EMIGRUPO Sea S un conjunto y  : SxS  S se dice que es un semigrupo si la operación binaria es asociativa. Ejemplo Función máximo(a,b) esto se cumple pues Para todo a, b, c  R a * (b * c) = (a * b) * c máx {máx {a,b}, c} = máx {a, máx {b,c}}

E STRUCTURA ALGEBRAICA INVERTIBLE Sea S un conjunto y  : SxS  S tiene elemento identidad e y x  S entonces x es invertible si y solo si existe y  S tal que x  y=y  x=e.

G RUPO Sea S un conjunto y  : SxS  S se dice que es un Grupo si la operación binaria es asociativa, tiene elemento identidad y cada elemento de S es invertible. Ejemplo: Sea S={1,a,b}, el 1 es el elemento identidad Si un grupo además cumple la conmutativa se le llama abeliano.  1ab 11ab aab1 bb1a

A NILLO Sea S un conjunto y *,  : SxS  S dos operaciones binarias, la terna (S, ,*) tiene estructura de anillo si y sólo si * es asociativa, tiene elemento identidad, todo elemento de S es invertible respecto a * y es conmutativa (grupo abeliano).  es asociativa (semigrupo)  se distribuye sobre *, es decir a  (b * c ) = ( a  b ) * (a  c ) y (b * c )  a = (b  a ) * ( c  a ). Ejemplo Sea S=Z con las operaciones habituales de suma y multiplicación conforman un anillo es decir (S,mult,suma).