U NIDAD 3 R ETÍCULOS, PARTICIONES Y CONGRUENCIAS M.C. Meliza Contreras González
P ARTICIONES Sea X un conjunto no vacío. Se denomina partición de X a una familia X i con i I de subconjuntos no vacíos de X, tales que: X es la unión de los conjuntos X i X = i I X i Cada par X i,X j con i j son disjuntos (es decir X i X j = Ø ) Es decir, cada elemento de X pertenece a uno y sólo a uno de los X i.
E JEMPLOS DE PARTICIONES Sea X = {1, 2,..., 10}. Son particiones de X : X 1 = {1, 2, 3, 4, 5}, X 2 = {6, 7, 8, 9, 10} X 1 = {2, 4, 6}, X 2 = {8, 10}, X 3 = {1, 3}, X 4 = {5, 7, 9} X i = {2i − 1, 2i}, i {1, 2, 3, 4, 5}
E JEMPLOS DE PARTICIONES
P ARTICIONES Y RELACIONES DE EQUIVALENCIA Sea H el conjunto formado por todos los seres humanos. Considere una relación R definida en H de la siguiente manera: Si x e y pertenecen a H, se dice que "x está en relación con y sí y sólo sí x es compatriota de y". R = {(x, y) / x, y H "x es compatriota de y"}.
P ARTICIONES Y RELACIONES DE EQUIVALENCIA se denota por el conjunto formado por los compatriotas de a, es decir: = {x H / x R a}. está formado por la población del país del cual es nativo a. Por ejemplo, si a es colombiano, = {x H / x es colombiano}. Al individuo se le llama un "representante del conjunto a". Cualquier colombiano puede ser un representante. Eligiendo los diferentes representantes se obtiene la división de la humanidad en países, y esto es una partición
CONGRUENCIAS Sean a y b enteros y n un número fijo positivo. En Z (conjunto de los enteros) se define una relación de la siguiente manera: Se dice que a es congruente con b módulo n y se escribe, a b (mod n) sí y sólo sí n| (a - b), es decir, a - b = kn con k Z. En tal caso, el par (a, b) pertenece a la relación. Esta relación se llama congruencia módulo n. R n = {(x, y) / x y mod n, x, y Z } Ejemplos: 63 0 mod 3 porque 3| (63-0) 7 -1 mod 8 porque 8| (7-(-1)) 27 2 mod 5 porque 5| (27-2)