ECUACIONES DE FRESNEL Óptica Estos problemas proceden de cuadernillos y exámenes de años anteriores. Las soluciones presentadas aquí se basan en los enunciados resueltos por los profesores de la sede central Carmen Carreras y Manuel Yuste

Factor de reflexión en incidencia nomal: ver demostración aquí Óptica PROBLEMA 1 (CUADERNILLO 2002-2003, 1º P). Ecuaciones de Fresnel. Un rayo láser, de intensidad I0 = 0.1 W/cm2, incide perpendicularmente sobre una de las paredes laterales de una cubeta paralelepipédica de vidrio transparente. Después de atravesarla sale por la pared opuesta con la intensidad I. Admitiendo por simplicidad que sólo se produce una reflexión en cada una de las caras de las paredes de la cubeta (es decir, despreciando las múltiples reflexiones internas), se pide: 1. Determinar el índice de refracción nv del vidrio respecto del aire (índice del aire na = 1), sabiendo que el valor de la intensidad luminosa de salida con la cubeta vacía es I = 0.08493 W/cm2. 1 2 3 4 2. Si se rellena la cubeta con un líquido de índice de refracción nl < nv, la intensidad de salida vale I = 0.09208 W/cm2. Halle nl. 3. Si se rellena la cubeta con un líquido de índice de refracción nl > nv, la intensidad de salida vale I = 0.09163 W/cm2. Halle nl. Factor de reflexión en incidencia nomal: ver demostración aquí 4. Determine I cuando el índice de refracción del líquido coincide con el del vidrio. 1. El rayo entra perpendicularmente, por lo tanto el factor de reflexión cada vez que atraviesa una interfase es: pues inicialmente la cubeta está vacía y todas las interfases son vidrio/aire Intensidades 1 I0 2 I1 3 I2 4 I3 I4

(iguales al caso anterior ya que las interfases 1 y 4 son aire/vidrio) Óptica PROBLEMA 1 (CUADERNILLO 2002-2003, 1º P). Ecuaciones de Fresnel. Si se rellena la cubeta con un líquido de índice de refracción nl < nv, la intensidad de salida vale I = 0.09208 W/cm2. Halle nl. 2. (iguales al caso anterior ya que las interfases 1 y 4 son aire/vidrio) En este caso los coeficientes de reflexión son: 1 I0 2 I1 3 I2 4 I3 I4 (interfases líquido/vidrio) Intensidades Si se rellena la cubeta con un líquido de índice de refracción nl > nv, la intensidad de salida vale I = 0.09163 W/cm2. Halle nl. 3. En caso de que el índice de refracción del líquido y del vidrio sean iguales, el razonamiento es el mismo que en el apartado anterior, con la única salvedad siguiente: cuando se haya de despejar nl a partir de Rl, debe utilizarse el signo negativo de la raíz cuadrada, pues en caso contrario no se cumple la condición nl > nv . Tomamos el signo negativo

PROBLEMA 1 (CUADERNILLO 2002-2003, 1º P). Ecuaciones de Fresnel. Óptica PROBLEMA 1 (CUADERNILLO 2002-2003, 1º P). Ecuaciones de Fresnel. 4. Determine I cuando el índice de refracción del líquido coincide con el del vidrio. Coeficientes de reflexión para nl = nv: 1 I0 2 I1 3 I2 4 I3 I4 Intensidad

Factor de reflexión en incidencia normal: ver demostración aquí. Óptica PROBLEMA 2 (EX. 1º P, FEBRERO 97, 2ª VUELTA). Ley de Snell y ecuaciones de Fresnel. 90º nl n 1 2 3 I0 I Un haz de luz de intensidad I0 incide sobre un prisma en ángulo recto de vidrio flint denso (n = 1.72 respecto al aire) como se indica en la figura. El haz está polarizado linealmente en la dirección perpendicular al plano de incidencia. Sobre la superficie horizontal del prisma hay un líquido de índice de refracción nl respecto al aire que se quiere determinar. Se pide: 1. Encontrar la expresión de la intensidad I emergente por la cara 3, en función de los factores de reflexión en las caras 1, 2 y 3, que dependen de los índices de refracción n y nl. 2. Sabiendo que I/I0 = 0.127, determinar el índice de refracción nl del líquido. Factor de reflexión en incidencia normal: ver demostración aquí. 3. Si la superficie superior del prisma estuviese en contacto directo con el aire, calcular I/I0. Encontrar la expresión de la intensidad I emergente por la cara 3, en función de los factores de reflexión en las caras 1, 2 y 3, que dependen de los índices de refracción n y nl. 1. 90º nl n r La luz incidente sobre la cara 1 se reflejará y transmitirá en primer lugar en la cara 2; 1 2 3 pero hay que tener en cuenta que cada vez que la luz alcanza una interfase se produce reflexión y refracción, de modo que en las tres caras 1, 2 y 3 habrá que considerar el efecto de las reflexiones múltiples sobre la intensidad que finalmente emerge de la cara 3. i Coeficientes de reflexión: (Incidencia normal) (puesto que i = 45º  sin i = cos i) (Nótese que el ángulo r no es conocido por el momento, ya que depende del índice de refracción del líquido, desconocido por ahora, que tendremos que determinar)

Intensidad que emerge por la cara 3: Óptica PROBLEMA 2 (EX. 1º P, FEBRERO 97, 2ª VUELTA). Ley de Snell y ecuaciones de Fresnel. Luz que entra al prisma: estudio de las reflexiones múltiples. Los coeficientes de reflexión de interés son R (cada vez que hay una reflexión en la cara 1 o en la 3) y R2 (cada vez que hay una reflexión en la cara 2). La intensidad que, procedente de múltiples reflexiones, sale finalmente por la cara 3 se puede obtener siguiendo el esquema siguiente. La intensidad luminosa que sale de la cara 3 tras las múltiples reflexiones producidas es la suma: 1 3 2 Este término es una serie geométrica de razón El primer término es a1 = 1 y la razón r es menor que la unidad, por tanto la suma de los infinitos términos de la serie es: Intensidad que emerge por la cara 3:

Óptica PROBLEMA 2 (EX. 1º P, FEBRERO 97, 2ª VUELTA). Ley de Snell y ecuaciones de Fresnel. 2. Sabiendo que I/I0 = 0.127, determinar el índice de refracción nl del líquido. Valor aceptado Respecto al ángulo r hay dos posibilidades: que al salir el rayo transmitido por la cara 2 se acerque a la normal, cuando (cos r – sin r) > 0, o bien se aleje de la normal, cuando (cos r – sin r) < 0. Caso 1. Se acerca a la normal: obtenemos r y aplicamos ley de Snell Un índice tan elevado es poco realizta Caso 2. Se aleja de la normal: obtenemos r y aplicamos ley de Snell Si la superficie superior del prisma estuviese en contacto directo con el aire, calcular I/I0. 3. Véase que el ángulo de incidencia de 45º es superior al ángulo límite para n = 1.72, por lo que R2 = 1

Óptica PROBLEMA 3 (EX. FEB 03, 2ª V) 1 2 Utilización de las ecuaciones de Fresnel para determinar el índice de refracción de un líquido Se dispone de dos cubetas semicilíndricas, de paredes transparentes y adosadas como se indica en la figura.  I0 1 2 En ellas hay sendos líquidos de índices de refracción respecto del aire n1 y n2. Sobre la cubeta 1 incide radialmente un rayo láser polarizado linealmente y de intensidad I0 = 0.1 W/cm2. O  Fotómetro B Fotómetro A Cuando el rayo está polarizado paralelamente al plano de incidencia, la intensidad IA // medida por el fotómetro A es mínima para  = 50.96º. Se pide: 1. Determine la relación entre los índices de refracción n = n2/n1. 2. Si la intensidad IB // medida por el fotómetro B es 0.0748 W/cm2, determine n1 y n2. 3. Determine e para el mismo valor de  cuando el láser está polarizado perpendicularmente al plano de incidencia. Nota. Desprecie los efectos debidos a las paredes de las cubetas y considere una sola reflexión en los pasos de la luz a través de las superficies de separación líquido-líquido y líquido-aire. Use cuatro cifras decimales para los cálculos numéricos.

Factor de reflexión en incidencia normal: ver demostración aquí. Óptica PROBLEMA 3 (EX. FEB 03, 2ª V) Factor de reflexión en incidencia normal: ver demostración aquí. 1. Determine la relación entre los índices de refracción n = n2/n1. Considerando en todos los casos una sola reflexión, según el enunciado, veamos cuanta luz llega al fotómetro. (Recordemos que el rayo incidente está polarizado paralelamente al plano de incidencia) Del aire a la cubeta 1: el rayo I0 incide normalmente a la superficie, por lo tanto el coeficiente de reflexión es La intensidad del rayo I1 será pues I0  I1 1 2 O Reflexión en el punto O: El ángulo de incidencia es , el de refracción es ; el coeficiente de reflexión será: Intensidad reflejada Ir:  Ir De la cubeta 1 al aire tenemos el rayo IA (incidencia normal) Fotómetro A IA (Las ecuaciones de Fresnel son reversibles, el coeficiente de reflexión del medio 1 al aire es el mismo que si el rayo va a la inversa) Puesto que el coeficiente de reflexión R1 (el que corresponde a incidencia normal) es constante, la intensidad del rayo IA será mínima si R//(O) es mínima  R//(O) es mínima si  +  = 90º Es decir, R//(O) se anula cuando el ángulo de incidencia  es el ángulo de Brewster. Entonces  = 90 -  = 39.04º La relación entre los índices de refracción n = n2/n1 se obtiene aplicando la ley de Snell

Óptica PROBLEMA 3 (EX. FEB 03, 2ª V) 1 2 2. Si la intensidad IB // medida por el fotómetro B es 0.0748 W/cm2, determine n1 y n2. El factor de transmisión de la luz que se refracta se expresa como En nuestro caso i  incidente t  refractado (transmitido) 1 2 O  I0  I1 Ir Fotómetro A IA Recordemos que en las condiciones propuestas en el enunciado (incidencia normal) = 0 It IB Fotómetro B Intensidad que alcanza el fotómetro B: De la relación se obtiene (ya que  = 90-)

PROBLEMA 3 (EX. FEB 03, 2ª V) Óptica Valores numéricos: Resolvemos la ecuación de 2º grado en n1: 3. Determine e para el mismo valor de  cuando el láser está polarizado perpendicularmente al plano de incidencia. Recordemos del apartado 1 que la intensidad que alcanza el fotómetro A es: Siguiendo el mismo razonamiento, la intensidad en el fotómetro A cuando la luz está polarizada perpendicularmente al plano de incidencia será: (ya que  +  = 90º)

Óptica PROBLEMA 3 (EX. FEB 03, 2ª V) 1 2 Fotómetro B El factor de transmisión de la luz que se refracta se expresa como En nuestro caso i  incidente t  refractado (transmitido) Intensidad que alcanza el fotómetro B = 0.0716 W cm-2 1 2 O  I0  I1 Ir Fotómetro A IA Fotómetro B It IB

Óptica ANEXO. COEFICIENTES DE REFLEXIÓN EN INCIDENCIA NORMAL Coeficiente de reflexión perpendicular Coeficiente de reflexión perpendicular Ley de Snell Volver Problema 1 Volver Problema 2 Volver Problema 3 Cuando la incidencia es normal: Cuando i  0 y r  0, el seno y la tangente tienden al mismo límite En incidencia normal