Unidad 1: Lógica, Conjuntos y Clases Cuarta parte M.C. Meliza Contreras González

Teoría axiomática de clases o conjuntos En la Lógica Proposicional: Se considera a los enunciados como unidades atómicas o moleculares que pueden ser V o F. No se concibe a tales enunciados como algo más complejo integrado por un sujeto y un predicado y en donde podrían estudiarse sus relaciones y conexiones. En la Lógica de Clases: Se enfoca el asunto de un modo diferente: en un enunciado en donde exista un Sujeto y un Predicado, por ejemplo: Pinocho era de madera Se estaría señalando, no tanto un atributo del sujeto, sino la pertenencia del sujeto a una determinada clase. En este caso, se estaría señalando la pertenencia de Pinocho a la clase de los hombres de madera.

Teoría axiomática de las clases o conjuntos Una Clase es un conjunto de individuos que tienen, al menos, una propiedad común, que es la de pertenecer a una determinada Clase. En definitiva, dada una propiedad cualquiera, por ejemplo, la propiedad de ser marxista-leninista o dios egipcio, es evidente que pertenecerían a cada una de estas clases [conjuntos o colecciones] todas aquellas entidades que reúnan tales propiedades. De este modo, surgiría el conjunto o clase de los marxistas leninistas, o de los dioses egipcios. El símbolo de pertenencia a una clase es : En este sentido [ x  A ] lo deberíamos leer como: "x pertenece a la clase A"

Fundadores de la teoría de conjuntos Matemático Alemán creador de la teoría de conjuntos Georg Cantor Matemático y filósofo británico creador de los diagramas de Venn John Venn Matemático ingles creador de leyes que llevan su nombre dentro del álgebra de la lógica August De Morgan

Concepto de conjuntos Un conjunto es una colección bien definida de objetos llamados elementos o miembros del conjunto. Para que una colección de objetos se considere como un conjunto no debe haber ambigüedad ni subjetividad. CONJUNTOS NO SON CONJUNTOS La colección de pizarrones azules El grupo de los mejores maestros de computación El grupo de alemanes entre 20 y 30 años El grupo de alumnas más inteligentes de la Facultad de Ciencias de la Computación

Notación sobre conjuntos Los conjuntos se indican por medio de letras mayúsculas y los elementos con letras minúsculas, números o combinación de ambos, estos elementos se colocan entre llaves { }, además el orden no es importante. B = {n, r, i, m , d} Pertenencia: Se dice que un elemento x pertenece a un conjunto C si se verifica que el elemento se encuentra en el conjunto. x  C x  C Notación abstracta: A = {x | P(x) } Se lee “A es el conjunto de las x, tal que cumple la condición P(x)”

Subconjuntos Si todos los elementos de A también son elementos de B, se dice que A es subconjunto de B o que A está contenido en B, y se denota como: A  B Igualdad de conjuntos: Se dice que dos conjuntos Ay B son iguales si tienen los mismos elementos, es decir: A  B B  A B={2,3,5,11,12,15,21,30,45,82} A= {x|x Z; 10≤ x ≤ 100} C={12,15,45} C  B A  B C  A A  C B  A B  C

Operaciones sobre Subconjuntos Todo conjunto A es un subconjunto de si mismo A  A El conjunto vacio () es subconjunto de todos los conjuntos y en particular de él mismo:   A   U    3) Todos los conjuntos son subconjuntos del conjunto universo (U): A  U U  U

Diagramas de Venn Son representaciones gráficas para mostrar la relación entre los elementos de los conjuntos. Por lo general cada conjunto se representa por medio de un circulo, óvalo o rectángulo. U C A B Algunas afirmaciones de este diagrama son: A  U C  U B  U B  C C  B U  C A  C B  A U  B

Unión ( A  B) La unión del conjunto A y el conjunto B es el conjunto que contiene a todos los elementos del conjunto A y del conjunto B: AB = {x | x  A ó x  B} A A B U A  B La unión cumple las siguientes leyes Ley conmutativa AB = BA Ley de idempotencia AA = A Unión con el universo AU = U

Ejemplo de la Unión de conjuntos Sean los conjuntos: A = {1,2,3,6,7,8} B= {x | x  Z+ ; x ≤ 12; x es par} Z + es el conjunto de los números enteros positivos Z + = {0,1,2,3,4,5,…} Entonces A  B = {0,1,2,3,4,6,7,8,10,12}

Intersección ( A  B) La intersección del conjunto A y el conjunto B es el conjunto que contiene a todos los elementos que son comunes a los conjuntos A y B: A  B = {x | x  A ; x  B} U Si A y B son disjuntos A  B =  Si A = B A  B = A  A = A Intersección con el universo A  U = A A   =  Intersección con el vacío La intersección cumple lo siguiente:

Ejemplo de la Intersección de conjuntos Sean los conjuntos: A = {1,2,3,6,7,8} B= {x | x  Z+ ; x ≤ 12; x es par} Z + es el conjunto de los números enteros positivos Z + = {0,1,2,3,4,5,…} Entonces A  B = {2,6,8}

Ley Distributiva Dados tres conjuntos cualquiera A,B y C, se puede ver que se cumple la siguiente ley distributiva en la que intervienen la unión y la intersección de conjuntos: A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) B C A C B A

Complemento El complemento de un conjunto A, que se denota como A’, es el conjunto que contiene a todos los elementos del conjunto universo que no pertenecen al conjunto A: A’ = {x | x U; x  A} U A’ A Propiedades del complemento a) ( A’ )’ = A b) A  A’= U c) A  A’ =  d) U’ =  e) ’ = U

Leyes de Morgan La negación de la intersección de dos o más conjuntos es equivalente a la unión de los conjuntos negados separadamente. (A  B)’= (A’  B’) La negación de la unión de dos o más conjuntos es igual a la intersección de los conjuntos negados por separado. (A  B)’= (A’  B’)

(A  B)’= (A’  B’) Sean los conjuntos: U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} Por una parte tenemos Y por otra parte tenemos A  B = {1,2,3,6,7,9,10} (A  B)’ = {4,5,8} A’ = {2,4,5,8} B’ = {4,5,6,8} A’  B’ = {4,5,8} U A B 4 3 9 10 2 6 5 8

A - B = {x | x A; x  B}=AB’ Diferencia (A-B) La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto que contiene a todos los elementos del conjunto A que no se encuentran en B: A - B = {x | x A; x  B}=AB’ A B A - B Ejemplo: Sean los conjuntos: A= {1,2,3,4,7,9,10} B= {3,4,5,6,7,8} A - B= {1,2,9,10} B - A= {5,6,8}

Diferencia simétrica (A  B) La diferencia simétrica entre los conjuntos A y B es el conjunto que contiene a todos los elementos que se encuentran en AB pero que no están en AB: A  B = {x | (x A y x  B) o (x B y x  A)} A  B Ejemplo: Sean los conjuntos: A= {1,2,3,4,7,9,10} B= {3,4,5,6,7,8} A - B= {1,2,9,10} B - A= {5,6,8} AB = {1,2,5,6,8,9,10}