CRITERIO OBJETIVO EN LA COMPARACION DE CAPITALES FINANCIEROS PRINCIPIO DE COMPARACION DE CAPITALES La comparación de capitales se hace de forma indirecta a través de las proyecciones de las cuantías a un momento arbitrario que denominamos “p”. Para un punto p y dado un capital (C; t), existe una cuantía “V” tal que el capital (C; t)  (V; p). Este principio determina el criterio de comparación en que se basa toda la asignatura: Dos capitales (C1;; t1 )  (C2;; t2 ) serán equivalentes cuando se verifique que V1 = V2

CRITERIO OBJETIVO EN LA COMPARACION DE CAPITALES FINANCIEROS Es necesario un criterio objetivo que permita la comparación de capitales a través de su proyección en un momento “p”. Esa proyección se va a realizar a través del concepto de Ley Financiera, por lo que podemos decir que la ley financiera es la expresión matemática de ese criterio objetivo de comparación. DEFINICION DE LEY FINANCIERA Se llama ley financiera a la expresión matemática que permite obtener el capital sustituto en “p” (V; p), de un capital dado (C;t), a través de la siguiente expresión: V=F(C,t,p) La Ley financiera es función de tres variables: la cuantía del capital (C), su vencimiento (t) y el punto de comparación (p), aunque por la aplicación de una de sus propiedades se puede decir que es solo función del vencimiento del capital y el punto de comparación.

EJEMPLO DE LEY FINANCIERA CRITERIO OBJETIVO EN LA COMPARACION NO INMEDIATA DE CAPITALES FINANCIEROS EJEMPLO DE LEY FINANCIERA Sea F(t,p) =1+0,1·(p-t), con el punto p=2. Se pide encontrar el capital sustituto en p del capital (100.000,0). SOLUCIÓN V = 100.000·F(0,2) = 100.000·[1+0,1·(2-0)] = 120.000 LUEGO (100.000,0 )  (120.000,2 )

MAGNITUDES DERIVADAS: FACTOR FINANCIERO Sea L(t,p) =1+0,1·(p-t), con p=2 Encontramos el capital sustituto en p de (100.000,0) M = 100.000 · L(0,2) = 100.000· [1+0,1(2-0)] = 120.000 Calculamos ahora la cuantía (C2,1) equivalente a (100.000,0). Si (C2,1) es equivalente a (100.000,0), entonces tienen el mismo capital sustituto en p, es decir: 100.000·[1+0,1·(2-0)] = C2 ·[1+0,1(2-1)]  C2 = 109.090,9 Al despejar C2 de la anterior ecuación observamos lo siguiente: es decir, que la cuantía del capital equivalente en el momento 1 se obtiene multiplicando la cuantía del capital con vencimiento en 0 por un número (1,090909) que se obtiene como cociente de leyes. Ese cociente es una magnitud derivada que llamamos factor de capitalización (porque trabajamos con la ley financiera de capitalización). Si hubiéramos trabajado con una ley de descuento tendríamos el factor de descuento.

MAGNITUDES DERIVADAS: RÉDITO Se define como el complemento a la unidad del factor, expresado en valor absoluto. En el ejemplo anterior, el rédito sería: 1,090909 -1 = 0,090909 Lo que mide realmente es la variación por unidad de cuantía que experimenta un capital que se traslada a otro momento. El rédito, por tanto, sólo mide la variación por unidad de cuantía (incremento o disminución) sin tener en cuenta el intervalo temporal en el cual se produce dicha variación. POR ESTO EL RÉDITO NO ES UNA BUENA MEDIDA DE RENTABILIDAD O COSTE

MAGNITUDES DERIVADAS: TANTO Se define como el resultado de dividir el rédito entre la amplitud del intervalo considerado. Es decir, a diferencia del rédito, el tanto sería la variación por unidad de cuantía y unidad de tiempo. En el ejemplo que venimos analizando, el tanto sería igual a: El tanto sí es una buena medida de rentabilidad o coste de una operación, ya que mide la variación por unidad de cuantía y tiene en cuenta el intervalo temporal en el que se produce dicha variación. Para comparar alternativas a través de los tantos con el fin de decidir cual de ellas es la más rentable o la menos costosa es preciso comparar tantos homogéneos, esto es, tantos calculados con la misma ley de valoración así como para la misma frecuencia temporal. POR ESTO ES UNA BUENA MEDIDA DE RENTABILIDAD O COSTE

DISTINCION ENTRE LEYES SUMATIVAS Y LEYES MULTIPLICATIVAS Las leyes sumativas son aquellas que NO acumulan intereses, es decir, los intereses que se van generando no se incorporan al capital para a su vez generar nuevos intereses. Por ejemplo, sea la Ley L(z) = [1+0,1·z], con z=p-t  0. El capital (100.000,0) se capitaliza hasta p=1, y se obtiene un montante de 110.000. Es decir, los intereses en este primer tramo ascienden a 10.000 u.m. Al no acumularse los intereses, en el momento 1 volvemos a disponer de un capital de 100.000 u.m que capitalizamos hasta p=2, volviendo a obtener el mismo montante de 110.000 u.m (el mismo capital y durante el mismo período genera el mismo montante). Es decir, los intereses vuelven a ser de 10.000 u.m. Si se proyecta directamente el capital (100.000,0) hasta p=2, se obtiene un montante de 120.000 u.m, es decir, los intereses ascienden a 20.000 u.m, que es justamente la suma de los intereses generados parcialmente. 100.000 110.000 110.000 1 2 120.000 100.000 2

DISTINCION ENTRE LEYES SUMATIVAS Y LEYES MULTIPLICATIVAS Las leyes multiplicativas son aquellas que SÍ acumulan intereses, es decir, los intereses que se van generando parcialmente se incorporan al capital para a su vez generar nuevos intereses. Sea la Ley L(z) = (1+0,1)z , con z= p-t  0. El capital (100.000,0) se capitaliza hasta p=1, y se obtiene un montante de 110.000. A continuación, trasladamos ese capital hasta el momento 2, obteniendo un montante de 121.000 u.m. Es decir, los intereses han ascendido en total a 21.000 u.m. Si ahora capitalizamos el capital (100.000,0) directamente hasta el momento 2, se obtiene un capital de 121.000 u.m, con unos intereses generados de 21.000 u.m, exactamente igual que cuando se realizaba la capitalización en dos fases, con la capitalización de los intereses intermedios. 100.000 110.000 121.000 1 2 121.000 100.000 2

LEYES FINANCIERAS: CAPITALIZACIÓN SIMPLE Definición: Es una ley sumativa (los intereses no generan intereses) y estacionaria y se emplea, sobre todo, para valorar operaciones a corto plazo. Expresión: L(t,p)=1+i·(p-t) con p>t e i>0 / L(z)=1+i·z con z=p-t Montante: M=C·L(z) = C·(1+i·z) Interés: I = M-C = C·(1+i·z) –C = C·i·z Tantos equivalentes: Para que la equivalencia de capitales se mantenga al cambiar la unidad de medida del tiempo (por ejemplo, en vez de trabajar con años trabajamos con meses) es necesario obtener el tipo de interés correspondiente a esa nueva unidad temporal (im) que sea equivalente al tipo de interés anual (i). El proceso de transformación es sencillo a partir de la siguiente igualdad:

LEYES FINANCIERAS: CAPITALIZACIÓN COMPUESTA Definición: Es una ley multiplicativa (los intereses generan intereses) y estacionaria y se emplea, sobre todo, para valorar operaciones a largo plazo. Expresión: L(t,p)=(1+i)p-t con p>t e i>0 / L(z)=(1+i)z con z=p-t Montante: M=C·L(z) = C·(1+i)z Interés: I = M-C = C·(1+i)z-C Tantos equivalentes: Para que la equivalencia de capitales se mantenga al cambiar la unidad de medida del tiempo (por ejemplo, en vez de trabajar con años trabajamos con meses) es necesario obtener el tipo de interés correspondiente a esa nueva unidad temporal (im) que sea equivalente al tipo de interés anual (i). El proceso de transformación se realiza a partir de:

LEYES FINANCIERAS DE CAPITALIZACIÓN: TIPOS DE INTERÉS Los distintos tipos (tantos) de interés que nos podemos encontrar a la hora de valorar operaciones financieras son los siguientes: i = Tipo o tanto de interés anual. im = Tipo o tanto de interés aplicable a una fracción del año (meses, trimestres, semestres, …), donde “m” indica las veces en que se divide el año: meses (m=12), trimestres (m=4), semestres (m=2), … Jm = Tanto nominal de frecuencia m. Es la proyección aritmética anual del correspondiente tipo de interés aplicable a una fracción del año (Jm=m·im). Su validez es meramente informativa.

LEYES FINANCIERAS DE CAPITALIZACIÓN: TANTOS NOMINALES CAPITALIZACIÓN SIMPLE Cuando se trabaja con la capitalización simple no cabe distinguir entre tanto nominal y tipo de interés anual porque al operar con estas leyes los intereses parciales no generan intereses, es decir: i = im·m = J(m). CAPITALIZACIÓN COMPUESTA En cambio, cuando se valora una operación financiera con la capitalización compuesta, hay que distinguir entre el tipo o tanto de interés anual y el tanto nominal de frecuencia m, porque en este caso los intereses generados parcialmente se acumulan al capital inicial para generar a su vez nuevos intereses. De tal forma que siempre se verifica que i > Jm. La relación entre el tanto nominal (Jm) , el tanto aplicable a una fracción del año (im) y el tanto anual (i) es la siguiente:

LEYES FINANCIERAS: DESCUENTO COMERCIAL Definición: Es una ley sumativa (los descuentos parciales no generan descuentos) y estacionaria y se emplea, sobre todo, para valorar operaciones a corto plazo. Expresión: A(t,p)=1-d·(t-p) con t>p y d>0 / A(z)=1-d·z con z=t-p Valor descontado: V0=C·A(z) = C·(1-d·z) Descuento: D = C-V0 = C-C·(1-d·z) = C·d·z Tantos equivalentes: Para que la equivalencia de capitales se mantenga al cambiar la unidad de medida del tiempo (por ejemplo, en vez de trabajar con años trabajamos con meses) es necesario obtener el tipo de descuento correspondiente a esa nueva unidad temporal (dm) que sea equivalente al tipo de descuento anual (d). El proceso de transformación es sencillo a partir de la siguiente igualdad:

RELACIÓN ENTRE EL PARÁMETRO i DE LA LEY DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE Y EL PARÁMETRO d DE LA LEY DE DESCUENTO SIMPLE COMERCIAL El tipo anual de interés en capitalización simple (i) y el tipo anual de descuento en descuento comercial (d) no tienen el mismo significado. Si tuvieran el mismo significado se tendría que verificar que, para un mismo valor numérico de ambos parámetros (d=i), el resultado de capitalizar el valor descontado de una unidad monetaria durante un período de z años, tendría que ser igual a la unidad monetaria de partida. Podemos comprobar que eso no ocurre a través de la expresión: Para que ambos parámetros sean equivalentes se tiene que verificar que la anterior relación es igual a 1, es decir, que el resultado de capitalizar, durante un período de tiempo determinado, el valor descontado de una unidad monetaria es igual a esa misma unidad monetaria. De la igualdad anterior se obtienen los valores de “i” y “d” que son equivalentes V0=1-d·z 1 u.m V0=1-d·z (1-d·z)·(1+i·z)=1

LEYES FINANCIERAS: DESCUENTO COMPUESTO Definición: Es una ley multiplicativa (los descuentos parciales generan descuentos) y estacionaria y se emplea, sobre todo, para valorar operaciones a largo plazo. Expresión: A(t,p)=(1-d)t-p= (1+i)-(t-p) con t>p , d>0 e i>0 A(z)=(1-d)z=(1+i)-z con z=t-p Esta ley se puede expresar de dos formas: - En función del parámetro i (tanto o tipo de interés anual) - En función del parámetro d (tanto de descuento anual) Valor descontado: V0=C·A(z) =C·(1-d)z=C·(1+i)-z Descuento: D = C-V0 = C-C·(1-d)z Tantos equivalentes: La equivalencia de capitales se mantiene cuando se cambia la unidad de medida del tiempo si los tantos de descuento se adaptan a la nueva medida del tiempo.