LECCIÓN 3 Propiedades de transporte: ecuación de Boltzmann - LA ECUACIÓN DE BOLTZMANN - LA APROXIMACIÓN DEL TIEMPO DE RELAJACIÓN - CONDUCTIVIDAD ELÉCTRICA - COEFICIENTE DE DIFUSIÓN - PODER TERMOELÉCTRICO - EFECTO HALL

Ecuación de Boltzmann Si no existiesen colisiones El electrón se mueve en una banda al azar. Un campo eléctrico lo arrastra en una determinada dirección. t1, t2, … son instantes en los que tiene lugar una colisión.

Ecuación de Boltzmann En t = 0 las partículas en una posición r – dt vk alcanza la posición r después de dt. Este concepto simple es el importante para establecer la ecuación de Boltzmann.

Ecuación de Boltzmann En equilibrio térmico la probabilidad de que un estado esté ocupado viene dada por f(E). Ahora se trataría de encontrar una ecuación que nos permita calcular como varía la función de distribución en el espacio de las fases debido a los cambios introducidos en r y k por fuerzas externas (campos). Las fuerzas que actúan sobre el sistema son, por una parte los campos externos, que varían de manera suave y dan lugar a variaciones suaves de la posición y velocidad de las partículas y, por otra parte, las fuerzas internas debidas a las perturbaciones de la periodicidad de la red: defectos, impurezas, vibraciones de la red, etc. MECANISMOS DE DISPERSION

Ecuación de Boltzmann Los cambios debidos a las fuerzas exteriores que varían de manera suave conservarían la densidad de puntos, de acuerdo con el teorema de Liouville. Por tanto, la diferencia de concentración entre t y t + dt solo puede ser debida a los procesos de dispersión debidos a las colisiones

Tiempo de relajación Será una función del vector de ondas del electrón. Para una perturbación estacionaria: f1(k)

Tiempo de relajación Será una función del vector de ondas del electrón. Para una perturbación estacionaria: Podemos obtener una solución de primer orden suponiendo que la función de distribución difiere de la de equilibrio sólo en un término pequeño: f = f0+f1 (campos débiles y despreciamos 1ª derivada)

Tiempo de relajación

Tiempo de relajación En el caso de que sólo actúe un campo eléctrico sobre el semiconductor: Se puede demostrar que la función de distribución es igual a la de equilibrio, pero trasladada en la dirección del vector de onda: Es válido para campos inferiores a 1 kV/cm

conductividad En el caso de que sólo actúe un campo eléctrico sobre el semiconductor:

conductividad TENSOR DE CONDUCTIVIDADES EN UN SEMICONDUCTOR En el caso de bandas isótropas (superficies de energía constante esféricas o, lo que es lo mismo, una masa efectiva escalar) y t(e) : En este caso, y la CONDUCTIVIDAD isótropa queda: Donde n es la densidad de electrones,

conductividad y la CONDUCTIVIDAD isótropa queda: CASO NO DEGENERADO Boltzmann CASO NO DEGENERADO donde se ha definido un promedio del tiempo de relajación ponderado en energía. Como para el modelo de Drude, es posible expresar la conductividad en función de una movilidad electrónica (velocidad para un campo eléctrico unidad).

conductividad y la CONDUCTIVIDAD isótropa queda: CASO DEGENERADO La conductividad en un semiconductor degenerado solo depende del valor del tiempo de relajación para la energía correspondiente a la nivel de Fermi.

Coeficiente de Difusión Si suponemos que la concentración de portadores no es homogénea, en ausencia de campos: El flujo de partículas (densidad de corriente de difusión) quedaría: Si suponemos la inhomogeneidad se da sólo en la dirección x:

Coeficiente de Difusión Si se trata de un semiconductor no degenerado relación de Einstein (caso no degenerado)

Coeficiente de Difusión Si se trata de un semiconductor no degenerado Para los semiconductores degenerados el coeficiente de difusión es dependiente de la concentración

Poder termoeléctrico T T+DT V V+DV T T+DT V V+DV Si se establece un gradiente de temperatura en la muestra habrá un mayor flujo de electrones desde la zona caliente hacia la zona fría, por lo que se produce una acumulación de carga que dará lugar a un campo eléctrico interno. Poder termoeléctrico Semiconductor de tipo p T T+DT + - V V+DV Extremo caliente negativo Respuesta a gradientes de temperatura: fuerza termo-electromotriz T T+DT - + V V+DV Semiconductor de tipo n Extremo caliente positivo

Si se establece un gradiente de temperatura en la muestra habrá un mayor flujo de electrones desde la zona caliente hacia la zona fría, por lo que se produce una acumulación de carga que dará lugar a un campo eléctrico interno. Poder termoeléctrico La densidad de corriente asociada será: Si la muestra está en circuito abierto, la corriente debe ser nula: Lo que implica la aparición de un campo eléctrico proporcional al gradiente de temperatura:

Poder termoeléctrico El coeficiente de proporcionalidad es el llamado poder termoeléctrico o coeficiente de Seebeck. Para bandas isótropas y tiempos de relajación dependientes de la energía podemos escribir: a depende del signo de los portadores En semiconductores no degenerados, el primer término depende del mecanismo de dispersión (a través del tiempo de relajación) y es mucho más pequeño que el segundo, por lo que el poder termoeléctrico se puede aproximar a: En semiconductores degenerados, es fácil ver que a se anula, consecuencia de la aproximación de la derivada de f0 a una delta de Dirac. Si se tienen en cuenta términos de orden superior, se obtiene que el poder termoeléctrico es proporcional a la temperatura (anulándose a T=0 K, temperatura a la que es estrictamente válida la aproximación).

Efecto Hall En la aproximación de primer orden no es posible abordar el efecto Hall, por anularse el término en que aparece el campo eléctrico. Entonces, hemos de mantener en la ecuación de Boltzmann la derivada de f1 multiplicando al término del campo magnético. Si nos limitamos a campos eléctricos y magnéticos, sin gradientes de temperatura ni de concentración: La solución de primer orden era: Y sustituyendo: Busquemos ahora soluciones del mismo tipo:

Efecto Hall Eliminando la derivada de f0 obtenemos: Si sustituimos en la ecuación diferencial, el primer término se anulará al multiplicarlo escalarmente por la fuerza magnética ya que es proporcional a la velocidad, quedándonos: Eliminando la derivada de f0 obtenemos:

Efecto Hall Multiplicando escalarmente y vectorialmente por B Ecuación que permite obtener la corriente en presencia de un campo eléctrico y un campo magnético cruzados:

Efecto Hall Esta expresión para la densidad de corriente permite contemplar todos los casos posibles (semiconductor degenerado o no degenerado, campo débil o intenso, muestra limitada o ilimitada, etc). Si nos limitamos al caso de un semiconductore no degenerado en campo débil (m2B2<<1) Este factor de Hall e similar al del modelo de Drude, salvo un factor que depende de la dependencia en energía del tiempo de relajación. Para dispersión por fonones acústicos, t(e)=cte e-1/2 y dicho factor vale 1.18. Para dispersión por impurezas ionizadas, t(e)=cte e3/2 y dicho factor vale 1.93. En las otras situaciones (campo intenso, semiconductor degenerado), se puede demostrar que el resultado es idéntico al del modelo de Drude, ya que la dispersión es irrelevante, esto es, todos los electrones que intervienen en el transporte relajan en el mismo tiempo (electrones en el nivel de Fermi), o por que el movimiento electrónico está dominado por el intenso campo magnético.