Tema 3. Juegos simultáneos : el equilibrio de Nash. 3.1 Los equilibrios Nash de un juego. 3.2 ¿Por qué es relevante el concepto de equilibrio de Nash? 3.3 Propiedades sencillas del equilibrio de Nash. 3.4 El problema de la multiplicidad de equilibrios. . Bibliografia básica: Olcina y Calabuig: Cap. 3. Bibliografia complementaria: Gibbons: cap. 1. Dixit y Nalebuff: cap. 3

3.1 El equilibrio Nash de un juego En muchas situaciones estratégicas los jugadores no tienen acciones dominadas O, aún teniéndolas, tras realizar anticipación estratégica mutua en caso de existir información completa y eliminar sucesivamente acciones dominadas, siguen quedando varias acciones entre las que decidir. En estos juegos, donde no hay acciones dominantes o la eliminación sucesiva de acciones dominadas no da lugar a una predicción aparece el problema del “razonamiento circular”: la acción óptima de un jugador depende de cúal sea la acción óptima de su oponente, la cual depende obviamente a su vez de la primera.

¿Podemos establecer en estas situaciones una predicción precisa del juego de los agentes? Si los jugadores son maximizadores de utilidad se deduce que : a) jugarán sus acciones dominantes si las tienen, b) realizarán eliminación sucesiva de acciones dominadas, si existe conocimiento público de la estructura del juego y de su motivación

¿Qué pasa con el siguiente juego? I C D A 0,4 4,0 5,3 M 4,0 0,4 5,3 B 3,5 3,5 6,6 Las funciones de mejor respuesta del jugador 1 son M = f1(I), A = f1(C) y B = f1(D). Por otro lado las funciones de mejor respuesta del jugador 2 son I = f2(A), C= f2(M) y D = f2(B). Luego ninguno de los jugadores tienen acciones dominadas, pues cada una de sus acciones es mejor respuesta ante alguna acción del oponente.

¿Cómo jugamos en estas situaciones en la vida real? Consejo o las recomendaciones de “expertos”, consejos que obviamente luego somos libres de seguir o no. En otros juegos seguimos pautas de conducta porque son convenciones o normas sociales, es decir, todo el mundo sabe que se juega (o se debe jugar ) así y todo el mundo juega así. En los juegos que jugamos en repetidas ocasiones (aunque posiblemente contra oponentes distintos), vamos acumulando experiencia y aprendiendo por prueba y error. Lo que la experiencia nos ha enseñado que nos va mejor.

Supongamos que nuestros dos jugadores acuden juntos el día anterior a un “experto” para que este les recomiende que par de acciones jugar “mañana”. El consejo del experto solo es eso: un consejo que no es obligado cumplir. Los jugadores al día siguiente toman sus decisiones simultáneamente y con completa libertad estratégica. Propiedad mínima: que esté en el interés individual de los jugadores el seguirla si creen que el oponente la seguirá. O que ningún jugador tenga incentivo unilateral a incumplir la recomendación. Por ejemplo, un experto que recomiende jugar el par de acciones (B,I)

(B, I)?? Este experto no duraría mucho en el “mercado” de expertos pues ninguno de los jugadores seguiría su parte de la recomendación. I C D A 0,4 4,0 5,3 M 4,0 0,4 5,3 B 3,5 3,5 6,6 Obsérvese que la única recomendación que satisface la propiedad mencionada es (B,D). En ésta ningún jugador tiene incentivo unilateral a no cumplirla, pues B = f1(D) y D = f2(B).

Cuando una combinación o vector de acciones en un juego satisface esta condición decimos que tiene la propiedad de equilibrio o que es un equilibrio Nash. Es decir, un equilibrio Nash de un juego (EN) es una combinación de acciones tal que la acción de cada jugador es mejor respuesta a la de sus oponentes.

Esta definición permite que para un jugador exista otra acción que da un pago igual a la acción de equilibrio dada la acción de equilibrio del oponente. Lo que descartamos es que pueda mejorar estrictamente con otra acción. Exigimos que cada jugador utilice una mejor respuesta (no necesariamente la única) a la del oponente.

3.2 ¿Por qué es relevante el concepto de equilibrio Nash como predicción del juego en situaciones estratégicas? Un EN es una pauta de conducta del juego en la que ambos jugadores aciertan en sus conjeturas sobre la acción del oponente y aplican mejor respuesta. Ésta parece a priori una situación bastante particular y poco probable si nos enfrentamos por primera vez a un juego sin acciones dominadas. Sin embargo, si el juego tiene “una forma obvia de jugarlo” una propiedad mínima que deberá cumplir dicha forma de jugar es que sea un EN.

En definitiva, si por alguno de los motivos enumerados la conducta en un juego converge a una pauta predecible será un equilibrio del juego

Incentivos en un equipo de producción : el dilema de los prisioneros. Podemos computar los equilibrios Nash para los juegos matriciales utilizando la función de mejor respuesta. Dilema de los Prisioneros: Las funciones de mejor respuesta de ambos jugadores en el dilema del prisionero son : para el jugador 1 para el jugador 2 f1(callarse) = confesar f2 (callarse)= confesar f1(confesar)= confesar f2(confesar) = confesar. Luego, como f1(confesar)= confesar y f2(confesar) = confesar, el par de acciones (confesar, confesar) es el único EN. -1,-1 -10,0 Callarse 0,-10 -8,-8 Confesar

Incentivos en un equipo de producción

3.3 Propiedades sencillas del equilibrio Nash. Relación del equilibrio Nash con dominancia. 1. Si en un juego todos los jugadores tienen una acción dominante, entonces la combinación de acciones en que cada uno de ellos utiliza su acción dominante es el único EN del juego. El dilema de los prisioneros es un ejemplo de este resultado. 2. Si la eliminación sucesiva de acciones dominadas en un juego con información completa da lugar a una única combinación de acciones, entonces ésta constituye el único EN del juego. 3. En ningún EN de un juego puede un jugador utilizar una acción dominada. Este resultado no es válido para acciones débilmente dominadas. Como veremos en algunos juegos pueden existir EN donde algún jugador utiliza una acción débilmente dominada