1 Técnicas de Optimización en Modelos Organizacionales (PS-3161) Tema N° 4: Solución Gráfica:Casos Especiales Prof. Orestes G. Manzanilla Salazar Correo: Dpto. de Procesos y Sistemas – Centro de Estadística y Software Matemático Universidad Simón Bolívar ( Caracas – Venezuela ) Junio

2 Agenda Repaso Solución Gráfica Casos Especiales Soluciones óptimas alternativas Soluciones óptimas alternativas No acotamiento No acotamiento Degeneración Degeneración Infactibilidad Infactibilidad Utilidad y recomendaciones PS3161 – Técnicas de Optimización en Modelos Organizacionales / O.Manzanilla 2011

3 Repaso de Solución Gráfica (1) Sistema Real Modelo (lineal) del Sistema Formulación Solución de Modelo (lineal) Solución Solución para el Sistema Real Interpretación Implantación Clases 2 a 4 MinZ(x)= c.x s.a.: A.x ≥ b x ≥ 0 Clase 5 x* Z(x*)=Z* Casos Especiales Gráfica y Analítica PS3161 – Técnicas de Optimización en Modelos Organizacionales / O.Manzanilla 2011

4 Repaso de Solución Gráfica (2) Ejemplo : MinZ(x)= -x1 + 4x2 s.a.: x1 + x2  2 x1 + x2  5 x1 – 2x2  0 2x1 – x2  0 x1, x2  0 Paso 1: Identificar Región Factible (0,2) (2,0) Restricción: x1 + x2  2 Considero la igualdad: x1 + x2 = 2 Ubico dos puntos: escogo los de “corte” con los ejes, porque la recta no cruza el orígen. Si x1=0, entonces x2=2. si x2=0, entonces x1=2. Identifico semi-plano factible, probando con un punto fácil de evaluar: (0,0)  2 No se cumple! x1 x2 PS3161 – Técnicas de Optimización en Modelos Organizacionales / O.Manzanilla 2011

5 Repaso de Solución Gráfica (3) Ejemplo : MinZ(x)= -x1 + 4x2 s.a.: x1 + x2  2 x1 + x2  5 x1 – 2x2  0 2x1 – x2  0 x1, x2  0 Paso 1: Identificar Región Factible (0,5) (5,0) De forma análoga x1 + x2  5 Considero la igualdad: x1 + x2 = 5 Ubico dos puntos: escogo los de “corte” con los ejes, porque la recta no cruza el orígen. Si x1=0, entonces x2=5. si x2=0, entonces x1=5. Identifico semi-plano factible, probando con un punto fácil de evaluar: (0,0)  5 Se cumple! x1 x2 PS3161 – Técnicas de Optimización en Modelos Organizacionales / O.Manzanilla 2011

6 Repaso de Solución Gráfica (4) Ejemplo : MinZ(x)= -x1 + 4x2 s.a.: x1 + x2  2 x1 + x2  5 x1 – 2x2  0 2x1 – x2  0 x1, x2  0 Paso 1: Identificar Región Factible (0,0) (2,1) x1 x2 De forma similar x1 - 2x2  0 Considero la igualdad: x1 - 2x2 = 0 Ubico dos puntos: Uno es el orígen, puesto que la ordenada en el orígen es 0 (término constante). Para obtener otro punto, supongo x1:Si x1=2, entonces x2=1. Identifico semi-plano factible, probando con un punto fácil de evaluar: (1,0)  0 No se cumple! PS3161 – Técnicas de Optimización en Modelos Organizacionales / O.Manzanilla 2011

7 Repaso de Solución Gráfica (5) Ejemplo : Paso 1: Identificar Región Factible (0,0) (1,2) MinZ(x)= -x1 + 4x2 s.a.: x1 + x2  2 x1 + x2  5 x1 – 2x2  0 2x1 – x2  0 x1, x2  0 De forma análoga 2x1 - x2  0 Considero la igualdad: 2 x1 - x2 = 0 Ubico dos puntos: Uno es el orígen, puesto que la ordenada en el orígen es 0 (término constante). Para obtener otro punto, supongo x1:Si x1=1, entonces x2=2. Identifico semi-plano factible, probando con un punto fácil de evaluar: (1,0)  0 Se cumple! x1 x2 PS3161 – Técnicas de Optimización en Modelos Organizacionales / O.Manzanilla 2011

8 Repaso de Solución Gráfica (6) Ejemplo : Paso 1: Identificar Región Factible MinZ(x)= -x1 + 4x2 s.a.: x1 + x2  2 x1 + x2  5 x1 – 2x2  0 2x1 – x2  0 x1, x2  0 Región factible x1 x2 PS3161 – Técnicas de Optimización en Modelos Organizacionales / O.Manzanilla 2011

9 Repaso de Solución Gráfica (7) Ejemplo : Paso 1: Identificar dirección de mejora MinZ(x)= -x1 + 4x2 s.a.: x1 + x2  2 x1 + x2  5 x1 – 2x2  0 2x1 – x2  0 x1, x2  0 x1 x2 Evaluamos la función objetivo en un punto cualquiera del dibujo. Por ejemplo: (5,5). Z(5,5)= = 15 Queremos dibujar todos los lugares donde Z(x) = 15 -x1 + 4.x2 = 15 (5,5) Necesitamos un 2do punto. Suponemos x2=4 y conseguimos x1 : Si x2=4, entonces -x =15 16 – 15 = x1 x1 = 1 (1,4) Z=15 PS3161 – Técnicas de Optimización en Modelos Organizacionales / O.Manzanilla 2011

10 Repaso de Solución Gráfica (8) Ejemplo : Paso 1: Identificar dirección de mejora MinZ(x)= -x1 + 4x2 s.a.: x1 + x2  2 x1 + x2  5 x1 – 2x2  0 2x1 – x2  0 x1, x2  0 x1 x2 (1,4) Necesitamos identificar la dirección de mejora. Probamos con un punto fácil de evaluar, como el (0,0): Z(0,0) = 0 < 15 Es mejor! Z=15 Z(0,0)=0 mejora PS3161 – Técnicas de Optimización en Modelos Organizacionales / O.Manzanilla 2011

11 Repaso de Solución Gráfica (9) Ejemplo : Paso 1: Moverse hasta alcanzar el óptimo (punto extremo) MinZ(x)= -x1 + 4x2 s.a.: x1 + x2  2 x1 + x2  5 x1 – 2x2  0 2x1 – x2  0 x1, x2  0 x1 x2 La dirección de mejora nos sirve para encontrar cuál es la última línea de iso-costo (o iso-ganancia) en esa dirección, que toca al menos en un punto a la región factible Z=15 mejora Z=15 x* Interceptando las ecuaciones correspondientes a las restricciones activas en x*, se obtienen los valores x1* y x2*. Sustituyéndolos en Z, se obtendrá Z* (4/3, 2/3) PS3161 – Técnicas de Optimización en Modelos Organizacionales / O.Manzanilla 2011

12 Casos Especiales Son situaciones atípicas que se producen al buscar una solución a un modelo de PL. En particular, no ocurre lo usual: x2 Z=15 x* Solución en un vértice único y factible PS3161 – Técnicas de Optimización en Modelos Organizacionales / O.Manzanilla 2011

13 Caso 1: Soluciones óptimas alternativas Si en el ejemplo, cambiamos la función objetivo, de forma que sea paralela a una de las restricciones “activas” en el óptimo…. x2 x* MinZ(x)= -x1 + 4x2 s.a.: x1 + x2  2 x1 + x2  5 x1 – 2x2  0 2x1 – x2  0 x1, x2  0 2x2 Veremos en el dibujo que el óptimo son TODOS los puntos factibles de la restricción que coincide con la línea de iso- costo que pasa por el óptimo. (4/3, 2/3) Se debe calcular el otro vértice del polihedro factible que pertenece al óptimo. x* (10/3, 5/3) Se dice que el óptimo es el conjunto de las x pertenecen a la ecuación de la restricción coincidente, limitado en rango en alguna de las dimensiones: x*={x/(4/3  x1  10/3)^(x1-2x2=0)} Al usuario habrá que aclararle cuáles son las soluciones óptimas alternativas, pues aunque matemáticamente sean igualmente preferibles, en la práctica del sistema real, podría haber alguna preferencia subjetiva PS3161 – Técnicas de Optimización en Modelos Organizacionales / O.Manzanilla 2011

14 Caso 2: Degeneración (1) Si en el ejemplo, cambiamos la restricción “azul”, de tal forma que pasara por el óptimo también…. x2 x* (4/3, 2/3) Z=15 El óptimo será al mismo tiempo: el vértice que forma la recta “azul” con la “verde” el vértice que forma la recta “azul” con la “verde” el vértice que forma la recta “azul” con la “magenta” el vértice que forma la recta “azul” con la “magenta” el vértice que forma la recta “verde” con la “magenta” el vértice que forma la recta “verde” con la “magenta” PS3161 – Técnicas de Optimización en Modelos Organizacionales / O.Manzanilla 2011

15 x2 Caso 2: Degeneración (2) x* (4/3, 2/3) Z=15 x* Matemáticamente, el óptimo estaría al mismo tiempo en 3 “vértices” diferentes, con igual valor de Z y de Variables de Decisión. Sin embargo no es la misma solución. Los algoritmos deben incluír un ajuste para evitar un ciclo infinito entre estros “tres vértices”. Adicionalmente, siempre una de las restricciones es redundante, cuando el problema es de dos variables. Si el problema tiene “n” variables de decisión, la Degeneracion ocurre al coincidir “m” restricciones activas en el óptimo, donde m>n. Las restricciones redundantes serían en total m-n. PS3161 – Técnicas de Optimización en Modelos Organizacionales / O.Manzanilla 2011

16 MinZ(x)= -x1 + 4x2 s.a.: x1 + x2  2 x1 + x2  5 x1 – 2x2  0 2x1 – x2  0 x1, x2  0 Caso 3: No Acotamiento Si en el ejemplo, cambiamos la función objetivo para que su dirección de mejora sea otra, y eliminamos una restricción…. x1 x2 x1 + x2 Región factible no acotada mejora Si la dirección de mejora coincide con ser una dirección en la que la región factible carece de cota, jamás se llega a un óptimo. Para cuaquier iso-costo que se elija, podrá encontrase una línea mejor. Se le puede aconsejar al usuario o al grupo de trabajo que considere la posibilidad de agregar más restricciones al problema. PS3161 – Técnicas de Optimización en Modelos Organizacionales / O.Manzanilla 2011

17 Caso 4: Infactibilidad En el ejemplo anterior, puede agregarse una nueva restricción… (ver nueva restricción en “rojo”) x2 No existe ningún posible vector “x” que pueda satisfacer al mismo tiempo esa restricción, y las 4 restricciones originales. El usuario y el analista de optimización deben estudiar el sistema, y probar una formulación en la que se “relaje” alguna(s) restricción(es), minimizando desviaciones (Programación de Metas / Goal Programming) PS3161 – Técnicas de Optimización en Modelos Organizacionales / O.Manzanilla 2011

18 Utilidad y Recomendaciones Permite identificar la naturaleza de las situaciones atípicas que pueden presentarse. Hace la interpretación de las salidas de los paquetes computacionales más sencilla. Permite detectar problemas en la formulación Falta alguna restricción importante Falta alguna restricción importante Hay diversidad en las posibles soluciones óptimas Hay diversidad en las posibles soluciones óptimas Hay restricciones de más o parámetros mal estimados Hay restricciones de más o parámetros mal estimados Hay posibles problemas computacionales Hay posibles problemas computacionales Sobra alguna restricción Sobra alguna restricción Se recomienda realizar al menos un ejercicio de graficación de cada Caso Especial. Se recomienda repasar los Casos Especiales antes de la clase de Dualidad y Análisis de Sensibilidad PS3161 – Técnicas de Optimización en Modelos Organizacionales / O.Manzanilla 2011