Matemáticas aplicadas a las CCSS II Ana Pola IES Avempace Estimación Matemáticas aplicadas a las CCSS II Ana Pola IES Avempace

Estimación de parámetros Hasta el momento, hemos obtenido información sobre muestras aleatorias tomadas de una población conocida. Ahora nos proponemos algo más interesante: obtener información sobre la población a partir de muestras de la misma. Un estimador es un valor que puede calcularse a partir de los datos muestrales y que proporciona información sobre el valor del parámetro.

Estimación puntual Se produce cuando la estimación del parámetro poblacional se da mediante un valor único. La mejor estimación puntual de los parámetros poblacionales es la ofrecida por los estadísticos muestrales correspondientes, aunque es necesario cuantificar el riesgo que se asume al considerarlos.

Estimación por intervalos 1 Consiste en obtener dos valores entre los que se encontrará el parámetro con un nivel de confianza fijado de antemano. Llamamos intervalo de confianza al intervalo que con un cierto nivel de confianza, contiene al parámetro que se está estimando. Nivel de confianza es la “probabilidad” de que el intervalo calculado contenga al verdadero valor del parámetro.

Estimación por intervalos 2 Si E es el parámetro poblacional, se trata de encontrar un intervalo [a, b] tal que P(a ≤ E ≤ b) = 1 -  El valor 1 -  se llama nivel de confianza y el valor  nivel de significación o riesgo.

Intervalo de confianza para la media Se desea estimar la media, , de una población cuya desviación típica, , es desconocida. Se toma una muestra de tamaño n cuya media es . Si la población de partida es normal, o el tamaño de la muestra es n ≥ 30, el intervalo de confianza de  con un nivel de confianza de (1- a)·100% es Demostración

Demostración Si la desviación típica  de la población es desconocida, que es lo más frecuente, utilizaremos la desviación típica de la muestra siempre que n sea suficientemente grande

Ejemplo Se ha extraído una muestra de 145 alumnos de una escuela de artes a los que se les ha propuesto un test de habilidad. La media y la desviación típica obtenida de la muestra son 82 y 14, respectivamente. A partir de estos datos, calcula el intervalo en el cual se hallará la media de población al nivel de confianza del 95%. Es decir,  estará en ese intervalo con una probabilidad del 95%. Idem con nivel de confianza del 99%. Al aumentar el nivel de confianza se amplía el intervalo y tenemos más seguridad de encontrar la media de la población en el último intervalo calculado.

Ejercicio Una fábrica conservera desea conocer el tiempo que tarda en estropearse un producto que tiene almacenado. Elige una muestra de 200 unidades y resulta que el tiempo medio de descomposición de estos productos es de 172 horas. Por experiencias anteriores, se conoce la desviación típica de la variable “tiempo de descomposición” es de 3,5 horas. Para el nivel de confianza del 95%, ¿entre qué valores podrá estimarse el tiempo medio de descomposición para la totalidad del producto almacenado?

Solución Buscamos el intervalo de confianza para la media del tiempo de descomposición de los productos, que es Como 1 – a = 0,95, entonces, za/2 = 1,96, por tanto, el intervalo buscado es (172 - 0,247·1,96 , 172 + 0,247·1,96) = (171,516;172,484) es decir, el tiempo medio de descomposición de los productos estará entre 171,516 y 172,484 con un nivel de confianza del 95%.

Intervalo de confianza para una proporción Se desea estimar la proporción, p, de individuos con una cierta característica que hay en una población. Sabemos que en las muestras de tamaño n de esa población, la proporción P de individuos que cumplen ese atributo se ajusta a la normal Siguiendo un método análogo al seguido para la media, El intervalo de confianza de la proporción poblacional p con un nivel de confianza de (1- a)·100% es 11

Ejemplo Para estimar la proporción de estudiantes de una universidad que está a favor de la reinserción social del delincuente, se entrevistó aleatoriamente a 500 estudiantes. El 58% estaba a favor. Calcula el intervalo de confianza, con un nivel de confianza del 95%, en el cual se hallará la población universitaria que se encuentra a favor. Solución: El intervalo de confianza es es decir, el verdadero porcentaje poblacional estará entre el 54,08% y el 61,92% con una probabilidad del 95%.

Ejercicio Una cadena de televisión, para decidir sobre la continuidad de antena de un determinado programa, realiza una encuesta sobre la aceptación de dicho programa. Se encuesta a mil personas y se obtiene que el 54% es partidario de su continuidad. ¿Entre qué valores se encontrará el porcentaje de aceptación de la población con un nivel de confianza del 95%? Solución: Por tanto, el porcentaje de la población se encontrará en el intervalo: luego, con un nivel de confianza del 95%, el porcentaje de personas favorables a la continuidad del programa estará comprendido entre el 50,92% y el 57,07%.

El tamaño de la muestra Conocido el tamaño de la muestra, hemos calculado los intervalos de confianza correspondientes. Resolvemos ahora el problema inverso: ¿cuál debe ser el tamaño de la muestra si queremos tener un nivel de confianza determinado? En general, el tamaño de la muestra dependerá de: La variabilidad del fenómeno a estudiar (desviación típica). La magnitud del error muestral que queramos admitir (diferencia entre el estadístico y el parámetro). Un grado de confianza tal que el error de la estimación no exceda el máximo error permisible.

Tamaño de la muestra para estimar la media El intervalo de confianza 1 – a para estimar la media de la población, m, es o bien donde es error máximo admisible o precisión. Despejando: Es el tamaño de la muestra para un nivel de confianza de 1 – a

Ejemplo Al medir el tiempo de reacción, un psicólogo estima que la desviación típica es de 0,05 segundos. ¿De qué tamaño ha de tomarse una muestra de medidas para tener una confianza del 99% de que el error de estimación no supera 0,01 segundos? Solución: El valor crítico para un nivel de confianza del 99% es za/2 = 2,575

Ejercicio La desviación típica del peso medio de las naranjas de un camión (conocida por numerosas pruebas similares) es de 60 g. Calcular el número mínimo de naranjas que hay que tomar para que el error cometido al estimar el peso medio de las naranjas sea inferior a 15 g con un nivel de confianza del 95%. Solución: Para 1 -  = 0,95 /2 = 0,025 z/2 = 1,96 E = 15 Tomaremos 62 naranjas para asegurarnos totalmente.

Tamaño de la muestra para estimar una proporción El intervalo de confianza 1 – a para estimar la media de la población, m, es o bien donde es error máximo admisible o precisión. Despejando: Es el tamaño de la muestra para un nivel de confianza de 1 – a

Ejemplo 1 El Colegio de Economistas está interesado en conocer la proporción de sus miembros que estarían de acuerdo en aumentar la cuota social vigente. Para ganar tiempo, se va a aplicar una encuesta a un grupo de sus miembros. ¿Cuál es el tamaño de la muestra si se especifica que el error muestral máximo es de 0,05 con un nivel de confianza del 99%, si sabe por estudios anteriores que la proporción a favor es p = 20%? Según los datos del problema: luego es decir, debemos tomar una muestra de 425 elementos ¿De qué tamaño sería la muestra si no se conoce la proporción de miembros que están de acuerdo en aumentar la cuota social? Al no conocer la proporción poblacional, se usa p = 0,5, que es el caso más desfavorable. luego debe tomarse una muestra de 663 elementos.

Ejemplo 2 En una ficha técnica de un sondeo aparecen los datos: Tamaño muestra: 1200 personas Nivel de confianza: 95,5% Margen de error: 2,9% Comprueba los datos. Solución: Cuando no se conoce p, se estima para el caso más desfavorable: p = q = 0,5 En la ficha aparece n = 1200. Es fácil comprobar que el error se ha aproximado a 2,9 ¿Cuántas personas compondrían la muestra si el margen de error fuera 1,5%? ¿Y si fuera 0,8%?

Ejercicio Inmediatamente después de celebradas unas elecciones y antes de conocer los resultados del escrutinio, se ha consultado a un grupo de 1000 personas entre los votantes de una gran ciudad sobre su actitud frente a un determinado partido político. De ellas, 380 afirman haber votado a favor de dicho partido. Calcula con un riesgo del 5%: En cuánto cabe esperar difieran los resultados de la encuesta de los definitivos, todavía desconocidos. El número de personas que debía haberse consultado, como mínimo, para conseguir una estimación de los resultados con un error no superior al 2%.

Solución En cuánto cabe esperar difieran los resultados de la encuesta de los definitivos todavía desconocidos. Se trata de calcular la precisión o error muestral E, y se sabe que  = 5% (riesgo)  1 -  = 95% (nivel de confianza)  z/2 = 1,96 P = 380/1000 = 0,38 y n = 1000 El valor pedido será: luego, con un riesgo del 5%, cabe esperar que la proporción de votos favorables a dicho partido no difiera del 38% en 3%. El número de personas que debía haberse consultado como mínimo para conseguir una estimación de los resultados con un error no superior al 2%. Si se desea un error no superior al 2% (E = 0,02), el número de personas encuestadas deberá ser: es decir, la muestra deberá estar formada por 2263 personas.