Proyecto B El Sistema Solar Autores: Carlos Alfaro Vicente Álvarez Miguel Calzada

Objetivos del proyecto En el proyecto nos hemos propuesto estudiar distintos sucesos que tienen lugar en el Sistema Solar cada amplio lapso de tiempo. Como objetivos nos proponemos: Escribir un programa que dibuje una animación del Sistema Solar con sus 8 planetas principales y estudie las fuerzas generadas sobre cada uno de ellos. Obtener la Fuerza que sufre el Sol a causa de los planetas a lo largo del tiempo. Determinar cada cuánto tiempo se produce una alineación astral de los planetas, y obtener la fuerza que sufriría el Sol en ese caso. Escribir un programa que dibuje lo que ocurre si un astro extrasolar muy masivo interfiriera en nuestro sistema solar. Obtener gráficas de la Energía Potencial y Cinética que adquirirían los planetas ante este suceso.

Introducción al Sistema Solar El Sistema Solar es un sistema planetario que se encuentra en uno de los brazos de la Vía Láctea, conocido como el Brazo de Orión. Según las últimas estimaciones, el sistema se encuentra a unos 28 000 años luz del centro de la Vía Láctea. Está formado por una única estrella, el Sol, que le da nombre; ocho planetas que orbitan alrededor de él: Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno; y otros cuerpos menores: planetas enanos (Plutón, Eris, Makemake, Haumea y Ceres), asteroides, satélites naturales, cometas, así como el espacio interplanetario comprendido entre ellos, en el que hay viento solar, un campo magnético interplanetario, rayos cósmicos y polvo interplanetario. La masa del Sistema Solar se concentra principalmente en el Sol (un 98,6% del total; 1,9891 × 1030 Kg de masa), siendo el segundo astro más masivo el planeta Júpiter, con 1,899×1027 Kg de masa, aspecto muy relevante en el estudio de las fuerzas .

Introducción a MATLAB MATLAB es un software matemático que ofrece un entorno de desarrollo integrado (IDE) con un lenguaje de programación propio (lenguaje M). Entre sus prestaciones básicas se hallan: la manipulación de matrices, la representación de datos y funciones, la implementación de algoritmos, la creación de interfaces de usuario (GUI) y la comunicación con programas en otros lenguajes y con otros dispositivos hardware. Nosotros utilizaremos MATLAB para la construcción y estudio de nuestro Sistema Solar.

Hito 1 En este Hito, intentamos desarrollar la construcción del Sistema Solar en el programa MATLAB, utilizando el método de integración de Verlet. También se hace un estudio de las Fuerzas gravitatorias que los planetas hacen sobre el Sol. Para la resolución de este problema hemos creado cuatro scripts, tres de ellos functions, que son llamadas entre ellos para dar con la solución. Por ello, explicaremos cada script de forma separada.

G4_SistemaSolar Utilizamos la function G4_constrsistemasolar para que nos de las trayectorias y aceleraciones que sufren los cuerpos del Sistema Solar en función del tiempo. Hacemos un estudio de las Fuerzas que sufre el Sol en cada eje, y lo comparamos con las fuerzas de otros planetas del Sistema. Por último, hacemos una animación de Sistema Solar.

G4_constrsistemasolar Esta function toma los datos sacados de internet de las posiciones y velocidades del Sistema Solar en un día concreto y construye matrices de posición y aceleraciones que sufren los cuerpos, para después ser usados en el primer script. Para ello, utiliza el sistema de integración de Verlet, el cual se desarrolla en otra function.

G4_ode_verlet En esta function se desarrolla el uso del sistema de integración Verlet para movimientos newtonianos. Este es el sistema adecuado para largos espacios de tiempos, por ser más exacto. Utiliza una function separada para calcular las fuerzas que sufre cada cuerpo.

G4_fuerzagravit En esta última function, calculamos las fuerzas gravitatorias que sufre cada cuerpo del sistema en un instante concreto para ser usadas en la integración por Verlet.

Resultados Hito 1

Hito 2 En este Hito intentamos determinar el tiempo transcurrido entre dos alineaciones totales de los planetas del Sistema Solar. Para ello, utilizamos dos métodos: El primero, comparando las posiciones de los planetas, alineándose solo en el eje x e y. El segundo, calculando los periodos de cada planeta y calculando a partir de ellos el tiempo necesario para que se produzca la alineación. Por último calculamos la Fuerza gravitatoria resultante sobre el Sol cuando se alinean los planetas, primero con 4 planetas, y después con todos los del Sistema Solar. Para la resolución de este ejercicio solo hemos tenido que desarrollar un script, usando las functions creadas en el Hito 1.

G4_SistemaSolar2 El principio del problema es exactamente igual que en el Hito 1, usando functions para calcular las posiciones y aceleraciones de los cuerpos a lo largo del tiempo. Primer método: En este método calculamos las pendientes formadas por las posiciones en x e y de cada planeta, y las comparamos entre ellas. Si coinciden, entonces hay una alineación entre ellos, y la guardamos. Funciona tanto con alineaciones parciales de dos planetas, como de tres, como de cuatro. Segundo método: En este método calculamos el periodo de cada planeta y los multiplicamos, de forma que nos de el tiempo que pasa entre una alineación total y otra. Por último, calculamos las Fuerzas que sufre el Sol cuando están los cuatro planetas rocosos alineados, y cuando están todos los planetas del Sistema Solar alineados.

Resultados Hito 2 Utilizando el método de comparación de pendientes sin tener en cuenta el eje z: Alineación Total en el día: 19058 El mayor número de alineaciones parciales ha sido entre Tierra y Marte: 1346 Utilizando el método de cálculo a partir de los periodos de los planetas: Periodo de Mercurio 88 Periodo de Venus 223 Periodo de la Tierra 365 Periodo de Marte 674 Se producirá una conjunción total cada 4827700240 días, es decir, cada 13226576 años La Fuerza que se produce sobre el Sol en una alineación total de los cuatro planetas rocosos es de 105602316000638850000000 Newton La Fuerza que se produce sobre el Sol en una alineación total es de 560951788427604100000000 Newton

Hito 3 En él intentamos determinar cómo reaccionarían los cuerpos de nuestro Sistema Solar si una estrella ajena a él se lanzara hacia el centro del mismo. Las condiciones iniciales de la estrella podemos modificarlas nosotros mismos. Así, utilizamos el programa para determinar las energías cinéticas y potenciales a las que se ven sometidos los distintos cuerpos. Por último dibujamos una animación de este caso, y dibujamos las trayectorias que seguirían los cuerpos.

G4_SistemaSolar3 Este script es muy parecido a los del Hito 1 y 2, salvo porque usa la function G4_constrsistemasolar3, la cual nos da también las velocidades de cada planeta en el tiempo, y añade la nueva estrella a la construcción del problema. Lo primero que haremos será determinar las energías cinéticas de cada cuerpo, y representarlas. Lo que haremos después será determinar las energías potenciales de cada cuerpo, y representarlas. Creamos una animación que nos muestre visualmente lo que ocurriría en este suceso. Y por último, dibujamos, para poder comentarlas, las trayectorias seguidas por cada cuerpo.

G4_constrsistemasolar3 Esta function es muy parecida a la desarrollada en el Hito 1, salvo porque añade la nueva estrella al desarrollo del problema y porque usa una function diferente para la integración por Verlet que nos da también las velocidades de cada cuerpo.

Resultados Hito 3

FIN