Estadística Inferencial Estimación Puntual Por intervalo de confianza Pruebas de hipótesis Paramétricas No paramétricas Prueba de µ=µo Prueba de σ2 = σo2 Prueba de p = po Prueba de µx = µy Prueba de σx 2= σy2 Prueba Χ2 (tabla de contingencia) Prueba de signo o binomial. Prueba de Wilcoxon Prueba de Kolmogorov Smirnov. Prueba de rachar Prueba de Mann-Whitney Etc. Estimación de µ Estimación de σ2 Estimación de p Ect.

Aspectos que se requiere tener en cuenta en estos procedimientos Prueba de hipótesis Hipótesis a probar: Ho : hipótesis nula H1 : hipótesis alternativa Distribuciones muestrales a utilizar (Z, T de student, Χ2, F de Fisher, etc.) Probabilidad de cometer error de tipo I (α) y error tipo II (β). Tomar la decisión (rechazar o no Ho) y establecer las conclusiones en el contexto del problema planteado. Determinar tamaño de muestra Estimación Parámetros a estimar (µ; σ2; σ; p ; etc. Distribuciones muestrales a utilizar (Z, T de student, Χ2, F de Fisher, etc.) Nivel de confianza (1-α) Interpretar las estimaciones en el contexto del problema planteado Determinar tamaño de muestra

ESTADÍSTICA INFERENCIAL Según la finalidad se puede dividir en : TEORÍA  DE LA ESTIMACIÓN TEORÍA  DE LA VERIFICACIÓN DE HIPÓTESIS

ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS En una población cuya distribución es conocida pero desconocemos algún parámetro, podemos estimar dicho parámetro a partir de una muestra representativa. Una estimación es puntual cuando se obtiene un sólo valor para el parámetro. Los estimadores más probables en este caso son los estadísticos obtenidos en la muestra, aunque es necesario cuantificar el riesgo que se asume al considerarlos. Más útil es la estimación por intervalos en la que calculamos dos valores, entre los que se encontrará el parámetro con una probabilidad fijada de antemano. Llamamos Intervalo de confianza al intervalo que con una cierta probabilidad, contiene al parámetro que se está estimando. Nivel de confianza es la probabilidad de que el intervalo de confianza contenga al verdadero valor del parámetro. Se indica por 1-a y habitualmente se da en porcentaje (1-a)100%.

Intervalo de confianza para la media De una población desconocemos la media m y deseamos estimarla a partir de la media obtenida en una muestra de tamaño n Sabemos que si la población es normal N(m,s) y extraemos de ella muestras de tamaño n, o sin ser la población normal es n>30, la distribución muestral de medias sigue también una distribución normal , entonces para una probabilidad 1-a fijada de antemano, m pertenece al intervalo: donde za/2 es el valor tal que P(-za/2 £ z £ za/2 ) = 1-a y m la media de la muestra Si la desviación típica de la población es desconocida, lo que suele ocurrir en la práctica, la aproximaremos por la de la muestra siempre que n>100

Intervalo de confianza EJEMPLO 1 Para una muestra de 81 habitantes de cierta población se obtuvo una estatura media de 167 cm. Por estudios anteriores se sabe que la desviación típica de la altura de la población es de 8 cm. Construye un intervalo de confianza para la estatura media de la población al 95% s=8 n=81 La distribución muestral de medias se distribuye N(m;0,89). Para 1-a=0,95 a/2=0,025 za/2=1,96 Intervalo de confianza (167-1,96*0,89 ; 167+1,96*0,89)= (167-1,74;167+1,74) = (165,26;168,74) Calcula el intervalo a un nivel de confianza del 90% y del 99%

Intervalo de confianza para la proporción Si deseamos estimar la proporción p con que una determinada característica se da en una población, a partir de la proporción p' observada en una muestra de tamaño n, sabemos que la distribución muestral de proporciones sigue también una distribución normal con q=1-p Como las proporción p de la población es desconocida, se aproxima por la de la muestra siempre que n>100. Entonces para una probabilidad 1-a fijada de antemano, p pertenece al intervalo:

Intervalo de confianza EJEMPLO 2 Una máquina fabrica piezas de precisión y en una caja de 200 piezas, recibida por un cliente han aparecido 6 piezas defectuosas, a un nivel de confianza del 99% ¿entre qué valores se puede esperar que esté la verdadera proporción de piezas defectuosas fabricadas por la máquina? p'=0,035, q'=0,965 n=200 La distribución muestral de proporciones se distribuye N(0,035;0,013). Para 1-a=0,99 a/2=0,005 za/2=2,575 Intervalo de confianza (0,035-2,575*0,013;0,035+2,575*0,013)=(0,035-0,033;0,035+0,033) =(0,002;0,068) Calcula el intervalo a un nivel de confianza del 90% y al 95%

Intervalo de confianza y tamaño de la muestra La amplitud del intervalo de confianza depende del valor de Con un nivel de confianza del (1-a)100% admitimos que la diferencia entre la estimación para la media a partir de la muestra y su valor real es menor que E, que llamaremos error máximo admisible. El tamaño de la muestra depende del nivel de confianza que se desee para los resultados y del error máximo que se esté dispuesto a admitir:               En el caso de estimar proporciones con lo que

EJEMPLO 3 La desviación típica de la altura de los habitantes de un país es de 8 cm. Calcular el tamaño mínimo que ha de tener una muestra de habitantes de dicho país para que el error cometido al estimar la altura media sea inferior a 1 cm con un nivel de confianza del 90%. Para 1-a=0,90 a/2=0,05 za/2=1,645 E=1 n=(1,645*8/1)² = 173 Calcula el tamaño que debería tener la muestra al nivel de confianza 95% Calcula el tamaño que debería tener la muestra para reducir el intervalo calculado en el ejemplo 1 a la mitad, con el mismo nivel de confianza.

PRUEBA DE HIPÓTESIS TEORÍA DE LA VERIFICACIÓN DE HIPÓTESIS. La verificación de hipótesis  es el proceso que lleva a juzgar la credibilidad de afirmaciones (hipótesis) relativas a las poblaciones (habitualmente a sus parámetros) de las que fueron extraídas las muestras

Tipos de errores Se pueden cometer dos tipos de errores en la verificación de hipótesis ERROR TIPO I : RECHAZAR LA Ho SIENDO CIERTA ERROR TIPO II : ACEPTAR LA Ho SIENDO FALSA Cuanto menor sea α , mayor será β .La única forma de disminuir ambos errores, es aumentar el tamaño de la muestra (n).

TIPOS DE ERRORES

Rechazar Ho Error tipo I Decisión correcta Aceptar Ho Error tipo II Ho cierta Ho falsa Rechazar Ho Error tipo I Decisión correcta Aceptar Ho   Error tipo  II P(Rechazar Ho | Ho cierta ) ≤ α α :nivel de significación P(Aceptar Ho | Ho falsa ) ≤ β 1-β: se conoce como potencia de la prueba de hípótesis

Error  y error 

Prueba de hipótesis La verificación de hipótesis es el proceso que lleva a juzgar la credibilidad de afirmaciones (hipótesis) relativas a las poblaciones (habitualmente a sus parámetros) de las que fueron extraídas las muestras Hipótesis nula: (Ho) Hipótesis estadística que se somete a prueba Hipótesis alternativa(s): (H1, H2, ...) Son las hipótesis estadísticas distintas de la hipótesis nula. Habitualmente se plantea una solo hipótesis alternativa que es la negación de la nula. Ejemplificando La Hipótesis nula puede ser : un parámetro q que tiene un valor k y la Hipótesis alternativa será su negación: Ho: q = k H1: q  k

Prueba de hipótesis Si P es muy baja la probabilidad de que la muestra no pertenezca a una población con q = k es muy alta , por lo tanto se rechaza Ho. Consecuentemente se acepta Ho.

Intervalo de aceptación Ho Intervalo de rechazo Ho Ejercicio En un establecimiento lechero, 18 vacas de raza Frisia, produjeron en promedio 70 kg. en la tercer semana luego del parto, con un desvío de 6 kg. ¿Se puede asegurar (a = 0,05) que la producción aumentó con respecto a una media de 65 kg.? Ho: =65 kg H1: >65 kg Rta: Como el valor 3.53 esta dentro del intervalo de rechazo , la respuesta es la produccion no aumento. Datos n=18 media=70 kg s=6kg =0.05 =0.05 1.64 3.53 Intervalo de aceptación Ho Intervalo de rechazo Ho Para  =0.05 calculamos 0.5-0.05=0.45 el punto zo en la distribucion normal estandar aparece en la tabla con 1.64 Ahora calculamos el valor de z para media de la muestra z=70-65/(6/18)= 5/(6/4.24)=3.53