Contornos Activos Marcos Martín Fernández Enero de 2008

Contenidos n Introducción n Snakes n Snakes dinámicos n Superficies deformables n Rayos activos

Introducción (I) n Las técnicas clásicas sólo son útiles en situaciones muy sencillas –Objeto y fondo uniformes –Baja presencia de ruido –Poco distorsión o desenfoque n En general va a ser necesario un procesado posterior –Para interpretar los resultados –Reconocer o clasificar los objetos –Dar conectividad a los bordes y regiones –Eliminar los falsos positivos y negativos n Se deben emplear técnicas más robustas de reciente aparición denominadas contornos activos

Introducción (II) n Los contornos modelan las fronteras entre los objetos y el fondo n Se basan en modelos a priori de la forma de los objetos n Son técnicas mucho más robustas frente a la presencia de ruido y otros tipos de degradación de la imagen n La solución no requiere un procesado posterior y será directamente interpretable n Si el modelo es correcto la presencia de falsos positivos y negativos será muy pequeña

Introducción (III) n Los contornos activos se pueden clasificar –Snakes Mecanismos para incluir todo el conocimiento a priori del contorno Se imponen propiedades de suavidad y continuidad Modelo de curva flexible elástica dirigida por los datos de la imagen –Patrones deformables Basado en una familia de curvas flexibles Las curvas vienen modeladas por un modelo paramétrico –Contornos dinámicos Para localizar objetos en movimiento: problema de seguimiento Introducen fuerzas de inercia, restauración y amortiguamiento

Snakes: idea del método (I) n Se pretende localizar bordes, líneas y contornos n Método variacional de búsqueda de contornos n La conectividad viene impuesta a priori en el modelo n El contorno evoluciona guiado por los bordes de la imagen n Es un modelo activo: siempre está minimizando su energía n Su nombre viene de cómo se desliza el contorno por la imagen según va buscando el mínimo energético n Se pueden añadir fuerzas externas para controlar el snake n Se debe partir de un contorno inicial proporcionado por otros métodos

Snakes: idea del método (II) n Se puede definir como una curva spline minimizadora de su energía guiada por las fuerzas externas y de la imagen n El snake también posee una serie de fuerzas internas que sirven para regularizar (dar suavidad) a la solución n Las fuerzas de la imagen guiarán al snake hacia los bordes, líneas y elementos prominentes de la imagen n Las fuerzas restrictivas externas permiten añadir toda la información a priori disponible

Snakes: formalización (I) n Viene dada por una curva paramétrica r(s)=(x(s),y(s))

Snakes: formalización (II) n Su funcional energético viene dado por n E int es la energía de regularización o de suavidad del contorno que viene dada a partir de las derivadas n El término de primer orden modela el contorno como una membrana n El término de segundo orden modela el contorno como una lámina plana delgada

Snakes: formalización (III) n La energía externa la introduce el usuario n Tiene dos componentes n E mue es una restricción equivalente a conectar el contorno a un muelle a un punto fijo de la imagen o del contorno n E vol es una restricción de repulsión con forma forma de volcán: del tipo 1/r 2 y truncada cerca del origen n Si se sitúa una restricción tipo volcán en un punto de la imagen el contorno se verá repelido de esa zona

Snakes: formalización (IV) n La energía de imagen atraen el contorno hacia las características relevantes de la imagen n E lin es una energía que hace que el contorno se vea atraído por las líneas de la imagen n E bor es una energía que hace que el contorno se vea atraído por los bordes de la imagen

Snakes: formalización (V) n La energía de borde dada por el gradiente hace que –El contorno se quede atrapado en zonas ruidosas –El contorno se quede atrapado en estructuras pequeñas n Se puede emplear el Laplaciano con suavizado Gaussiano n La desviación  de la Gaussiana representa la escala de los bordes n El mínimo de la energía de borde viene dado por los cruces por cero del Laplaciano con suavizado Gaussiano

Snakes: formalización (VI) n Para la energía de terminación E ter se suaviza la imagen n El ángulo del gradiente se puede poner n Los vectores unitarios tangencial n 1 y normal n 2 al gradiente

Snakes: formalización (VII) n Esta energía viene dada a partir de la curvatura definida como la derivada de la imagen en la dirección del gradiente n Operando se obtiene

Snakes: optimización (I) n La energía externa del contorno viene dada por n La minimización del funcional energético viene dada por las ecuaciones de Euler-Lagrange

Snakes: optimización (II) n Las ecuaciones de Euler-Lagrange se resuelven mediante métodos discretos: diferencias finitas n Se discretiza el contorno en J puntos r j =(x j, y j )=(x(jh), y(jh))

Snakes: optimización (III) n La energía del snake es ahora n La energía interna discretizada n Se define la condición de contorno para curvas cerradas r 0 = r J

Snakes: optimización (IV) n Se definen las fuerzas externas discretas n La ecuación vectorial de Euler-Lagrange discretizada es

Snakes: optimización (V) n Puesto de forma matricial n K es la matriz de rigidez que depende de los parámetros de la energía interna y es pentadiagonal

Snakes: optimización (VI) n La solución a las ecuaciones anteriores es n La matrix K+  I es pentadiagonal y se puede invertir mediante descomposición LU n Estas ecuaciones se pueden poner de forma iterativa

Snakes: optimización (VII) n Es un método implícito con respecto a las fuerzas internas –Si el snake es muy rígido se puede resolver con un valor de  elevado n Es un método explícito con respecto a las fuerzas externas –Si las fuerzas externas son grandes se requieren valores de  relativamente pequeños n La nueva posición r t del contorno se obtiene –Moviendo el contorno siguiendo la fuerza externa (f x, f y ) –Resolviendo el sistema a través de la inversión de la matriz K+  I

Snakes: problemas y soluciones (I) n Si la fuerza externa f(r) = (f x, f y ) es demasiado grande –El contorno avanza demasiado deprisa perdiendo el mínimo –El contorno puede oscilar en torno al mínimo energético –Se puede solucionar aumentando  –Para  grande el contorno sólo se ve atraído por gradientes grandes n La solución es normalizar la fuerza externa n El parámetro  debe ser del orden de 

Snakes: problemas y soluciones (II) n Sólo conocemos la fuerza externa en posiciones discretas dadas por los pixels –Nos podemos pasar el mínimo local –Podemos oscilar en torno a la solución n La fuerza externa se puede determinar de forma continua mediante interpolación bilineal o bicúbica n La posición del contorno inicial es muy importante –Si el contorno no está cerca de un borde no se ve atraído por él –Si el contorno no está sometido a fuerzas externas, las fuerzas internas harán que se encoja sobre sí mismo n Se debe añadir una fuerza de inflado en la dirección normal

Snakes: ejemplos de funcionamiento (I) n Evolución del snake para la segmentación de la radiografía de un hueso

Snakes: ejemplos de funcionamiento (II) n Segmentación de los huesos de las falanges de la radiografía de una mano n Paso previo para la determinación del estado de maduración ósea

Snakes dinámicos (I) n El contorno es ahora una curva temporal r(s,t)=(x(s,t),y(s,t)) n Se le asigna al snake una masa  y un coeficiente de viscosidad  n Las ecuaciones de Euler-Lagrange dinámicas son

Snakes dinámicos (II) n Las ecuaciones anteriores se pueden discretizar dando lugar a las ecuaciones matriciales n M, C y K son las matrices de masa, viscosidad y rigidez n (v x, v y ) y (a x, a y ) son los vectores de velocidad y aceleración n La matriz de masa es M =  I n La matriz de viscosidad es C =  I n La matriz de rigidez representa la energía interna del snake

Superficies deformables (I) n Una superficie deformable es una curva biparamétrica u(s,r)=(x(s,r),y(s,r),z(s,r)), con s, r  (0,1) n La energía asociada a esta curva es n La energía interna viene dada por –La elasticidad (primera derivada) –La rigidez (segunda derivada) –Resistencia a torsión (segunda derivada)

Superficies deformables (II) n Se pueden generalizar las ecuaciones de Euler-Lagrange para este caso obteniéndose la ecuación vectorial n La superficie se puede hacer dinámica haciendo que dependa del tiempo u(s,r,t) = (x(s,r,t), y(s,r,t), z(s,r,t) n En el caso dinámico se le asigna una masa  y un coeficiente de viscosidad 

Superficies deformables (III) n La ecuación vectorial de Euler-Lagrange para superficies en el caso dinámico se puede poner n Será necesario fijar –Las condiciones iniciales para la posición, velocidad y aceleración –Las condiciones de contorno de la superficie

Superficies deformables (IV) n Evolución de una superficie deformable en la segmentación del ventrículo izquierdo del corazón

Superficies deformables (V) n Superficie deformable ajustada a la corteza externa del cerebro a partir de datos volumétricos MRI

Rayos activos: justificación n Los snakes presentan ciertos problemas –Cuando el contorno es cerrado se pueden producir cruces –El contorno puede girar sobre su propio eje sin evolucionar –El problema de optimización está planteado en dos dimensiones n Los rayos activos pretenden resolver este problema –Tienen un comportamiento adecuado en cualquier momento –Se reduce el proceso de optimización a una dimensión –Se fija un orden bidimensional a los elementos del contorno evitando cruces o giros n Modelo polar válido para contornos cerrados en estrella

Rayos activos: formalización (I) n Un rayo activo se define como la función unidimensional de los valores de la imagen a partir de –Un centro C = (C x, C y ) –En la dirección  n El contorno es siempre cerrado y viene dado por la unión de un punto de cada rayo activo n Conociendo  (  ) se conoce por completo el comportamiento del contorno

Rayos activos: formalización (II) n Usando el modelo snake la energía interna del contorno es n Una definición más apropiada para la energía interna sería n La energía externa es función del gradiente de la imagen

Rayos activos: formalización (III) n La energía total del contorno viene dada por

Rayos activos: formalización (IV) n El contorno viene dado por la función  (  ) que minimize la energía total n Mediante calculo variacional se llega a la siguiente ecuación diferencial de Euler-Lagrange

Rayos activos: discretización n El contorno se puede discretizar con –N rayos –K puntos en cada rayo n Las ecuaciones se pueden discretizar usando diferencias finitas

Rayos activos: ejemplos (I)

Rayos activos: ejemplos (II)

Rayos activos: ejemplos (III)

Rayos activos: ejemplos (IV)

Rayos activos: ejemplos (V)