Tema 3: Probabilidad Bioestadística

SUCESOS DETERMINISTAS Y ALEATORIOS Cuando realizamos un experimento, diremos que es: Determinista: dadas unas condiciones iniciales, el resultado es siempre el mismo. Aleatorio: dadas unas condiciones iniciales, conocemos el conjunto de resultados posibles, pero NO el resultado final.

CONCEPCIÓN CLÁSICA DE LA PROBABILIDAD Un experimento que está sujeto al azar con n posibles resultados equiprobables y mutuamente excluyentes y nA es la cantidad de sucesos que presentan la característica A entonces la probabilidad de que suceda A es: P(A) = nA/n Ejemplos: Con una baraja española, al sacar una carta ¿cuál es la probabilidad de sacar un número menor o igual que 3? 12/40=3/10 Al lanzar un dado perfectamente equilibrado, ¿cuál es la probabilidad de sacar un número impar? 3/6=1/2 ¿Qué hacemos si los sucesos no son equiprobables?

CONCEPCIÓN FRECUENTISTA DE LA PROBABILIDAD La probabilidad de un suceso es la frecuencia relativa de veces que ocurriría el suceso al realizar un experimento repetidas veces. P(Normal)=0,469 P(Osteopenia)=0,467 P(Osteoporosis)=0,064 ¿Y si el experimento no puede repetirse “demasiadas” veces? Control de calidad (tipo destructivo) Eventos poco frecuentes (asegurar unos juegos alímpicos)

CONCEPCIÓN SUBJETIVA DE LA PROBABILIDAD Subjetiva: Grado de certeza que se posee sobre un suceso. Es personal y se puede formular, por ejemplo, en términos de apuestas: Ejemplo: Dos individuos apuestan 5 euros por el equipo A y 12 euros por el equipo B, respectivamente, entonces La probabilidad de que gane A es 5/(5+12) La probabilidad de que gane B es 12/(5+12) En todas las definiciones nos referimos a sucesos. Recordemos qué son y qué las operaciones típicas.

Sucesos E espacio muestral E espacio muestral A A’ E espacio muestral Suceso es cada posibles resultados de un experimento aleatorio El conjunto de todos los resultados posibles es el espacio muestral (E) Se llama suceso a un subconjunto del espacio muestral Dado un suceso A, el suceso contrario (complementario), A’ (ó AC), es el formado por los elementos que no están en A Se llama suceso unión de A y B, AUB, al formado por los resultados experimentales que están en A o en B (incluyendo los que están en ambos. Se llama suceso intersección de A y B, A∩B (o simplemente AB), al formado por los elementos que están en A y B E espacio muestral A A’ E espacio muestral A B E espacio muestral A B E espacio muestral A B UNIÓN INTERS.

Ejemplo 1: En el experimento aleatorio “lanzar un dado” el espacio muestral es {1,2,3,4,5,6} Algunos eventos: Sacar un número impar: A={1,3,5} Sacar un número primo: B={1,2,3,5} Sacar un número que no sea impar: A’={2,4,6} Sacar un número primo no impar: B ∩ A’={2}

Sacar cruz y un número par: A={{2,X}, {4,X}, {6,X}} Ejemplo 2: En el experimento aleatorio “lanzar una moneda y un dado” el espacio muestral es {{1,C}, {1,X}, {2,C}, {2,X}, {3,C}, {3,X}, {4,C}, {4,X}, {5,C}, {5,X}, {6,C}, {6,X}} Algunos eventos: Sacar cruz y un número par: A={{2,X}, {4,X}, {6,X}} Sacar cara B={{1,C}, {2,C}, {3,C}, {4,C}, {5,C}, {6,C}} Sacar un número par D={{2,C}, {2,X}, {4,C}, {4,X}, {6,C}, {6,X}} Sacar cara o un número par B U C= {{2,C}, {2,X}, {4,C}, {4,X}, {6,C}, {6,X}, {1,C}, {3,C}, {5,C}} Sacar cara y un número par B ∩ C= {{2,C}, {4,C}, {6,C}}

Definición axiomática de probabilidad Se llama probabilidad a cualquier función P que asigna a cada suceso A un valor numérico P(A) y que verifica las siguientes reglas (axiomas) P(E)=1 (E es el evento seguro) 0≤P(A) ≤1 P(AUB)=P(A)+P(B) si A∩B=Ø Ø es el conjunto vacío. Podéis imaginar la probabilidad de un subconjunto como el tamaño relativo con respecto al total (suceso seguro) E espacio muestral 100% E espacio muestral A B

Probabilidad condicionada Se llama probabilidad de A condicionada a B, o probabilidad de A suponiendo que ha sucedido B: E espacio muestral Concepción clásica: ¿casos posibles? favorables? A “tamaño” de uno respecto al otro B Error frecuentíiiiiiisimo: No confundáis probabilidad condicionada con intersección. En ambos medimos efectivamente la intersección, pero… En P(A∩B) con respecto a P(E)=1 En P(A|B) con respecto a P(B)

Intuir la probabilidad condicionada P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(A∩B) = 0,10 P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(A∩B) = 0,08 ¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B? P(A|B)=1 P(A|B)=0,8

Intuir la probabilidad condicionada P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(A∩B) = 0,005 P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(A∩B) = 0 ¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B? P(A|B)=0,05 P(A|B)=0

Los problema de probabilidad pueden resolverse a partir de los axiomas, pero es más cómodo si usas algunas reglas de cálculo: P(A’) = 1 - P(A) P(E)=1, P(Ø)=0 P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) (Generaliza esta expresión para 3 o más (n) eventos. Utiliza una notación adecuada) P(A ∩ B) = P(A) P(B|A) = P(B) P(A|B) P(A∩B∩C)= P(A) P(B|A) P(C|A∩B) (Esta es la regla de la multiplicación. Generaliza esta expresión para 4 o más (n) eventos Utiliza una notación adecuada)

Ejemplo: Tenemos en un cajón dos tipos de analgésicos: 20 de tipo A Ejemplo: considerar el siguiente sistema de filtros junto con la probabilidad de que cada el filtro funcione correctamente. Calcular la probabilidad de que el sistema filtre correctamente: P(A)=0,9 P(B)=0,8 P(C)=0,7 P(A U (B∩C)) = P(A)+P(B∩C)-P(A∩B∩C)=P(A)+P(B)P(C)-P(A)P(B)P(C) = 0,9 + 0,8 x 0,7 - 0,9 x 0,8 x 0,7 = 0,956 Ejemplo: Tenemos en un cajón dos tipos de analgésicos: 20 de tipo A y 10 de tipo B. Si cogemos tres analgésicos al azar ¿cuál es la probabilidad de los tres sean de tipo A? Llamamos Ai = el i-ésimo analgésico extraído es de tipo A. P(A1∩A2∩A3)= P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1∩A2) = (20/30)(19/29)(18/28)=0,28079

Independencia de sucesos Dos sucesos son independientes si el que ocurra uno no añade información sobre el otro. A es independiente de B  P(A|B) = P(A)  P(A ∩ B) = P(A) P(B)

Ejemplo (I) Se ha repetido en 1000 ocasiones el experimento de elegir a una mujer de una población muy grande. El resultado está en la tabla. ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer tenga osteoporosis? P(Osteoporosis)=64/1000=0,064=6,4% Coincide con la noción frecuentista de probabilidad P(osteoporosis)=P(osteoporosis y menopausia)+P(osteoporosis y No menopausia) Es la probabilidad marginal (de la ostporosis. respecto de la menopausia) ó probabilidad total.

Ejemplo (II) ¿Probabilidad de tener osteopenia u osteoporosis? P(OsteopeniaUOsteoporosis)=467/1000+64/1000=0,531 Son sucesos disjuntos Osteopenia ∩ Osteoporosis=Ø ¿Probabilidad de tener osteoporosis o menopausia? P(OsteoporosisUMenopausia)=64/1000+697/1000-58/1000=0,703 No son sucesos disjuntos ¿Probabilidad de una mujer sin osteoporosis o menopausia? P(Normal)=469/1000=0,469 P(Normal)=1-P(Normal’)=1-P(OsteopeniaUOsteoporosis) =1-0,531=0,469

Ejemplo (III) Si es menopáusica… ¿probabilidad de osteoporosis? P(Osteoporosis|Menopausia)=58/697=0,098 ¿Probabilidad de menopausia y osteoporosis? P(Menop ∩ Osteoporosis) = 58/1000=0,058 Otra forma:

Ejemplo (IV) ¿Son independientes menopausia y osteoporosis? Una forma de hacerlo P(Osteoporosis)=64/1000=0,064 P(Osteoporosis|Menopausia)=58/697=0,098 La probabilidad de tener osteoporosis es mayor si ha pasado la menopausia. Añade información extra. ¡No son independientes! ¿Otra forma? P(Menop ∩ Osteoporosis) = 58/1000 = 0,058 P(Menop) P(Osteoporosis)= (697/1000) x (64/1000) = 0,045 La probabilidad de la intersección no es el producto de probabilidades. No son independientes.

Partición disjunta del espacio muestral Es una colección de sucesos A1, A2, A3, A4… tal que la unión de todos ellos forman el espacio muestral, y sus intersecciones son disjuntas. ¿Recordáis cómo formar intervalos en tablas de frecuencias? A1 A2 Suceso seguro A1 A2 A3 A4 A3 A4

Divide y vencerás Todo suceso B, puede ser descompuesto en sus componentes respecto de la partición disjunta A1 A2 B = (B∩A1) U (B∩A2 ) U ( B∩A3 ) U ( B∩A4 ) B Suceso seguro A1 A2 A3 A4 B A3 A4 Descomponemos el problema B en subproblemas más simples.

Teorema de la probabilidad total Si conocemos la probabilidad de B en cada una de las componentes de una partición disjunta del espacio muestral, entonces… … podemos calcular la probabilidad de B. A1 A2 B P(B|A1) Suceso seguro A1 A2 A3 A4 B P(A1) P(B|A2) P(A2) A3 A4 P(B|A3) P(A3) P(A4) P(B|A4) P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2) + P(B∩A3) + P( B∩A4) = P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2)+ P(A3) P(B|A3) + P(A4) P(B|A4)

¿Qué porcentaje de fumadores hay? Ejemplo (I): En este aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los hombres, son fumadores el 20%. ¿Qué porcentaje de fumadores hay? P(F) = P(M∩F) + P(H∩F) = P(M)P(F|M) + P(H)P(F|H) =0,7 x 0,1 + 0,3 x 0,2 = 0,13 =13% Prob. Total. Hombres y mujeres forman una partición disjunta Mujer Fuma Fuman Hombre 0,1 Mujer 0,9 0,7 No fuma Estudiante Fuma 0,2 0,3 Hombre 0,8 No fuma Los caminos a través de nodos representan intersecciones. Las bifurcaciones representan uniones disjuntas.

Teorema de Bayes Si conocemos la probabilidad de B en cada una de las componentes de una partición disjunta del espacio muestral, entonces… …si ocurre B, podemos calcular la probabilidad (a posteriori) de ocurrencia de cada Ai. A1 A2 B A3 A4 donde P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total: P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + ( B∩A4 ) = = P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2)+ P(A3) P(B|A3) + P(A4) P(B|A4)

Ejemplo (II): En este aula el 70% de los alumnos son mujeres Ejemplo (II): En este aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los varones, son fumadores el 20%. Se elije a un individuo al azar y es… fumador ¿Probabilidad de que sea un hombre? Mujer Fuman Fuma Hombre 0,1 Mujer 0,7 0,9 No fuma Estudiante Fuma 0,2 0,3 Hombre 0,8 No fuma

¿Qué hemos visto? Álgebra de sucesos Probabilidad Unión, intersección, complemento Probabilidad Definiciones Clásica Frecuentista Subjetiva Axiomática. Probabilidad condicionada Reglas de cálculo Complementario, Unión, Intersección Independencia de sucesos Particiones disjuntas del espacio muestral Teorema probabilidad total. Teorema de Bayes

http://www.bioestadistica.uma.es/baron/apuntes/ficheros/estad_uma_04.ppt http://halweb.uc3m.es/esp/Personal/personas/icascos/esp/presentacion_probabilidad.pdf