MOMENTO ANGULAR Marco teórico Aplicación Conclusiones Física General 1 Proyecto PMME - Curso 2007 Instituto de Física Facultad de Ingeniería – UdelaR MOMENTO ANGULAR Marco teórico Aplicación Conclusiones

INTRODUCCIÓN En esta presentación realizaremos el estudio teórico y practico de un dispositivo masa-cilindro-resorte, en el cual se conserva el momento angular. Desarrollaremos el ejercicio de manera tal de explicar con detalle los sucesos con diferentes variables. Llegando a concluir las distintas proporcionalidades entre las variables.

Momento angular (L) Definimos momento angular de una partícula, para luego extender su definición a un sistema de partículas o rígido.

Para una partícula L es el producto vectorial entre (vectores posición y momento lineal respectivamente) L es perpendicular al plano definido por los vectores y sus sentidos los indicamos con la regla de la mano derecha.

Él módulo de Lo se obtiene de la siguiente ecuación: para un sistema de partículas L se obtiene sumando la contribución de cada una de las partículas

Cuando el torque externo es nulo (= 0) L se conserva( ) . Para la resolución del ejercicio utilizamos conceptos de energía definidos por la siguiente ecuación.

En el siguiente ejercicio aplicaremos lo dado anteriormente Un cilindro de radio R y masa M que está inicialmente en reposo y montado sobre un eje horizontal que pasa por su centro de masa. Este eje está apoyado sobre un par de guías horizontales sobre las cuales desliza sin fricción y unido a dos resortes de igual constante k sujetos por sus otros extremos a una pared lejana.

Al cual se le lanza un trozo de arcilla de masa m y rapidez v siendo m << M. El trozo de arcilla impacta sobre el cilindro (quedando pegado luego a él) siguiendo una dirección perpendicular al eje y a una distancia d por encima del mismo (d < R). Dado que la masa m es pequeña, se puede suponer que la simetría del conjunto (masa y momento de inercia del conjunto masa+cilindro) es la misma que la del cilindro solo.

Y más gráficamente …

Nuestros objetivos son: Calcular la velocidad angular del conjunto luego del impacto. Hallar la compresión máxima que pueden alcanzar los resortes. Calcular la energía perdida durante la colisión. Repetir las partes 1. y 3. suponiendo que el eje del cilindro no puede desplazarse sobre las guías.

Calcular la velocidad angular del conjunto luego del impacto. Como el ح ext = o Y siendo: y Es decir: Entonces: y como en este caso : sustituyendo:

2. Hallar la compresión máxima que pueden alcanzar los resortes. instante después del choque Se conserva la energía mecánica ausencia de fuerzas no conservativas Sea: Sustituimos en (2): (2)

Por el mismo supuesto la cantidad de movimiento del centro de masas se conserva: Siendo: y Entonces: Despejamos V: (Como m << M podemos suponer que (m+M) = M) Sustituyendo V :

Para calcular la energía perdida durante la colisión nos consideramos dos instantes: Antes de la colisión, donde la masa m se encuentra a una altura d respecto por encima del CM del cilindro. luego de la colisión, encontrándonos con el movimiento combinado de ambos objetos.

Primer instante: Ug es despreciable: Segundo instante: Calculando la energía perdida: Sustituyendo en:

4.Ahora suponemos la misma situación pero el eje del cilindro no puede desplazarse sobre las guías. es igual a la calculada anteriormente, dado que las magnitudes para calcularla no se ven afectadas por el cambio citado; siendo estas: m (masa de la partícula), v (la velocidad de la misma), d (la distancia de la partícula al centro de masa de el cilindro) e I (la inercia).

Al suponer que el eje del cilindro no puede desplazarse sobre las guías, el cilindro no posee energía de traslación (su velocidad final V es nula) y como consecuencia solo rota.

¿Como varía W en función de los parámetros? Mostraremos dichas rel. con valores a modo de ej. en las siguientes gráficas

V (m/s) (Rad./s) 5 2,92 10 5,83 15 8,75 20 11,66 V

El siguiente gráfico tiene sentido físico solo hasta = R. (m) (Rad./s) 0,05 (R/4) 2,08 0,1 (R/2) 4,17 0,15 (3R/4) 6,25 0,2 (R) 8,3 El siguiente gráfico tiene sentido físico solo hasta = R.

M (Kg) W (Rad./s) 0,6 11,66 1,2 5,83 2 3,5 3 2,3

R R (m) W (Rad./s) 0,1 33,33 0,2 5,83 0,3 3,7 0,4 2,08 0,5 1,33

¿Cómo varía la energía perdida en función del parámetro de impacto? Siendo la energía perdida

(m) -0,447 4,59 0,447

Conclusiones Cuando d = 0, la energía perdida es máxima pues el cilindro no realiza un movimiento rotacional. De esta manera llegamos a que la energía rotacional que el cilindro hubiera obtenido (si d fuera mayor que cero) es entregada a los resortes, y como consecuencia el rígido solo se traslada.

según el gráfico, cuando d = R no se pierde energía. La energía rotacional alcanza su valor máximo No se produce traslación. Al no trasladarse el cilindro no brinda energía a los resortes pues nunca llega a ellos. El sistema no pierde energía

Pablo Milanese, Sabrina Masante, Jonatan Aguirre, Ana Plavan