Geomecánica computacional Módulo 2 Geotecnia III UNLP

Geomecánica computacional 2 Plasticidad perfecta unidimensional Geomecánica computacional 2 Ensayo de laboratorio Interpretación Teoría

Plasticidad perfecta 1D Variables de estado Son las variables independientes del problema Cuando uno conoce el valor de las variables de estado, sabe exactamente en que estado está el material Geomecánica computacional 2

Plasticidad perfecta 1D Variables de estado Cinemática de elastoplasticidad Es la hipótesis básica de la compatibilidad Esta simple fórmula implica que no hay deformaciones dependientes del tiempo Geomecánica computacional 2

Plasticidad perfecta 1D Variables de estado Cinemática de elastoplasticidad Relación tensión-deformación Permite calcular las tensiones conociendo sólo la parte elástica de las deformaciones Geomecánica computacional 2

Plasticidad perfecta 1D Variables de estado Cinemática de elastoplasticidad Relación tensión-deformación Función de fluencia Permite establecer cuando se produce la plasticidad (la “falla”) del material Geomecánica computacional 2

Plasticidad perfecta 1D Variables de estado Cinemática de elastoplasticidad Relación tensión-deformación Función de fluencia Regla de flujo Permite establecer que dirección tendrán las deformaciones permanentes del material Geomecánica computacional 2

Plasticidad perfecta 1D El rol de la función de fluencia Si la tensión es menor a la tensión de fluencia, el comportamiento es elástico La tensión no puede ser mayor que la tensión de fluencia Si la tensión es igual a la tensión de fluencia, puede haber deformación plástica La deformación plástica depende del trabajo aportado Geomecánica computacional 2

Geomecánica computacional 2 Relaciones que captura la teoría de plasticidad Geomecánica computacional 2 La curva tensión – deformación no puede definirse en la rama de ablandamiento

Elementos de un modelo elastoplástico general Variables de estado Cinemática de elastoplasticidad Relación tensión-deformación Función de fluencia Regla de flujo Reglas de evolución (en la plasticidad con endurecimiento/ablandamiento) Geomecánica computacional 2

Plasticidad perfecta El rol de la regla de flujo La regla de flujo indica para donde es la deformación plástica (en 1D es sólo la función signo) En plasticidad 3D, la regla de flujo determina la dirección de la deformación plástica G es una función escalar, lo que implica que los autovectores de son los mismos que los de Geomecánica computacional 2

Superficie de fluencia: Cuando se produce plasticidad Geomecánica computacional 2

Potencial plástico y regla de flujo: Cómo se deforma el material Geomecánica computacional 2

Asociatividad plástica Asociatividad (típica en metales) No asociatividad (típica en materiales friccionales) La no-asociatividad de los materiales friccionales está asociada a la componente volumétrica de la deformación plástica (ejemplo mas adelante) Geomecánica computacional 2

Ejemplo: un bloque friccional Para medir la función de fluencia Aumente T hasta que el bloque se mueva Verifique que T es la misma en todas direcciones Duplique N y verifique que T se duplica Escriba la forma matemática N T Geomecánica computacional 2

Ejemplo: un bloque friccional Para medir la función de fluencia Aumente T hasta que el bloque se mueva Verifique que T es la misma en todas direcciones Duplique N y verifique que T se duplica Escriba la forma matemática Geomecánica computacional 2

Ejemplo: un bloque friccional Para medir el potencial plástico Verifique que el bloque se mueve para donde apunta T Duplique N y repita Verifique que el valor de N no afecta la dirección de movimiento Verifique que el bloque no se despega de la mesa N T Geomecánica computacional 2

Ejemplo: el bloque friccionante Geomecánica computacional 2 Carrito no despega F=GCarrito saldría volando F G

Ejemplo: el bloque sobre ruedas Función de fluencia A veces rueda: T1 A veces derrapa: T2 El efecto de N es el mismo de antes N T Geomecánica computacional 2

Ejemplo: el bloque sobre ruedas Función de fluencia A veces rueda: T1 A veces derrapa: T2 El efecto de N es el mismo de antes Potencial plástico Cuando rueda se mueve en la dirección de las ruedas Cuando derrapa se mueve como antes N T Geomecánica computacional 2

Ejemplo: el bloque sobre ruedas Función de fluencia A veces rueda: T1 A veces derrapa: T2 El efecto de N es el mismo de antes Potencial plástico N T Geomecánica computacional 2

Ejemplo: el bloque sobre ruedas Geomecánica computacional 2 F G

Ejemplo: cómputo del desplazamiento (fórmulas) Cinemática Relación carga- desplazamiento Función de fluencia Potencial plástico Trabajo aplicado Geomecánica computacional 2

Ejemplo: cómputo del desplazamiento (datos entrada) Cinemática Relación carga- desplazamiento Función de fluencia Potencial plástico Se impone un desplazamiento horizontal de 10cm ¿cuánto trabajo se aporta, cuanto se almacena y cuanto se consume? Geomecánica computacional 2

Ejemplo: cómputo del desplazamiento (cálculos) Paso 1: Se impone el desplazamiento de 10cm Paso 2: Se asume comportamiento elástico Geomecánica computacional 2

Ejemplo: cómputo del desplazamiento (cálculos) Paso 3: Se calcula la fuerza resultante Paso 4: Se verifica el criterio de fluencia Como F > 0 habrá desplazamiento plástico Geomecánica computacional 2

Ejemplo: cómputo del desplazamiento (cálculos) Paso 5: Se calcula la dirección de despl. plástico Paso 6: Se calcula el multiplicador plástico λ Geomecánica computacional 2

Ejemplo: cómputo del desplazamiento (cálculos) Paso 7: Se calculan los desplazamientos finales Paso 8: Se calcula el trabajo realizado Respuesta: Trabajo total = 4.38kNm; Almacenado = 0.63kNm; Disipado = 3.75kNm Geomecánica computacional 2

Comportamiento que captura la plasticidad perfecta La plasticidad perfecta fue desarrollada para aceros (rigidez constante, tensión de fluencia constante) Criterio de Tresca Criterio de Von Mises Geomecánica computacional 2 (Hoyos 2012)

Comportamiento que captura la plasticidad perfecta La plasticidad perfecta fue desarrollada para aceros (rigidez constante, tensión de fluencia constante) Drucker – Prager introdujeron la tensión de fluencia dependiente de la presión Geomecánica computacional 2 (Hoyos 2012)

Comportamiento que captura la plasticidad perfecta La plasticidad perfecta fue desarrollada para aceros (rigidez constante, tensión de fluencia constante) Drucker – Prager introdujeron la tensión de fluencia dependiente de la presión El criterio de Mohr – Coulomb respeta la naturaleza friccional de los geomateriales Geomecánica computacional 2 (Hoyos 2012)

Comportamiento que captura la plasticidad perfecta La evidencia experimental es aún más compleja Geomecánica computacional 2

Geomecánica computacional 2 Lo que puede modelarse Con plasticidad perfecta puede modelarse los geomateriales están en falla: Empuje de suelos Estabilidad de taludes Capacidad de carga El resultado de los modelos es un factor de seguridad o una carga última No se pretende que las deformaciones calculadas sean realistas Geomecánica computacional 2

Lo que no debe modelarse No debe modelarse problemas de interacción suelo – estructura o aquellos en los que la deformación controla el comportamiento: Asentamiento de fundaciones Túneles (excepto seguridad del frente) Compresión y consolidación Problemas acoplados (p.ej. no drenado) Si se requiere una predicción de desplazamientos y/o solicitaciones estructurales conviene emplear plasticidad con endurecimiento Geomecánica computacional 2

El criterio de Mohr-Coulomb en términos de σ1 – σ3 Parámetros: c, φ En el plano de falla En tensiones principales Geomecánica computacional 2

El criterio de Mohr-Coulomb en términos de p – q Geomecánica computacional 2

El modelo de Mohr-Coulomb Elasticidad lineal E, ν son constantes La descarga y recarga son elásticas Plasticidad perfecta Los parámetros de fluencia (c, ϕ) son constantes Asociatividad deviatórica, no asociatividad volumétrica (concepto nuevo) ψ σ c - Φ Geomecánica computacional 2 E ε εv ψ ν

El modelo de Mohr-Coulomb Cinemática de la elastoplasticidad ε σ c - Φ E εv ν ψ Geomecánica computacional 2

El modelo de Mohr-Coulomb Cinemática de la elastoplasticidad Relación tensión-deformación con constante ε σ E εv ν Geomecánica computacional 2

El modelo de Mohr-Coulomb Cinemática de la elastoplasticidad Relación tensión-deformación Función de fluencia: criterio Mohr-Coulomb ε σ c - Φ εv Geomecánica computacional 2

El modelo de Mohr-Coulomb Cinemática de la elastoplasticidad Relación tensión-deformación Función de fluencia Ley de flujo (ángulo de dilatancia que controla el cambio de volumen durante la deformación plástica) ε σ εv ψ Geomecánica computacional 2

El modelo de Mohr-Coulomb Resumen Cinemática de la elastoplasticidad Relación tensión-deformación Función de fluencia Ley de flujo Noten la similitud formal entre F y G Geomecánica computacional 2

Ventajas y limitaciones del modelo de Mohr-Coulomb Modelo simple y claro Buena representación de falla drenada Comparable con resultados analíticos Desventajas Elástico lineal hasta falla con rigidez constante No distingue carga primaria de recarga Predice comportamiento elástico en compresión edométrica Geomecánica computacional 2

Experimental: Efecto de la dirección de carga (θ) Geomecánica computacional 2

Experimental: Efecto de la dirección de carga (θ) Geomecánica computacional 2 (Hoyos 1998)

Efecto de la dirección de carga en arenas (θ) Geomecánica computacional 2

Efecto de la dirección de carga en arcillas (θ) Geomecánica computacional 2

Criterios de fluencia que tienen en cuenta (θ) Matsuoka – Nakai Lade Zienkiewicz – Pande Geomecánica computacional 2

Criterios de fluencia que tienen en cuenta (θ) Geomecánica computacional 2

¿Cuál es el propósito del modelo? La curva σ-ε es única El rango de deformación depende del problema σ Geomecánica computacional 2 ε

¿Cuál es el propósito del modelo? La curva σ-ε es única El rango de deformación depende del problema Fundaciones máquinas σ Geomecánica computacional 2 Es = Ei ε

¿Cuál es el propósito del modelo? cmax - Φmax La curva σ-ε es única El rango de deformación depende del problema Fundaciones máquinas Zapatas σ Geomecánica computacional 2 Es < Ei ε

¿Cuál es el propósito del modelo? La curva σ-ε es única El rango de deformación depende del problema Fundaciones máquinas Zapatas Muros y tablestacas σ cr - Φmax Geomecánica computacional 2 Es << Ei ε

¿Cuál es el propósito del modelo? La curva σ-ε es única El rango de deformación depende del problema Fundaciones máquinas Zapatas Muros y tablestacas Taludes σ Φr Geomecánica computacional 2 ε

Selección de parámetros de rigidez Use G0 Geomecánica computacional 2 “elástico” Aplicable, excesivo Tatsuoka 1991

Selección de parámetros de rigidez Use G0 Use Ei Geomecánica computacional 2 “elástico” “endurecimiento” Aplicable, excesivo Poco aplicable Tatsuoka 1991

Selección de parámetros de rigidez Use G0 Use Ei Use E50 Geomecánica computacional 2 “elástico” “endurecimiento” “falla” Aplicable, excesivo Poco aplicable Aplicable Tatsuoka 1991

Selección de parámetros resistentes La selección de la cohesión y fricción debe tener en cuenta El rango de deformación Pequeñas deformaciones: use valores máximos Grandes deformaciones: use valores residuales La dirección de carga para M – C(los criterios J3 lo tienen en cuenta explícitamente) La presión media (si el modelo no lo tiene en cuenta explícitamente) Geomecánica computacional 2

Geomecánica computacional 2 φmax en gravas Geomecánica computacional 2 (Leps 1970)

Geomecánica computacional 2 φmax en arenas Geomecánica computacional 2 (Bolton 1986)

Geomecánica computacional 2 φmax en arcillas No hay un criterio universalmente establecido Provisionalmente puede emplearse la expresión Geomecánica computacional 2 (Adaptada de Sfriso 2007)

Geomecánica computacional 2 φc en limos y arcilas Geomecánica computacional 2 (Kenny 1959)

Geomecánica computacional 2 φr en limos y arcilas Geomecánica computacional 2 φr se mide con distorsiones mayores al 100%

Arena/PP Arena/PP es un modelo de plasticidad isotrópica F = Matsuoka – Nakai G = Teoría tensión – dilatancia de Rowe Ángulo de fricción ϕ(p,e0) = ϕc + ψ(p,e0) El endurecimiento aparece porque el cambio de relación de vacíos impone un cambio de resistencia La dilatancia reduce la resistencia = ablandamiento plástico = localización de deformaciones La cadena se corta en el eslabón mas débil Geomecánica computacional 2

Geomecánica computacional 2 Def. Plana Geomecánica computacional 2 (NGI 2006)

Deformación plana (malla fina) Geomecánica computacional 2 e0 Malla Deformación total ϕ

Deformación plana (malla gruesa) Geomecánica computacional 2 Malla Desplazamiento e0 ϕ

Comportamiento de roca intacta en TX La rigidez (casi) no depende de la presión La descarga antes del pico es elástica Una vez alcanzado el pico, se degrada la cementación La deformación plástica es localizada (excepto a presiones extremas) Geomecánica computacional 2

Curva de resistencia intrínseca de rocas intactas La CRI de las rocas intactas (y de los macizos) tiene una fuerte curvatura Los parámetros de Mohr-Coulomb dependen del problema que se estudia ¡Los parámetros eligen el resultado! Geomecánica computacional 2

Roca intacta y micro-defectos: dispersión y curvatura de CRI Geomecánica computacional 2

El modelo de Hoek-Brown Es un modelo isotrópico de plasticidad perfecta enteramente análogo al modelo de Mohr-Coulomb Se reemplaza el criterio de falla por el criterio de Hoek-Brown (sin fundamento físico) Geomecánica computacional 2 τ σ (Waterman 2010)

El criterio de Hoek-Brown Limitaciones Asume igual resistencia en todas las direcciones Los parámetros dependen del grado de fracturamiento Cambian todos los parámetros cuando cambia el grado de fracturación del macizo Geomecánica computacional 2

El criterio de Hoek-Brown Geomecánica computacional 2

El criterio de Hoek-Brown σ3 Geomecánica computacional 2 τ σ (Carranza-Torres 2004)

Geomecánica computacional 2 (AFTES 2003)

RocLab: use con precaución Geomecánica computacional 2

Ventajas y limitaciones del modelo de Hoek-Brown Criterio de falla curvo, mejor ajuste que Mohr – Coulomb para rocas y macizos rocosos Amplia aceptación por parte de la industria Determinación de parámetros bien establecida Limitaciones No tiene un buen fundamento físico Plasticidad isotrópica Calibración con GSI: falsa sensación de robustez Geomecánica computacional 2

Los parámetros deben escalarse para el tamaño del problema Geomecánica computacional 2

Geomecánica computacional 2

Resistencia al corte de discontinuidades Geomecánica computacional 2

Resistencia pico y residual de discontinuidades Geomecánica computacional 2 (Hoek 2006)

Geomecánica computacional 2 Efecto de escala en la resistencia de pico y en la rigidez de discontinuidades Geomecánica computacional 2 (Alejano 2005)

Modelo de Barton-Bandis Geomecánica computacional 2 L0 = 100mm Ln = tamaño del bloque r: Schmidt discontinuidad natural alterada y saturada R: Schmidt seco en corte fresco

Modelo de Barton-Bandis Geomecánica computacional 2 L0 = 100mm Ln = tamaño del bloque r: Schmidt discontinuidad natural alterada y saturada R: Schmidt seco en corte fresco

Criterios de Jennings y Cording-Jamil Jennings: interpolación lineal Cording-Jamil: falla escalonada Lj Lr Geomecánica computacional 2 tan i=d/Lj Lj d Lj

Criterios de Jennings y Cording-Jamil: validación experimental Geomecánica computacional 2 (Prudencio y Hormazábal 2012)

Bibliografía esencial (en orden decreciente) Potts et al. Guideline for the use of advanced numerical analysis. COST Action C7. Thomas Telford 2002. Potts & Zdravkovic. Finite element analysis in geotechnical engineering. Thomas Telford 1999. Chen & Mizuno. Nonlinear analysis in soil mechanics. Elsevier 1990. Muir Wood. Geotechnical modelling. 2004. USACE. Geotechnical analysis by the FEM. Report ETL 1110-2-544. Puzrin. Constitutive modelling in geomechanics. Springer 2012. Yu. Plasticity and geotechnics. Springer 2006. Bull. Numerical analysis modelling geomechanics. Spon Press 2003. Geomecánica computacional 2

Bibliografía esencial (en orden decreciente) Bull. Numerical analysis modelling geomechanics. Spon Press 2003. Zienkiewicz et al. Computational geomechanics. Wiley 1999. Lewis&Schrefler. The FEM in the static and dynamic deformation and consolidation of porous media. Wiley 1998. Bathe, K. Finite element procedures. Bathe. Zienkiewicz et al. The finite element method. Butterworth-Heinemann. Olivella & Agelet. Mecánica de medios continuos para ingenieros. UPC. Geomecánica computacional 2