Estadística Administrativa I Período 2013-3 Distribuciones de probabilidad continuas - Distribución de probabilidad normal

Familias de distribuciones de probabilidad normal La distribución normal viene generada por una fórmula bien compleja que no coincide con su éxito para trabajar con probabilidades continuas. 𝑃 𝑥 = 1 𝜎 2𝜋 𝑒 − 𝑥−𝜇 2 2𝜎 2 Es una de las técnicas de investigación estadística más utilizada con probabilidades estimadas con exactitud variable. La información base para trabajar con una distribución normal son la Media poblacional y la Desviación estándar poblacional.

Característica de la distribución de probabilidad normal Tiene forma de campana y posee una sola cima en el centro de la distribución. La media aritmética, mediana y moda son iguales. Es simétrica con respecto a la media. Desciende suavemente en ambas direcciones del valor central. Se dice que la distribución es asintótica. La localización se determina a través de la media 𝜇 y la desviación estándar 𝜎

Familia de distribuciones de probabilidad normal. La curva varía en su forma dependiendo de los resultados que se obtengan de los estudios realizados. Algunas curvas pueden parecerse; pero, ser muy distintas. Se pueden obtener infinita cantidad de distribuciones normales.

Distribución de probabilidad normal estándar Cualquier distribución de probabilidad normal se puede convertir en una distribución de probabilidad normal estándar. Existe técnicas que permiten que se tome cualquiera de ellas y mediante unos pequeños cálculos, se aproxime a una distribución ya establecida que proporciona los resultados mejor ajustados.

…Distribución de probabilidad normal estándar Tomando de base la media aritmética y la desviación estándar, éstas se convierten en media 0 y desviación estándar 1 para obtener los resultados que se buscan. El resultado que convierte a la media en 0 y la desviación estándar en 1 se llama “Valor tipificado” o “valor z”.

Valor Z Distancia con signo entre un valor seleccionado X y la media aritmética dividido entre la desviación estándar. 𝑧= 𝑋−𝜇 𝜎

Valor Z Según se observa en la definición anterior, el valor z expresa la distancia (diferencia) entre un valor dado de X y la media aritmética en unidades de desviación estándar. Una vez que se estandarizan las observaciones con distribución normal, los valores z se distribuyen normalmente con media aritmética 0 y desviación estándar 1. La distribución z posee todas las características de cualquier distribución de probabilidad normal.

Valor Z El valor Z siempre es un datos entre 0.00 y 3.00; todos los valores decimales se manejas con 2 dígitos. En los apéndices de los libros de estadística siempre viene una tabla con todos los posibles resultados de Z. Todos los resultados de estas probabilidades se buscan en la tabla “Área bajo la curva normal”

Ejemplo… Los ingresos mensuales de los supervisores de los turnos de la Maquila “El buen rastro” se rigen por una distribución de probabilidad normal con media de Lps.10,000.00 y una desviación estándar de Lps.850. ¿Cuál es el valor z para el ingreso X de un supervisor que percibe Lps. 12,000.00 mensuales? 𝑍= 12000−10000 850 𝑍= 2000 850 𝑍=2.35 𝑋=12000 𝜇=10000 𝜎=850

… Ejemplo 𝜇=0 𝜎=1 𝑍= 12000−10000 850 𝑍= 2000 850 𝑍=2.35 El valor Z indica que el salario de Lps.12,000 está a 2.35 desviaciones estándar a la derecha de la media aritmética (𝜇). El valor Z positivo indica que el salario es mayor (>) que el salario promedio.

Ejemplo… Los ingresos mensuales de los supervisores de los turnos de la Maquila “El buen rastro” se rigen por una distribución de probabilidad normal con media de Lps.10,000.00 y una desviación estándar de Lps.850. ¿Cuál es el valor z para el ingreso X de un supervisor que percibe Lps. 9,000.00 mensuales? 𝑋=9000 𝜇=10000 𝜎=850 𝑍= 9000−10000 850 𝑍= −1000 850 𝑍=−1.18 El valor Z indica que el salario de este supervisor es menor que el promedio

Regla empírica 𝜇±1𝜎 𝜇±2𝜎 𝜇±3𝜎 Cerca del 68% del área bajo la curva normal se encuentra a una desviación estándar de la media. Alrededor del 95% del área bajo la curva normal se encuentra a 2 desviaciones estándar de la media. Prácticamente toda el área bajo la curva normal se encuentra a 3 desviaciones estándar de la media. 𝜇±1𝜎 𝜇±2𝜎 𝜇±3𝜎

Regla empírica

Ejemplo… La distribución de los ingresos anuales de un grupo de empleados de mandos medios en Compton Plastics se aproxima a una distribución normal, con una media de $47,200.00 y desviación estándar $800. Entre qué valores se encuentra el 68% de los ingresos Entre qué valores se encuentra el 95% de los ingresos ¿Cuál es el ingreso medio y el ingreso modal? ¿La distribución de ingresos es simétrica?

…Ejemplo 𝜇=47200 σ=800 Entre qué valores se encuentra el 68% de los ingresos Entre qué valores se encuentra el 95% de los ingresos ¿Cuál es el ingreso medio y el ingreso modal? ¿La distribución de ingresos es simétrica?

…Ejemplo 𝜇=47200 σ=800 ¿Entre qué valores se encuentra el 68% de los ingresos? 𝜇±1𝜎 =47200±1∙800 =47200±800 =47200+800=48000 =47200−800=46400 El 68% de los ingresos anuales se encuentran en $46,400 Y $48,000.

…Ejemplo 𝜇=47200 σ=800 ¿Entre qué valores se encuentra el 95% de los ingresos? 𝜇±2𝜎 =47200±2∙800 =47200±1600 =47200+1600=48800 =47200−1600=45600 El 95% de los ingresos anuales se encuentran en $45,600 Y $48,800.

…Ejemplo 𝜇=47200 σ=800 ¿ Cuál es el ingreso medio y el ingreso modal? ¿La distribución de ingresos es simétrica? La distribución de ingresos es normal; por lo tanto, se puede concluir que es simétrica. En la distribución normal, la media aritmética es igual que la moda y la mediana. Ingreso medio = 𝜇=47200 Moda = 𝜇=47200

Determinación del área bajo la curva La determinación del área bajo la curva es el cálculo de la probabilidad que los eventos definidos ocurran. Una vez que se encuentra el valor de Z; éste se busca su resultado en la tabla de “Área bajo la curva normal”. La tabla es un cuadro distribuido en filas y columnas. En las filas se ubica el entero de Z con el primer decimal. En las columnas se despliegan los correspondientes al segundo decimal. 𝑧=1.23

Características de la determinación del área bajo la curva El cálculo del área bajo la curva está definido (en la mayoría de libros) para calcular el 50% del total de la curva normal. Se trabaja en base al lado positivo de la curva. Para cualquier valor de Z el resultado será el área entre 𝜇=0 y el valor de Z

Características de la determinación del área bajo la curva Lo cálculos para los Z menores que 0 se realizan en el lado positivo; es decir, si el valor de Z es -1.22, se busca en la curva como si fuera 1.22 =

Ejemplo….. Calcular el área bajo la curva para Z = 1.23 Dividir Z en dos partes: 1.- 1.2 2.- 0.03 Buscar el dato que resulta al unir la fila de 1.2 con la columna 0.03. Resultado = 0.03907

Ejemplo….. Calcular el área bajo la curva para Z = -1.23 Quitarle el signo a Z. Dividir Z en dos partes: 1.- 1.2 2.- 0.03 Buscar el dato que resulta al unir la fila de 1.2 con la columna 0.03. Resultado = 0.03907

Determinación del área bajo la curva El tema anterior se refiere al área bajo la curva cuando los datos están entre 0 y Z. Los cálculos de datos que cubren ambos lados de la media se duplican. 1°-) El enunciado indica que los valores de Z están antes de la Media y después de la media. 2°-) Se hace el cálculo para los valores que están entre 0 y Z1. 3°.-) Se hace el cálculo para los valores que están entre 0 y Z2. 4°.-) Se suman ambos resultados

Ejemplo….. Calcular el área bajo la curva, para los datos que están entre Z=-1.00 y Z=1.00 Calcular el área bajo la curva entre 0 y 1. 1.- Buscar en las filas el dato 1.00 2.- Buscar en la columna el dato 0.00 3.- El resultado es 0.3413 Calcular el área bajo la curva entre -1 y 0. Resultado = 0.3413 + 0.3413 = 0.6826

Determinación del área bajo la curva Otra forma de calcular área bajo la curva es cuando ésta no está junto al valor de la media. En este caso se dice que Z>z1 Primero se calcula el área bajo la curva entre 0 y Z. El resultado se obtiene mediante la resta de 1 y el área bajo la curva obtenida. 1−𝐴𝑟𝑒𝑎(𝑍)

Ejemplo….. R:// 0.5968 Calcular el área bajo la curva para Z >1.3 Dividir Z en dos partes: 1.- 1.3 2.- 0.00 Buscar el dato que resulta al unir la fila de 1.3 con la columna 0.00 El resultado del área entre 0 y Z=1.3 es 4032. Resultado = 1- 0.4032 =0.5968 R:// 0.5968

Determinación del área bajo la curva Es posible que se desee conocer las áreas bajo la curva en el caso contrario; que Z<z1. El resultado cubre los dos lados de la curva normal. Se resuelve calculando el área bajo la curva entre 0 y z. El resultado se obtiene mediante la suma de 1 y el 50% del otro lado de la gráfica. 0.5+𝐴𝑟𝑒𝑎(𝑍)

Ejemplo….. R:// 0.5987 Calcular el área bajo la curva para Z < 0.25 Dividir Z en dos partes: 1.- 0.2 2.- 0.05 Buscar el dato que resulta al unir la fila de 0.2 con la columna 0.05 El resultado entre 0 y Z=0.25 es 0.0987 Resultado = 0.5 + 0.0987 =0.5987 R:// 0.5987

Ejemplo… Los ingresos mensuales de los supervisores de los turnos de la Maquila “El buen rastro” se rigen por una distribución de probabilidad normal con media de Lps.10,000.00 y una desviación estándar de Lps.850. ¿Cuál es la probabilidad de que un supervisor tenga ingresos entre 10,500 y 11,500? 𝜇=10000 𝜎=850 X = 10,500 X = 11,500 𝑃(10500<𝑋<11500

…Ejemplo ¿Cuál es la probabilidad de que un supervisor tenga ingresos entre 10,500 y 11,500? 𝜇=10000 𝜎=850 X = 10,500 X = 11,500 𝑍 1 = 10500−10000 850 𝑍 1 = 500 850 𝑍 1 =0.59 𝑍 2 = 11500−10000 850 𝑍 2 = 1500 850 𝑍 2 =1.76 𝑃(0.59<𝑧<1.76

… Ejemplo 𝑍 1 =0.59 𝑍 2 =1.76 Calcular el área entre 0 y 0.59 Resultado del área entre 0.59 y 1.76 0.4608 - 0.2224 = 0.2384 La probabilidad de que un supervisor tenga ingresos entre 10,500 y 11,500 lempiras es de 0.2384

Ejemplo … 𝑃(9500<𝑋<10900 𝑃(−0.59<𝑧<1.06) b. ¿Cuál es la probabilidad de que un supervisor tenga ingresos entre L.9,500 y L.10,900. 𝜇=10000 𝜎=850 X = 9,500 X= 10,900 𝑃(9500<𝑋<10900 𝑍 1 = 9500−10000 850 𝑍 1 = −500 850 𝑍 1 =−0.59 𝑍 1 = 10900−10000 850 𝑍 1 = 900 850 𝑍 1 =1.06 𝑃(−0.59<𝑧<1.06)

… Ejemplo 𝑍 1 =−0.59 𝑍 2 =1.06 Calcular el área entre 0 y 0.59 Resultado del área entre -0.59 y 1.06 0.2224+0.3554 = 0.5778 La probabilidad de que un supervisor tenga ingresos entre 9,500 y 10,900 lempiras es de 0.5778

Tarea para entregar Del libro de texto: página 236-237 encontrar las probabilidades de los ejercicios. 13 - 16 Página 239 Impares de 17 a 21 Página 241 Impares de 23 a 29

Fin de la presentación Muchas gracias