Lógica Proposicional

Tarea de la lógica Determinar la falsedad o verdad de una premisa es tarea de la ciencia en general El lógico no está interesado en la verdad o falsedad de las proposiciones sino en las relaciones lógicas entre ellas, es decir, la validez de los argumentos en que pueden aparecer. La lógica nos da los elementos para afirmar sobre la validez de un argumento

Lógica de Proposiciones Reglas de Inferencias La siguiente implicación lógica se llama Modus Ponens y corresponde a la siguiente inferencia: p ^ ( p ⇒ q ) :: q Ejemplo: p: Estudio p ⇒ q: Si estudio aprobaré Matemáticas q: Entonces, Aprobaré Matemáticas

Lógica proposicional Cada proposición es representada por una letra, tradicionalmente p, q, r, … Tenemos conectores lógicos: y (), o (), no (), implicación () Definidos a través de una tabla de verdad p  q Usaremos las letras mayúsculas A, B, C,… para representar expresiones lógicas

Modus Ponendo Ponens El condicional o implicación es aquella operación que establece entre dos enunciados una relación de causa-efecto. La regla ‘ponendo ponens’ significa, “afirmando afirmo” y en un condicional establece, que si el antecedente (primer término, en este caso p) se afirma, necesariamente se afirma el consecuente (segundo término, en este caso q). p∧ (p  q)  q Si llueve la calle se moja. Llovió, entonces la calle se mojó Si el impuesto a la gasolina baja, gastamos menos dinero en transportarnos. El impuesto bajó, entonces gasto menos dinero.

Lógica de Proposiciones La siguiente implicación lógica se llama Modus Tollens y corresponde a la siguiente inferencia: ( p ⇒ q ) ^ ~q :: ~p Ejemplo: p ⇒ q: Si estudio apruebo Matemáticas ~q: No aprobé Matemáticas ~p: Entonces, no Estudié

Modus Tollendo Tollens             ‘Tollendo tollens’ significa “negando, niego”, y se refiere a una propiedad inversa de los condicionales, a los que nos referíamos en primer lugar. (p  q) ∧  q   p Si de un condicional, aparece como premisa el consecuente negado (el efecto), eso nos conduce a negar el antecedente (la causa), puesto que si un efecto no se da, su causa no ha podido darse. Si aumenta el I.V.U. los precios suben. Los precios no han subido, por lo tanto el I.V.U. no ha aumentado.

MODUS TOLLENDO PONENS (TP) si uno de los miembros de una disyunción es negado, el otro miembro queda automáticamente afirmado, ya que uno de los términos de la elección ha sido descartado. Si ( p  q )   q  p Fue al cine o de compras. No fue de compras, entonces fue al cine

Lógica de Proposiciones La siguiente implicación lógica se llama Silogismo Hipotético y corresponde a la siguiente inferencia: ( p ⇒ q ) ^ ( q ⇒ r ) :: ( p ⇒ r ) Ejemplo: p ⇒ q: Si estudio apruebo Matemáticas q ⇒ r: Si apruebo Matemáticas me regalan un auto p ⇒ r: Entonces, Si estudio me regalan un auto

Lógica de Proposiciones La siguiente implicación lógica se llama Silogismo Disyuntivo y corresponde a la siguiente inferencia: ( p v q ) ^ ~p :: q Ejemplo: p v q: Hay que estudiar Francés o Alemán ~p: No estudio Francés q: Entonces, Estudio Alemán

Lógica de Proposiciones La simplificación conjuntiva consiste en eliminar uno de los términos de una conjunción: ( p ^ q ) :: q o también: ( p ^ q ) :: p Por el otro lado, la amplificación disyuntiva permite agregar un nuevo término: p :: ( p v q )

Lógica Proposicional Eliminar ⇔ usando la equivalencia: (p ⇔ q) ≡ (p ⇒ q) ^ (q ⇒ p) Eliminar ⇒ usando la equivalencia: (p ⇒ q) ≡ (~p v q)

Lógica Proposicional Simplificar ~ usando las equivalencias: ~( ~p ) ≡ p ~( p v q ) ≡ ~p ^ ~q ~( p ^ q ) ≡ ~p v ~q Finalmente, aplicar la ley distributiva donde sea necesario. p v ( q ^ r ) ≡ ( p v q ) ^ ( p v r )

Ejercicios ( p ⇒ q ) ^ ( q ⇒ r ) p ^ ( p ⇒ q ) ((p ^ q) ⇔ (p v ~q)) ((~(p ⇒ q) ^ r ) v ~(p ⇔ ~q))