Presenta: M. C. Marcos Campos Nava UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE HIDALGO Probabilidad y Estadística Lic. En Química Junio de 2013 Presenta: M. C. Marcos Campos Nava

OBJETIVO GENERAL DEL CURSO: Que el alumno desarrolle habilidades en el manejo de conceptos clásicos y actuales de conocimientos probabilísticos y estadísticos

TEMARIO I INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE PROBABILIDADES. II VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA. III VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS.   IV VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS. V PRUEBAS DE HIPÓTESIS. VI REGRESIÓN Y CORRELACIÓN.

BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA, WALPOLE-MYERS, ED. MCGRAW HILL ESTADÍSTICA BÁSICA, GUILLERMO PASTOR, ED. TRILLAS TEMAS DE MATEMÁTICAS: RECOPILACIÓN, ORGANIZACIÓN E INTERPRETACIÓN DE DATOS (CUADERNO 16), NATIONAL COUNCIL OF TEACHERS OF MATHEMATICS, ED. TRILLAS

Estadística Descriptiva: Es la parte de la estadística que trata solamente de describir y analizar un grupo dado sin sacar conclusiones o inferencias de un grupo mayor, a partir de ella. La estadística descriptiva incluye las técnicas que se relacionan con el resumen y la descripción de datos numéricos. Estos datos pueden ser gráficos o pueden incluir análisis computacional.   Estadística Inferencial: Cuando una muestra es representativa de una población se pueden deducir importantes conclusiones acerca de esta, a partir de su análisis. La inferencia estadística comprende aquellas técnicas por medio de las cuales se toma decisiones sobre una población estadística basadas solo en la muestra observada. Debido a que dichas decisiones se toman en condiciones de incertidumbre, entonces estas serán confiables con cierto grado de probabilidad. Considerando que las características medidas de una muestra se denominan estadísticas de la muestra, las características medidas de una población estadística, o universo se llaman parámetros de la población.

Variables Cuantitativas: Relacionadas con características numéricas del individuo por ejemplo: edad, precio de un producto, ingresos anuales. Las variables cuantitativas se dividen en discretas (aquellas que pueden tomar solo algunos valores en un intervalo y no valores intermedio, ejemplo: edad, número de hermanos que puede ser 1, 2, 3....,etc, pero, por ejemplo, nunca podrá ser 3.45) o continuas (aquellas que pueden tomar cualquier valor en un intervalo real, ejemplo: alturas, la velocidad de un vehículo puede ser 80.3 km/h, 94.57 km/h...etc.).

DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS

frecuencias absolutas: estas frecuencias son las que se obtienen directamente del conteo frecuencias relativas: corresponden a los porcentajes de cada frecuencia absoluta. frecuencia absoluta acumulada: corresponde a la frecuencia absoluta del intervalo más la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores anteriores. frecuencia relativa acumulada: corresponde al porcentaje de la frecuencia relativa del intervalo más la suma de las frecuencias relativas de todos los valores anteriores.

En la siguiente tabla se presenta el motivo de la consulta médica, durante una semana. Motivo Consulta Número de pacientes Bronquitis 19 Otitis 13 Heridas 7 Fracturas 18 Vacunas 20

Los siguientes datos corresponden a las notas obtenidas por un curso de 24 alumnos en un trabajo de matemáticas: 3.2 4.2 5.6 6.0 2.8 3.9 4.2 4.2 5.0 5.0 3.9 3.9 3.2 3.2 4.2 5.6 6.0 6.0 3.2 6.0 4.2 5.0 5.6 5.0 Ordenemos estos datos en una tabla: Construye una tabla de frecuencias que considere: Nombre de variable: Frecuencia Absoluta Frecuencia relativa (ambas)

Frecuencia Relativa Porcentual (%) Nota Frecuencia Absoluta Frecuencia Relativa Frecuencia Relativa Porcentual (%) 2.8 3.2 3.9 4.2 5.0 5.6 6.0

Frecuencia Relativa Porcentual (%) Nota Frecuencia Absoluta Frecuencia Relativa Frecuencia Relativa Porcentual (%) 2.8 1 0.041 4.166 3.2 4 0.166 16.666 3.9 3 0.125 12.500 4.2 5 0.208 20.833 5.0 5.6 6.0

Hasta el momento sólo hemos trabajado con una pequeña cantidad de datos. ¿Qué crees que deberíamos hacer si tenemos muchos datos? Tabla de Frecuencias de datos agrupados (también llamadas tabla de frecuencias con clase) En ocasiones, el agrupar los datos en intervalos, nos puede ayudar para realizar un mejor análisis de ellos.

TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Edad Frecuencia Menores de 15 584 15-19 97 511 20-24 269 021 25-29 161 279 30-34 64 422 35-39 26 833 40-44 13 069 45-49 7 582 50 o más 17 813 TOTAL 658 114

Definiciones: Rango: Diferencia entre el máximo y el mínimo valor de una variable. Marca de clase: Representante de un intervalo, y corresponde al promedio entre los extremos de éste. Tamaño de un intervalo: Es el cociente entre el valor del rango y la cantidad de intervalos que se desea obtener. Se recomienda tomar como longitud de los intervalos un valor entero que sea mayor o igual al cociente obtenido.

Nivel de Colesterol (mg/100 ml) Nivel de colesterol en la sangre de una muestra de hombres estadounidenses que tienen entre 25 y 34 años de edad , que fueron atendidos en centros médicos de New York y sufren de hipertensión arterial , en el año 2001 ¿Cuál es la variable de interés? ¿Qué se mide? Nivel de Colesterol (mg/100 ml) Cantidad de hombres 80-120 13 120-160 15 160-200 44 200-240 29 240-280 9 Observa: El rango de cada intervalo es de 40.

Ejemplo: Consideremos los siguientes datos, expresados en metros, correspondientes a las estaturas de 80 estudiantes de una Universidad. 1,67 1,72 1,81 1,72 1,74 1,83 1,84 1,88 1,92 1,75 1,84 1,86 1,73 1,84 1,87 1,83 1,81 1,77 1,73 1,75 1,78 1,77 1,67 1,83 1,83 1,72 1,71 1,85 1,84 1,93 1,82 1,69 1,70 1,81 1,66 1,76 1,75 1,80 1,79 1,84 1,86 1,80 1,77 1,80 1,76 1,88 1,75 1,79 1,87 1,79 1,77 1,67 1,74 1,75 1,78 1,77 1,74 1,73 1,83 1,76 1,83 1,77 1,75 1,77 1,77 1,84 1,83 1,79 1,82 1,76 1,76 1,76 1,79 1,88 1,66 1,80 1,72 1,75 1,79 1,77

Estatura Mayor: 1,93 metros Estatura Menor: 1,66 metros Rango: 1,93 metros - 1,66 metros = 0,27 metros = 27 cm. Formaremos 6 intervalos. Para calcular el tamaño de intervalo de cada uno dividimos 27 y 6, obteniendo finalmente 4,5 5 Luego los intervalos de la tabla son: Intervalo Marca de Clase Frecuencia Absoluta 1,65 – 1,69 1,70 – 1,74 1,75 – 1,79 1,80 – 1,84 1,85 – 1,89 1,90 – 1,94

Representaciones Gráficas   Para hacer más clara y evidente la información que nos dan las tablas se utilizan los gráficos. Existen múltiples tipos de gráficos, pero aquí trataremos solamente de los usados más frecuentemente, que son: gráfico de barras, gráfico de sectores o circular (pastel), histograma, polígono de frecuencias, la ojiva y el pictograma.

Gráficos estadísticos La información contenida en las tablas de frecuencias resulta más accesible y fácil de interpretar si se representan por medio de gráficos estadísticos. Diagrama de barras Se usa fundamentalmente para representar distribuciones de frecuencias de una variable cualitativa o cuantitativa discreta y, ocasionalmente, en la representación de series cronológicas o históricas. Uno de los ejes sirve para inscribir las frecuencias, ya sean absolutas o relativas (%), y el otro para la escala de clasificación utilizada.

GRÁFICOS Histograma Está formado por rectángulos, cuyas bases corresponden con los intervalos de clase y sus Áreas son iguales o proporcionales a sus frecuencias. Este gráfico se usa para representar una distribución de frecuencias de una variable cuantitativa continua. Habitualmente se representa la frecuencia observada en el eje Y, y en el eje X la variable

Polígono de frecuencias Es una línea poligonal que une los vértices superiores de las barras de un diagrama de barras, o los puntos medios de las bases superiores de los rectángulos de un histograma. Se utiliza, al igual que el histograma, para representar distribuciones de frecuencias de variables cuantitativas continuas, pero como no se utilizan barras en su confección sino segmentos de recta, de ahí el nombre de polígono. Habitualmente se usa cuando se quiere mostrar en el mismo gráfico más de una distribución.

Diagrama de sectores o gráfico circular Gráfico circular: Se usa, fundamentalmente, para representar distribuciones de frecuencias relativas (%) de una variable cualitativa o cuantitativa discreta. En este gráfico se hace corresponder la medida del ángulo de cada sector con la frecuencia correspondiente a la clase en cuestión. Si los 360º del círculo representan el 100 % de los datos clasificados, a cada 1% le corresponderán 3,6º. Luego, para obtener el tamaño del ángulo para un sector dado bastaría con multiplicar el por ciento correspondiente por 3,6º (por simple regla de tres).

Gráfico de líneas u ojiva Pictogramas Los pictogramas son gráficos similares a los gráficos de barras, pero empleando un dibujo en una determinada escala para expresar la unidad de medida de los datos. Se utiliza un dibujo relacionado con el tema, para representar cierta cantidad de frecuencias. Este tipo de gráfica atrae la atención por los dibujos, pero la desventaja es que se lee en forma aproximada. En este tipo de gráfico, al igual que el histograma y el polígono de frecuencias el objetivo es representar distribuciones de frecuencias de variables cuantitativas continuas, pero sólo para frecuencias acumuladas.  se representan los valores de los datos en dos ejes cartesianos ortogonales entre sí.  Se pueden usar para representar:  una serie o más series

DISPERSIÓN EN UN CONJUNTO DE DATOS

Ejercicios: La siguiente tabla es el reporte de una enfermera de las últimas 24 horas de las presiones arteriales en mm Hg de dos pacientes sometidos un tratamiento para regularizar su presión: Calcule la Presión promedio de cada paciente y el rango de presiones Paciente A 118 124 122 113 110 115 Paciente B 145 157 131 102 88 79

Calcule la media y el rango de cada conjunto de datos: 5 6 14 15 Conjunto 2 7 9 10 11 13 Conjunto 3

8 cms. Aquí tenemos 9 rectángulos cuya altura es de 8 centímetros (y todos tienen la misma base). ¿Existe alguna variación respecto de su altura entre estos rectángulos? ¿Cuál es el promedio de la altura de estos rectángulos? 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 9 = 72 9 = 8

10 cms 6 cms 8 cms. El quinto rectángulo y el octavo rectángulo en un acto de rebeldía cambiaron su altura. El quinto rectángulo, ahora de color rojo, mide 10 centímetros, y el octavo rectángulo, de color azul, mide 6 centímetros? ¿Cuál es el nuevo promedio de estos 9 rectángulos? 8 + 8 + 8 + 8 + 10 + 8 + 8 + 6 + 8 9 = 72 9 = 8 ... ¡el mismo promedio! Pero... ¿ha habido variación?

8 cms. 10 cms 6 cms El rectángulo rojo tiene +2 centímetros sobre el promedio, y el rectángulo azul tiene –2 centímetros bajo el promedio. Los otros rectángulos tienen cero diferencia respecto del promedio. Si sumamos estas diferencias de la altura respecto del promedio, tenemos 0 + 0 + 0 + 0 + 2 + 0 + 0 – 2 + 0 = 0 Este valor nos parece indicar que ¡no ha habido variabilidad! Y sin embargo, ante nuestros ojos, sabemos que hay variación.

8 cms. 10 cms 6 cms Una forma de eliminar los signos menos de aquellas diferencias que sean negativas, esto es de aquellos mediciones que estén bajo el promedio, es elevar al cuadrado todas las diferencias, y luego sumar... 02 + 02 + 02 + 02 + 22 + 02 + 02 + (– 2)2 + 02 = 8 Y este resultado repartirlo entre todos los rectángulos, es decir lo dividimos por el número de rectángulos que es 9 9 8 02 + 02 + 02 + 02 + 22 + 02 + 02 + (– 2)2 + 02 = 9 = 0,89

8 cms. 10 cms 6 cms Se dice entonces que la varianza fue de 0,89 Observemos que las unidades involucradas en el cálculo de la varianza están al cuadrado. En rigor la varianza es de 0,89 centímetros cuadrados. De manera que se define La raíz cuadrada de la varianza se llama desviación estándar

8 cms. 10 cms 6 cms Que la desviación estándar haya sido de 0,943 significa que en promedio la altura de los rectángulos variaron (ya sea aumentando, ya sea disminuyendo) en 0,943 centímetros. Es claro que esta situación es “en promedio”, puesto que sabemos que los causantes de la variación fueron los rectángulos quinto y octavo. Esta variación hace repartir la “culpa” a todos los demás rectángulos que se “portaron bien”. La desviación estándar mide la dispersión de los datos respecto del promedio

8 cms. 10 cms 6 cms 4 cms 7 cms. ¿Cuál es la varianza y la desviación estándar de las alturas de los rectángulos? En primer lugar debemos calcular el promedio 8 + 4 + 8 + 8 + 10 + 8 + 7 + 6 + 8 9 = 7,44 Luego debemos calcular la varianza

Este es el valor de la varianza = 2,469 8 cms. 10 cms 6 cms 4 cms 7 cms. 0,56 -3,44 2,56 -0,44 -1,44 Promedio 7,44 0,562 + (-3,44)2 + 0,562 + 0,562 + 2,562 + 0,562 + (-0,44)2 + (-1,44)2 + 0,562 22,2224 9 = 9 Este es el valor de la varianza = 2,469

10 cms 8 cms. 6 cms 4 cms 7 cms. Promedio 7,44 Si la varianza fue de 2,469, entonces la desviación estándar es de... Lo que significa que, en promedio, los rectángulos se desviaron más o menos (más arriba o más abajo) en 1,57 centímetros.