Complejidad sin Matematicas Ecología Biología Psicologia Meteorología MacroEconomía Geofisica Dante R. Chialvo Northwestern University. Chicago, IL, USA. Email: d-chialvo@northwestern.edu www.chialvo.net

● Motivación y elementos de redes ● Conceptos básicos ● Ejemplos de redes complejas

Algunas referencias y sitios. Simplemente Google por: Complex Networks o Redes Complejas! Ricard Sole : http://complex.upf.es/ Albert Diaz-Guilera: http://www.ffn.ub.es/~albert Albert Barabasi: http://www.nd.edu/~alb/ D. J. Watts, and S. Strogaz, Nature 393, 440–442 (1998). A. L. Barabási, and R. Albert, Science 286, 509–512 (1999). S. H. Strogatz, Nature 410, 268–276 (2001). A. L. Barabási, and R. Albert, Review of Modern Physics 74, 47–97 (2002). S. Dorogovtsev, and J. F. F. Mendes, Advances in Physics 51, 1079–1187 (2002). S. Bornholdt, and H. G. Schuster, editors, Handbook of Graphs and Networks - From the Genome to the Internet,Wiley-VCH, Berlin, 2002. R. Pastor-Satorras, M. Rubí, and A. Díaz-Guilera, editors, Statistical Mechanics of Complex Networks, Springer, 2003.D. J. Watts y S. H. Strogatz (1998). “Collective Dynamics of ‘Small World’ Networks” Nature Vol. 393. Sporns O, Chialvo DR, Kaiser M, and Hilgetag CC. Organization, Development and Function of Complex Brain Networks. Trends in Cognitive Sciences, 8 (9): 387-433 (2004). Sole et al, Selection, Tinkering, and Emergence in Complex Networks, Complexity vol. 8(1), 20-33 (2003)

Una red compleja es el esqueleto de un sistema complejo Vista de Satelite Vista del usuario New York New York

Que impulsó el estudio de redes complejas? La incapacidad de las redes aleatorias de capturar algunas características básicas de las redes complejas. Los avances recientes en computación y obtención de datos de sistemas reales produjo gran cantidad de información en diferentes sistemas complejos. Esto reveló una discordancia seria entre lo que se creia y lo que actualmente se veia en redes “reales”. La red, en muchos casos, es una “forma comprimida” del sistema complejo, y entonces sintetiza y disminuye el monto de informacion a estudiar.

Milgram El psicólogo S. Milgram (Yale U.) realizó un experimento que partía seleccionando 300 personas al azar en USA (Boston y Omaha), debidamente instruídos para enviar una carta a única persona “objetivo” en Boston. Estos diseminadores disponían de ciertas guías acerca de la persona objetivo, tal como su localización geográfica y ocupación. Con base en esta información, los diseminadores debieron mandar una carta a una persona que ellos conocían y que se ajustaba lo mejor posible a esta información. Este proceso se repitió hasta que las cartas eventualmente llegaron finalmente a la persona objetivo. Los operarios de aerolineas en EEUU, encargados de despachar las valijas “perdidas”, repiten diariamente (sin saberlo) el mismo experimento. Cuando preguntados acerca de que criterio usan, responden que ponen la valija en el primer vuelo que se dirija mas o menos en la dirección del supuesto destino.

Milgram Milgram publicó los resultados (Psychology Today) diciendo que 60 de las 300 cartas llegaron a la persona correcta. En promedio, las cartas pasaron por seis intermediarios hasta llegar a la persona correcta. La conclusión fue que las personas están mucho más “cercanas” entre si de lo que uno podría haber imaginado. Esta experiencia generó un hito en lo que ahora se conoce como propiedad de mundos pequeños o los seis grados de separación o los seis grados de Kevin Bacon o el “mundo es un pañuelo” que veremos en un momento en mas detalle.

Milgram Después del experimento de Milgram, pasaron muchos años antes de continuar con ese tipo de trabajos, principalmente por las limitaciones en cuanto al manejo de grandes cantidades de información.

Que es una red? Describen amplia variedad de sistemas naturales, tecnológicos y sociales. Se representan por medio de grafos dirigidos o no-dirigidos. Tenemos nodos y enlaces. Un enlace (i,j) conecta los nodos i y j Cada nodo tiene un número de enlaces conectados que se lo llama grado del nodo. enlace Nodo con grado=2

Hay muchos modos de conectarse Que podemos cuantificar que nos diga “algo” de la estructura de la red? Pinochet

Grado del nodo: k(n) La cantidad de enlaces etc Friendship Como caracterizar una red: Grado Grado del nodo: k(n) La cantidad de enlaces 1) The easiest approximation is to discard the directionality and the weights. “Unfortunately”, most of the theoretical work is done under this simplest characterization. 2) So... what can be measured? what kind of analysis is possible in a network? 3) The first question to ask is: how many neighbours do I have? vertex degree gives an idea of how well or poorly is a vertex connected to the rest of the network. 4) so, we select a vertex (show vertex falling) and we simply count how many neighbors does it have... (change slide) Friendship etc

Clustering Coefficient: C(n) Como caracterizar una red: Clustering Coefficient Clustering Coefficient: C(n) 1) Clustering is NOT a property of the node, it is a property of its NEIGHBOURS!! END) Clustering says how well are connected BUT doesn’t say how many groups are there, so... Friendship

Clustering Coefficient: C(n) Como caracterizar una red: Clustering Coefficient Clustering Coefficient: C(n) Numero de conecciones: 2 Friendship

Clustering Coefficient: C(n) Como caracterizar una red: Clustering Coefficient Clustering Coefficient: C(n) Numero de conecciones: 2 Numero total posible: ½·kn·(kn-1) = ½·(4·3) = 6 Friendship

Clustering Coefficient: C(n) Como caracterizar una red: Clustering Coefficient Clustering Coefficient: C(n) Numero de conecciones : 2 Numero total posible: ½·kn·(kn-1) = ½·(4·3) = 6 Cn = 2 / 6 = 0.333

Clustering Coefficient: C(n) Como caracterizar una red: Clustering Coefficient Clustering Coefficient: C(n) Numero de conecciones: 2 Numero total posible: ½·kn·(kn-1) = ½·(4·3) = 6 Cn = 2 / 6 = 0.333 “Clustering” o “apiñamiento” o “agrupamiento” o... Friendship Dice cuan buena es la conectividad con el vecindario

Distancia (pathlength) Como caracterizar una red: Distancia (pathlength) Distancia (pathlength) j 1) The concept of distance in a graph is not the same as “geometrical” distance. 2) for example, if I want to drive from Frankfurt to Berlin following the shortest path, I could drive the following road. (show next slide) Friendship i

Distancia (pathlength) Como caracterizar una red: Distancia (pathlength) Distancia (pathlength) j 1) The concept of distance in a graph is not the same as “geometrical” distance. 2) for example, if I want to drive from Frankfurt to Berlin following the shortest path, I could drive the following road. (show next slide) Friendship i

Distancia (pathlength) Como caracterizar una red: Distancia (pathlength) Distancia (pathlength) j 1) The concept of distance in a graph is not the same as “geometrical” distance. 2) for example, if I want to drive from Frankfurt to Berlin following the shortest path, I could drive the following road. (show next slide) Friendship i

Distancia Friendship Como caracterizar una red: Distancia (pathlength) 1) This path seems to be the shortes but I could also drive along the following path. (show next) Friendship

Distancia Como caracterizar una red: Distancia (pathlength) ... or even this other way that seems to take much longer. (show next)

Distancia Como caracterizar una red: Distancia (pathlength) 1) besides, all these paths, although geometrically different, in a graph theoretical sense, they represent the same distance (show next)

Como caracterizar una red: Distancia (pathlength) 1)

Como caracterizar una red: Distancia (pathlength) 1

Como caracterizar una red: Distancia (pathlength) Distance 1 2

Distancia 1 2 3 Distance : length of the shortest paths Como caracterizar una red: Distancia (pathlength) Distancia 1 2 3 Distance : length of the shortest paths

Matriz de distancias de todos a todos: L i,j=Largo de la via mas corta Como caracterizar una red: Distancia (pathlength) Matriz de distancias de todos a todos: L i,j=Largo de la via mas corta nodo i 1 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 nodo j Lij =

Como caracterizar una red: Otras medidas Betweenness (carga) El numero de caminos mas cortos que pasa por un dado nodo o un dado enlace. Grado de los vecinos Grado promedio de los vecinos con los que esta conectado un nodo. (“cuantos amigos tienen mis amigos”). 1) Possible correlations between ki and knn(i) will be discussed later and found to be very important

Modelos de redes aleatorias Modelo de WATTS - STROGATZ Grado? Clustering? Distancia (Pathlength)?

Modelos de redes aleatorias Modelo de WATTS - STROGATZ Reconectar un enlace con probabilidad p

Modelos de redes aleatorias Modelo de WATTS - STROGATZ

SMALL - WORLD = Clustering aun alto Distancia corta Modelos de redes aleatorias SMALL - WORLD = Clustering aun alto Distancia corta Unos pocos shortcuts reducen dramaticamente la distancia sin afectar el clustering Red regular Red aleatoria El mundo es un pañuelo aqui Medir L y C en cada caso Watts, Strogatz. Nature 393/4, 1998

Grilla Regular Red Small-World Aleatorio Distribucion de Grado Modelos de redes aleatorias Grilla Regular Red Small-World Aleatorio Distribucion de Grado

Mirando el grado de las redes en la Naturaleza se ve que estas no son homogeneas, son no uniformes Scale-free P(k) ~ k - En redes aleatorias la mayoria de los nodos estan enlazados por mas o menos el mismo numero de nodos, mientras que en redes scale-free ( o libres de escala) hay unos pocos muy bien conectados (hubs) Libre de escala (o scale-free) “mucho de poco y poco de mucho”

semantica actores www internet proteina metabolica El analisis de redes naturales revelo que eran “scale-free” semantica actores www internet proteina metabolica

Como se originan las redes no uniformes (libres de escala) “El rico se vuelve mas rico, al final unos pocos tienen mucho y muchos poco” “Complex networks: Statics and Dynamics” Diaz-Guilera, (2006)

Homogeneas No Uniforme De pequeño mundo Aleatoria Resumiendo The “few well connected” De pequeño mundo Aleatoria Es de pequeño mundo si C >> Crand L ~ Lrand Distancia minima promedio: L (distancia mas corta entre dos nodos) Clustering: C(k) (cuantos de tus enlaces estan tambien mutualmente enlazados)

Algunos consecuencias importantes de la no-uniformidad La red de carreteras es uniforme La red de aerolineas es NO uniforme Las consecuencias de borrar un nodo (ciudad o aeropuerto) es muy diferente en cada caso Red robusta al daño aleatorio pero fragil al daño selectivo

Nature July 27, 2000

Un poupurri incompleto y desactualizado de redes Ejemplos (con referencias) de redes complejas se pueden ver accediendo a la WWW red: http://www.visualcomplexity.com/vc/

Internet Internet es una red compleja donde los nodos son computadoras y routers y los enlaces comunican computadoras.

Internet

Internet

La WWW WWW es una red virtual compleja donde los nodos son las páginas web y las enlaces son los hyperlinks. Se pueden establecer a nivel de dominios y de páginas. www.chialvo.net www.ucm.es www.ucla.edu/~dchialvo/

Redes Lingüísticas Redes Lingüísticas : palabras son nodos y los enlaces conectan palabras consecutivas o casi consecutivas en un texto. En otras redes lingüísticas los nodos son palabras pero las enlaces son los sinónimos, antónimos, etc. En otras redes los enlaces pueden ser las asociaciones libres evocadas por una palabra (perfume  flor; futbol  Madrid, etc).

Redes Metabólicas los nodos son substratos y los enlaces las reacciones entre los substratos. http://www.expasy.ch/cgi-bin/show_thumbnails.pl

Redes Metabólicas

Redes Metabólicas E. Almaas, B. Kovacs, T. Vicsek, Z.N. Oltvai and A.-L. Barabási Global organization of metabolic fluxes in the bacterium Escherichia coli. Nature 427, 839-843 (2004).

Proteoma Interacciones entre proteínas : los nodos son proteínas y los enlaces conectan aquellas proteínas que a través de experimentos se demuestra su interacción Una motivación es determinar patrones mas típicos de interacción en salud y enfermedad, interferir y manipularlos en aplicaciones de diagnostico y tratamiento, diseños de nuevas drogas etc.

P53 Redes de genes Nature 408 307 (2000) …“One way to understand the p53 network is to compare it to the Internet.The cell, like the Internet, appears to be a ‘scale-free network’.”

Redes Sociales Red Social: Es un conjunto de personas, cada una de ellas conocida para un subconjunto de las restantes. Se puede definir en diferentes contextos particulares, como por ejemplo, la Universidad Complutense, o generales; por ejemplo, el mundo entero. Una motivación para su estudio es conocer los patrones de interacción humana, y otra puede ser investigar implicaciones para la difusión de información, dinámica de formación de opiniones , contagio de ideas o enfermedades.

Red de amistades (niños de escuela) Amarillo- Raza Blanca Verde – Afroamericanos Rosa - Otros http://www-personal.umich.edu/~mejn/networks/

Red Social:

Collaborativas (co-autoría de papers) donde los nodos son científicos y los enlaces representan co-autoría en un paper. El ejemplo más famoso de este tipo de red es en torno al matemático Paul Erdös (número de Erdös). Erdös (1919-1996), el matemático mas prolifico, con más publicaciones y con más co-autores es el origen de una red y tiene número de Erdös 0, sus co-autores tienen número 1, los co-autores de éstos tiene número 2, y así sucesivamente. Veamos la distribución de los números de Erdös considerando solamente aquellos autores que han colaborado y que además están a una distancia finita de Erdös. Existen (a la fecha del estudio) 268.000 de estos autores.

Número de Erdös Número de Autores 1 504 2 6593 3 33605 4 83642 5 87760 6 40014 7 11591 8 3146 9 819 10 244 11 68 12 23 13 Números de Erdös Media:4.65 Mediana : 5 Dante Chialvo tiene número 4

Citaciones en artículos científicos donde los nodos son artículos publicados y un enlace apunta a una referencia de un artículo publicado.

Actores de cine (y/o TV) donde los nodos son los actores y una enlace representa una participación conjunta de actores en una película. Tres estudiantes inventaron el juego “Los seis grados de Kevin Bacon” y es posible jugarlo on-line en una página de CS-D de Virginia U. (o los 4 grados de KB) ( http://oracleofbacon.org/) El grafo para el oráculo de Bacon es provisto por la base de datos de películas de Virginia U.

El oraculo The Oracle says: alfredo alcon has a Bacon number of 3. Alfredo Alcon was in Jandro (1965) with Luis Induni Luis Induni was in Bianco, il giallo, il nero, Il (1975) with Eli Wallach Eli Wallach was in Mystic River (2003) with Kevin Bacon The Oracle says: Palito Ortega has a Bacon number of 3. Palito Ortega was in Amor en el aire (1967) with Cris Huerta Cris Huerta was in Bianco, il giallo, il nero, Il (1975) with Eli Wallach

Ejemplos de Redes Complejas Llamadas Telefónicas (larga distancia). Los nodos son números telefónicos y las aristas son arcos dirigidos del nodo origen al nodo destino de la llamada.(duró el experimento un día - USA) Redes Ecológicas en las cuales los nodos son especies y Los enlaces representan relaciones tipo predador-presa entre las especies. [se estudiaron 7 webs de comida] Contactos sexuales humanos. Los nodos son personas y las enlaces conectan dos personas que se han relacionado sexualmente. (Experimento conducido en Suecia )

Sex-web Nodos: Personas Enlaces: relation sexual 4781 Suecos; 18-74; 59% respondio. Liljeros et al. Nature 2001

Food Web (red troficas) Nodes: trophic species Links: trophic interactions R.J. Williams, N.D. Martinez Nature (2000) R. Sole (cond-mat/0011195)

Ejemplos de Redes Complejas Redes Neuronales en las cuales los nodos son neuronas y los enlaces son sinapsis o correlaciones entre (grupos de) neuronas. [C elegans, Corteza Cerebral, Fmri] Redes de Potencia donde los nodos son generadores, transformadores y subestaciones, y los enlaces son líneas de transmisión de alto voltaje. [Western USA ] Otras Redes Circuitos Electrónicos Evolución Viral

Mapa del sistema nervioso del C. Elegans

Redes Reales: varios casos n <k> l lrand C Crand WWW 153127 35.21 3.1 3.35 0.1078 0.00023 Internet domain 3015-6209 3.52-4.11 3.7-3.76 6.36-6.18 0.18-0.3 0.001 Actores 225226 61 3.65 2.99 0.79 0.00027 Medline coautoría 1520251 18.1 4.6 4.91 0.066 1.1·10-5 NCSTRL coautoría 11994 3.59 9.7 7.34 0.496 3·10-4 Neurosc. coautoría 209293 11.5 6 5.01 0.76 5.5·10-5 E. Coli grafo sub 282 7.35 2.9 3.04 0.32 0.026 Co-ocurr. palabras 460902 70.13 2.67 3.03 0.437 0.0001

Net n <k> γout γin lreal lrand La Topología de Redes Reales: varios casos Net n <k> γout γin lreal lrand WWW 2·108 7.5 2.72 2.1 16 8.85 site 26000 1.94 Internet domain 3015- 4389 3.42- 3.76 2.1-2.2 4 6.3 router 3888 2.57 2.48 12.15 9.75 Coauth. Math. 70975 3.9 2.5 9.5 8.2 Phone Call 53·106 3.16 Co-ocur words 460902 70.13 2.7